中考數(shù)學(xué)試題分類匯編 考點36 相似三角形（含解析）.doc

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xx中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：考點36 相似三角形 一．選擇題（共28小題） 1．（xx?重慶）制作一塊3m2m長方形廣告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情況下，若將此廣告牌的四邊都擴大為原來的3倍，那么擴大后長方形廣告牌的成本是（　?。? A．360元 B．720元 C．1080元 D．2160元 【分析】根據(jù)題意求出長方形廣告牌每平方米的成本，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)求出擴大后長方形廣告牌的面積，計算即可． 【解答】解：3m2m=6m2， ∴長方形廣告牌的成本是1206=20元/m2， 將此廣告牌的四邊都擴大為原來的3倍， 則面積擴大為原來的9倍， ∴擴大后長方形廣告牌的面積=96=54m2， ∴擴大后長方形廣告牌的成本是5420=1080m2， 故選：C． 　 2．（xx?玉林）兩三角形的相似比是2：3，則其面積之比是（　?。? A．： B．2：3 C．4：9 D．8：27 【分析】根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計算即可． 【解答】解：∵兩三角形的相似比是2：3， ∴其面積之比是4：9， 故選：C． 　 3．（xx?重慶）要制作兩個形狀相同的三角形框架，其中一個三角形的三邊長分別為5cm，6cm和9cm，另一個三角形的最短邊長為2.5cm，則它的最長邊為（　?。? A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm 【分析】根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求解可得． 【解答】解：設(shè)另一個三角形的最長邊長為xcm， 根據(jù)題意，得： =， 解得：x=4.5， 即另一個三角形的最長邊長為4.5cm， 故選：C． 　 4．（xx?內(nèi)江）已知△ABC與△A1B1C1相似，且相似比為1：3，則△ABC與△A1B1C1的面積比為（　?。? A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：9 【分析】利用相似三角形面積之比等于相似比的平方，求出即可． 【解答】解：已知△ABC與△A1B1C1相似，且相似比為1：3， 則△ABC與△A1B1C1的面積比為1：9， 故選：D． 　 5．（xx?銅仁市）已知△ABC∽△DEF，相似比為2，且△ABC的面積為16，則△DEF的面積為（　?。? A．32 B．8 C．4 D．16 【分析】由△ABC∽△DEF，相似比為2，根據(jù)相似三角形的面積的比等于相似比的平方，即可得△ABC與△DEF的面積比為4，又由△ABC的面積為16，即可求得△DEF的面積． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比為2， ∴△ABC與△DEF的面積比為4， ∵△ABC的面積為16， ∴△DEF的面積為：16=4． 故選：C． 　 6．（xx?重慶）已知△ABC∽△DEF，且相似比為1：2，則△ABC與△DEF的面積比為（　?。? A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1 【分析】利用相似三角形面積之比等于相似比的平方計算即可． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比為1：2， ∴△ABC與△DEF的面積比為1：4， 故選：A． 　 7．（xx?臨安區(qū)）如圖，小正方形的邊長均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)求出∠ACB，根據(jù)相似三角形的判定定理判斷即可． 【解答】解：由正方形的性質(zhì)可知，∠ACB=180﹣45=135， A、C、D圖形中的鈍角都不等于135， 由勾股定理得，BC=，AC=2， 對應(yīng)的圖形B中的邊長分別為1和， ∵=， ∴圖B中的三角形（陰影部分）與△ABC相似， 故選：B． 　 8．（xx?廣東）在△ABC中，點D、E分別為邊AB、AC的中點，則△ADE與△ABC的面積之比為（　?。? A． B． C． D． 【分析】由點D、E分別為邊AB、AC的中點，可得出DE為△ABC的中位線，進而可得出DE∥BC及△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性質(zhì)即可求出△ADE與△ABC的面積之比． 【解答】解：∵點D、E分別為邊AB、AC的中點， ∴DE為△ABC的中位線， ∴DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴=（）2=． 故選：C． 　 9．（xx?自貢）如圖，在△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，若△ADE的面積為4，則△ABC的面積為（　?。? A．8 B．12 C．14 D．16 【分析】直接利用三角形中位線定理得出DE∥BC，DE=BC，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出答案． 【解答】解：∵在△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點， ∴DE∥BC，DE=BC， ∴△ADE∽△ABC， ∵=， ∴=， ∵△ADE的面積為4， ∴△ABC的面積為：16， 故選：D． 　 10．（xx?