九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 專(zhuān)題突破講練 圓的周長(zhǎng)和弧長(zhǎng)試題 （新版）青島版.doc

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圓的周長(zhǎng)和弧長(zhǎng) 1. 弧長(zhǎng)公式： 圓周長(zhǎng)C=2R（其中R為圓的半徑），即為圓心角是360的弧長(zhǎng)。因此圓心角是1的弧長(zhǎng)等于圓周長(zhǎng)的，即，所以n的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為。即在半徑為R的圓中，n的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)的計(jì)算公式為：l=。 說(shuō)明：（1）在應(yīng)用公式進(jìn)行計(jì)算時(shí)，要注意公式中n的意義：n表示1的圓心角的倍數(shù)。公式中的n、180都不帶單位。（2）同圓中圓心角n越大，弧長(zhǎng)越長(zhǎng)；相等的圓心角半徑越大，所對(duì)的弧長(zhǎng)越大，L與n、R兩個(gè)因素有關(guān)。 2. 易錯(cuò)點(diǎn)：扇形的弧長(zhǎng)和扇形的周長(zhǎng)不一樣，扇形的周長(zhǎng)是扇形的弧長(zhǎng)與兩個(gè)半徑的和。 直接利用公式求弧長(zhǎng) 例題1 如圖，AB與⊙O相切于點(diǎn)B，AO的延長(zhǎng)線(xiàn)交⊙O于點(diǎn)C，連接BC，若∠ABC=120，OC=3，則的長(zhǎng)為（　　） A. 　　 B. 2　　 C. 3　　 D. 5 解析：連接OB，由于AB是切線(xiàn)，那么∠ABO=90，而∠ABC=120，易求∠OBC，而OB=OC，那么∠OBC=∠OCB，進(jìn)而求出∠BOC的度數(shù)，在利用弧長(zhǎng)公式即可求出的長(zhǎng)。 解：連接OB。 ∵AB與⊙O相切于點(diǎn)B，∴∠ABO=90?！摺螦BC=120，∴∠OBC=30。 ∵OB=OC，∴∠OCB=30?！唷螧OC=120?！嗟拈L(zhǎng)為，故選B。 答案：B 點(diǎn)撥：利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算弧長(zhǎng)時(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)題意得出圓心角、半徑，而本題解題的關(guān)鍵是連接OB，構(gòu)造直角三角形。 例題2 如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，則頂點(diǎn)A所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為（ ） A. 10π B. C. π D. π 解析：由題意得點(diǎn)A所經(jīng)過(guò)的路徑是以C為圓心，CA長(zhǎng)為半徑，圓心角為60的弧，而要求的頂點(diǎn)A所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)就是求以C為圓心，CA長(zhǎng)為半徑，圓心角為60的弧長(zhǎng)，利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算可得。 解：∵在Rt△ACD中，AD=3，DC=1，∴根據(jù)勾股定理得：AC= ， ∵△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60， ∴頂點(diǎn)A所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為 l==π。故選C。 答案：C 點(diǎn)撥：求動(dòng)點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)，必須先分析清楚動(dòng)點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑是什么。此題中的動(dòng)點(diǎn)繞一定點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)，故動(dòng)點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑是以定點(diǎn)為圓心，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的長(zhǎng)度為半徑的一條弧，從而把求長(zhǎng)度問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求弧長(zhǎng)問(wèn)題，直接利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算。 