崇明縣一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在邊DC上，DE：EC=3：1，連接AE交BD于點F，則△DEF的面積與△BAF的面積之比為（　?。? A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1 【分析】可證明△DFE∽△BFA，根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方即可得出答案． 【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形， ∴DC∥AB， ∴△DFE∽△BFA， ∵DE：EC=3：1， ∴DE：DC=3：4， ∴DE：AB=3：4， ∴S△DFE：S△BFA=9：16． 故選：B． 　 11．（xx?隨州）如圖，平行于BC的直線DE把△ABC分成面積相等的兩部分，則的值為（　?。? A．1 B． C． 1 D． 【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)結(jié)合S△ADE=S四邊形BCED，可得出=，結(jié)合BD=AB﹣AD即可求出的值，此題得解． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C， ∴△ADE∽△ABC， ∴（）2=． ∵S△ADE=S四邊形BCED， ∴=， ∴===﹣1． 故選：C． 　 12．（xx?哈爾濱）如圖，在△ABC中，點D在BC邊上，連接AD，點G在線段AD上，GE∥BD，且交AB于點E，GF∥AC，且交CD于點F，則下列結(jié)論一定正確的是（　?。? A． = B． = C． = D． = 【分析】由GE∥BD、GF∥AC可得出△AEG∽△ABD、△DFG∽△DCA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可找出==，此題得解． 【解答】解：∵GE∥BD，GF∥AC， ∴△AEG∽△ABD，△DFG∽△DCA， ∴=， =， ∴==． 故選：D． 　 13．（xx?遵義）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90，AB=5，BC=10，連接AC、BD，以BD為直徑的圓交AC于點E．若DE=3，則AD的長為（　?。? A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】先求出AC，進而判斷出△ADF∽△CAB，即可設(shè)DF=x，AD=x，利用勾股定理求出BD，再判斷出△DEF∽△DBA，得出比例式建立方程即可得出結(jié)論． 【解答】解：如圖，在Rt△ABC中，AB=5，BC=10， ∴AC=5 過點D作DF⊥AC于F， ∴∠AFD=∠CBA， ∵AD∥BC， ∴∠DAF=∠ACB， ∴△ADF∽△CAB， ∴， ∴， 設(shè)DF=x，則AD=x， 在Rt△ABD中，BD==， ∵∠DEF=∠DBA，∠DFE=∠DAB=90， ∴△DEF∽△DBA， ∴， ∴， ∴x=2， ∴AD=x=2， 故選：D． 　 14．（xx?揚州）如圖，點A在線段BD上，在BD的同側(cè)作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD與BE、AE分別交于點P，M．對于下列結(jié)論： ①△BAE∽△CAD；②MP?MD=MA?ME；③2CB2=CP?CM．其中正確的是（　　） A．①②③ B．① C．①② D．②③ 【分析】（1）由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三邊份數(shù)關(guān)系可證； （2）通過等積式倒推可知，證明△PAM∽△EMD即可； （3）2CB2轉(zhuǎn)化為AC2，證明△ACP∽△MCA，問題可證． 【解答】解：由已知：AC=AB，AD=AE ∴ ∵∠BAC=∠EAD ∴∠BAE=∠CAD ∴△BAE∽△CAD 所以①正確 ∵△BAE∽△CAD ∴∠BEA=∠CDA ∵∠PME=∠AMD ∴△PME∽△AMD ∴ ∴MP?MD=MA?ME 所以②正確 ∵∠BEA=∠CDA ∠PME=∠AMD ∴P、E、D、A四點共圓 ∴∠APD=∠EAD=90 ∵∠CAE=180﹣∠BAC﹣∠EAD=90 ∴△CAP∽△CMA ∴AC2=CP?CM ∵AC=AB ∴2CB2=CP?CM 所以③正確 故選：A． 　 15．（xx?貴港）如圖，在△ABC中，EF∥BC，AB=3AE，若S四邊形BCFE=16，則S△ABC=（　?。? A．16 B．18 C．20 D．24 【分析】由EF∥BC，可證明△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出則S△ABC的值． 【解答】解：∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∵AB=3AE， ∴AE：AB=1：3， ∴S△AEF：S△ABC=1：9， 設(shè)S△AEF=x， ∵S四邊形BCFE=16， ∴=， 解得：x=2， ∴S△ABC=18， 故選：B． 　 16．（xx?孝感）如圖，△ABC是等邊三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90，AE⊥BD于點E，連CD分別交AE，AB于點F，G，過點A作AH⊥CD交BD于點H．則下列結(jié)論：①∠ADC=15；②AF=AG；③AH=DF；④△AFG∽△CBG；⑤AF=（﹣1）EF．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】①由等邊三角形與等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且頂角∠CAD=150，據(jù)此可判斷；②求出∠AFP和∠FAG度數(shù)，從而得出∠AGF度數(shù)，據(jù)此可判斷；③證△ADF≌△BAH即可判斷；④由∠AFG=∠CBG=60、∠AGF=∠CGB即可得證；⑤設(shè)PF=x，則AF=2x、AP==x，設(shè)EF=a，由△ADF≌△BAH知BH=AF=2x，根據(jù)△ABE是等腰直角三角形之BE=AE=a+2x，據(jù)此得出EH=a，證△PAF∽△EAH得=，從而得出a與x的關(guān)系即可判斷． 