弧長(zhǎng)公式的逆用 例題3 一條弧所對(duì)的圓心角為135、弧長(zhǎng)等于半徑為5cm的圓的周長(zhǎng)的3倍，則這條弧的半徑為 cm。 解析：已知圓半徑可由圓周長(zhǎng)公式得圓周長(zhǎng)?；￠L(zhǎng)的計(jì)算為公式：，已知圓心角為135，故弧長(zhǎng)為，由題意列方程可解得弧所在圓的半徑。 解：設(shè)弧所在圓的半徑為rcm，由題意得：，解得r=40， 故這條弧的半徑為40cm。 答案：40 點(diǎn)撥：注意區(qū)別圓周長(zhǎng)的計(jì)算公式：（）與弧長(zhǎng)的計(jì)算公式： 弧長(zhǎng)公式在滾動(dòng)問(wèn)題中的應(yīng)用 在旋轉(zhuǎn)變換中，有時(shí)就隱含著弧長(zhǎng)的計(jì)算，準(zhǔn)確理解弧長(zhǎng)公式各個(gè)量的含義，是解題的關(guān)鍵。 滿(mǎn)分訓(xùn)練 如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，邊CD在直線(xiàn)l上，將矩形ABCD沿直線(xiàn)l做無(wú)滑動(dòng)翻滾，當(dāng)點(diǎn)A第一次翻滾到點(diǎn)A1位置時(shí)，則點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)長(zhǎng)為 。 解析：從點(diǎn)A第一次翻滾到點(diǎn)A1位置時(shí)，先確定翻轉(zhuǎn)過(guò)程中點(diǎn)A每一次轉(zhuǎn)角及旋轉(zhuǎn)半徑大小，再求各弧長(zhǎng)，最后求和。 解：如圖，由=5，則==，==2， ==，則點(diǎn)A第一次翻滾到點(diǎn)A1位置時(shí)，則點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)長(zhǎng)為++==6。 答案：6 點(diǎn)撥：根據(jù)弧長(zhǎng)公式l＝可知，確定弧長(zhǎng)的關(guān)鍵是弄清圓心角和半徑大小。 弧長(zhǎng)公式中包含三個(gè)量，已知其中的兩個(gè)可以求出第三個(gè)。所以利用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算一般有三種類(lèi)型：①已知、，代入公式直接求；②已知、，代入公式借助方程求；③已知、，代入公式借助方程求。 （答題時(shí)間：45分鐘） 1. 如圖，某廠生產(chǎn)橫截面直徑為7的圓柱形罐頭，需將“蘑菇罐頭”字樣貼在罐頭側(cè)面，為了獲得較佳視覺(jué)效果，字樣在罐頭側(cè)面所形成的弧的度數(shù)為90，則“蘑菇罐頭”字樣的長(zhǎng)度為（ ） A. B. C. D. 2. （聊城中考）把地球看成一個(gè)表面光滑的球體，假設(shè)沿地球赤道繞緊一圈鋼絲，然后把鋼絲加長(zhǎng)，使鋼絲圈沿赤道處處高出球面16厘米，那么鋼絲大約需加長(zhǎng)（ ） A. 厘米 B. 厘米 C. 厘米 D. 厘米 3. 一個(gè)扇形的圓心角為60，它所對(duì)的弧長(zhǎng)為2πcm，則這個(gè)扇形的半徑為（ ） A. 6cm B. 12cm C. 2cm D. cm 4. 已知一個(gè)扇形的半徑為60厘米，圓心角為150。用它圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，那么圓錐的底面半徑為厘米。 *5. 如圖，⊙O的半徑為6cm，直線(xiàn)AB是⊙O的切線(xiàn)，切點(diǎn)為點(diǎn)B，弦BC∥AO，若∠A＝30，則劣弧的長(zhǎng)為 cm。 6. （四川中考）點(diǎn)A、B、C是半徑為15cm的圓上三點(diǎn)，∠BAC=36，則弧BC的長(zhǎng)為 ______cm。 *7. 點(diǎn)O在直線(xiàn)AB上，點(diǎn)A1、A2、A3…在射線(xiàn)OA上，點(diǎn)B1、B2、B3…在射線(xiàn)OB上，圖中的每一個(gè)實(shí)線(xiàn)段和虛線(xiàn)段的長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度。一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M從O點(diǎn)出發(fā)，按如圖所示的箭頭方向沿實(shí)線(xiàn)段和以O(shè)為圓心的半圓勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度。按此規(guī)律，則動(dòng)點(diǎn)M到達(dá)A101點(diǎn)處所需時(shí)間為 　 。 **8. 如圖，在扇形OAB中，∠AOB=110，半徑OA=18，將扇形OAB沿著過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)折疊，點(diǎn)O恰好落在上的點(diǎn)D處，折痕交OA于點(diǎn)C，則的長(zhǎng)為 。 **9. 如圖，已知CB是⊙O的弦，CD是⊙O的直徑，點(diǎn)A為CD延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，BC=AB，∠CAB=30。（1）求證：AB是⊙O的切線(xiàn)；（2）若⊙O的半徑為2，求的長(zhǎng)。 **10. 如圖所示，AC⊥AB，AB=，AC=2，點(diǎn)D是以AB為直徑的半圓O上一動(dòng)點(diǎn)，DE⊥CD交直線(xiàn)AB于點(diǎn)E，設(shè)∠DAB=，（0＜＜90）。 （1）當(dāng)=18時(shí)，求的長(zhǎng)。（2）當(dāng)=30時(shí)，求線(xiàn)段BE的長(zhǎng)。 （3）若要使點(diǎn)E在線(xiàn)段BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，則的取值范圍是 （直接寫(xiě)出答案）。 *11. 如圖，實(shí)線(xiàn)部分是半徑為15m的兩條等弧組成的游泳池，若每條弧所在的圓都經(jīng)過(guò)另一個(gè)圓的圓心，求游泳池的周長(zhǎng)。  1. B 解析：∵字樣在罐頭側(cè)面所形成的弧的度數(shù)為90，∴此弧所對(duì)的圓心角為90，由題意可得，=cm，則“蘑菇罐頭”字樣的長(zhǎng)= 。故選B。 2. A 解析：先設(shè)地球的半徑為r，則赤道的長(zhǎng)近似為2πr cm，當(dāng)鋼絲圈沿赤道處處高出球面16厘米時(shí)，鋼絲的長(zhǎng)度近似為2π（r+16）cm，則鋼絲大約需加長(zhǎng)2π（r+16）﹣2πr =32π≈100 cm，故選A。 3. A 解析：根據(jù)弧長(zhǎng)公式，πr=2π，解得r=6，故選A。 4. 25 解析：設(shè)圓錐的底面半徑為r，則圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)R=60cm，因?yàn)閳A錐的底面周長(zhǎng)等于其側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)，所以2πr=，解得r=25cm。 5. 解析：∵AB是⊙O的切線(xiàn)，∴AB⊥BO。 ∵∠A=30，∴∠AOB=60。∵BC∥AO，∴∠OBC=∠AOB=60。在等腰△OBC中，∠BOC=180﹣2∠OBC=180﹣260=60?！嗷C的長(zhǎng)為cm。 6. 6π 解析：如圖，在⊙O中，∠BAC=36，∴∠BOC=72，∴根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算弧BC的長(zhǎng)為：=6π。 7. （5050 π＋101）s 解析：動(dòng)點(diǎn)M到達(dá)A1的時(shí)間為1s，到達(dá)A2的時(shí)間為[]s，到達(dá)A3的時(shí)間為[]s，到達(dá)A4的時(shí)間為[]s，……，所以到達(dá)A101的時(shí)間為[]s=(5050 π＋101)s。 8. 5π 解析：如圖，連接OD。由折疊可得OB=DB=OD，∴△ODB是等邊三角形，從而DOB=60。 ∴∠AOD=∠AOB－∠DOB=50，因此的長(zhǎng)為=5π。 9. 解析：（1）∵BC=AB，∴∠C=∠A=30，∴∠BOA=2∠C=60， ∴∠OBA=180－∠A－∠BOA=180－30－60=90，∴AB是⊙O的切線(xiàn)。 ⑵的長(zhǎng)=。 10. 解析：（1）連接OD，∵=18，∴∠BOD=36，又∵AB=，∴OB=，∴的長(zhǎng)==。 （2）∵AB是半圓O的直徑，∴∠ADB=90，又∵=30，∴∠B=60，又∵AC為半圓O的切線(xiàn)，∴∠CAD=60，∴∠CAD=∠B，又∵DE⊥CD，∴∠ADC+∠ADE=90，又∵∠ADE+∠BDE=90，∴∠BDE=∠ADC，∴△BDE∽△ADC，∴，即，∴BE=。 （3）60＜＜90。 11. 解析：如圖，連接O1O2，O1A，O1B，O2A，O2B， 因?yàn)椤袿1和⊙O2是等圓，∴△O1O2A，△O1O2B都是等邊三角形，∴∠AO1B=∠AO2B=120， ∴周長(zhǎng)為：22π15=40π，所以游泳池的周長(zhǎng)為40πm。