【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，△ABD為等腰直角三角形， ∴∠BAC=60、∠BAD=90、AC=AB=AD，∠ADB=∠ABD=45， ∴△CAD是等腰三角形，且頂角∠CAD=150， ∴∠ADC=15，故①正確； ∵AE⊥BD，即∠AED=90， ∴∠DAE=45， ∴∠AFG=∠ADC+∠DAE=60，∠FAG=45， ∴∠AGF=75， 由∠AFG≠∠AGF知AF≠AG，故②錯誤； 記AH與CD的交點為P， 由AH⊥CD且∠AFG=60知∠FAP=30， 則∠BAH=∠ADC=15， 在△ADF和△BAH中， ∵， ∴△ADF≌△BAH（ASA）， ∴DF=AH，故③正確； ∵∠AFG=∠CBG=60，∠AGF=∠CGB， ∴△AFG∽△CBG，故④正確； 在Rt△APF中，設(shè)PF=x，則AF=2x、AP==x， 設(shè)EF=a， ∵△ADF≌△BAH， ∴BH=AF=2x， △ABE中，∵∠AEB=90、∠ABE=45， ∴BE=AE=AF+EF=a+2x， ∴EH=BE﹣BH=a+2x﹣2x=a， ∵∠APF=∠AEH=90，∠FAP=∠HAE， ∴△PAF∽△EAH， ∴=，即=， 整理，得：2x2=（﹣1）ax， 由x≠0得2x=（﹣1）a，即AF=（﹣1）EF，故⑤正確； 故選：B． 　 17．（xx?瀘州）如圖，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別在邊AD，CD上，AF，BE相交于點G，若AE=3ED，DF=CF，則的值是（　?。? A． B． C． D． 【分析】如圖作，F(xiàn)N∥AD，交AB于N，交BE于M．設(shè)DE=a，則AE=3a，利用平行線分線段成比例定理解決問題即可； 【解答】解：如圖作，F(xiàn)N∥AD，交AB于N，交BE于M． ∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB∥CD，∵FN∥AD， ∴四邊形ANFD是平行四邊形， ∵∠D=90， ∴四邊形ANFD是解析式， ∵AE=3DE，設(shè)DE=a，則AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a， ∵AN=BN，MN∥AE， ∴BM=ME， ∴MN=a， ∴FM=a， ∵AE∥FM， ∴===， 故選：C． 　 18．（xx?臨安區(qū)）如圖，在△ABC中，DE∥BC，DE分別與AB，AC相交于點D，E，若AD=4，DB=2，則DE：BC的值為（　　） A． B． C． D． 【分析】根據(jù)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所截得的三角形與原三角形相似，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例解則可． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴===． 故選：A． 　 19．（xx?恩施州）如圖所示，在正方形ABCD中，G為CD邊中點，連接AG并延長交BC邊的延長線于E點，對角線BD交AG于F點．已知FG=2，則線段AE的長度為（　?。? A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出AB∥CD，進而可得出△ABF∽△GDF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出==2，結(jié)合FG=2可求出AF、AG的長度，由CG∥AB、AB=2CG可得出CG為△EAB的中位線，再利用三角形中位線的性質(zhì)可求出AE的長度，此題得解． 【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF， ∴△ABF∽△GDF， ∴==2， ∴AF=2GF=4， ∴AG=6． ∵CG∥AB，AB=2CG， ∴CG為△EAB的中位線， ∴AE=2AG=12． 故選：D． 　 20．（xx?杭州）如圖，在△ABC中，點D在AB邊上，DE∥BC，與邊AC交于點E，連結(jié)BE．記△ADE，△BCE的面積分別為S1，S2（　　） A．若2AD＞AB，則3S1＞2S2 B．若2AD＞AB，則3S1＜2S2 C．若2AD＜AB，則3S1＞2S2 D．若2AD＜AB，則3S1＜2S2 【分析】根據(jù)題意判定△ADE∽△ABC，由相似三角形的面積之比等于相似比的平方解答． 【解答】解：∵如圖，在△ABC中，DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴=（）2， ∴若2AD＞AB，即＞時，＞， 此時3S1＞S2+S△BDE，而S2+S△BDE＜2S2．但是不能確定3S1與2S2的大小， 故選項A不符合題意，選項B不符合題意． 若2AD＜AB，即＜時，＜， 此時3S1＜S2+S△BDE＜2S2， 故選項C不符合題意，選項D符合題意． 故選：D． 　 21．（xx?永州）如圖，在△ABC中，點D是邊AB上的一點，∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6，則邊AC的長為（　?。? A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】只要證明△ADC∽△ACB，可得=，即AC2=AD?AB，由此即可解決問題； 【解答】解：∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB， ∴△ADC∽△ACB， ∴=， ∴AC2=AD?AB=28=16， ∵AC＞0， ∴AC=4， 故選：B． 　 22．（xx?香坊區(qū)）如圖，點D、E、F分別是△ABC的邊AB、AC、BC上的點，若DE∥BC，EF∥AB，則下列比例式一定成立的是（　?。? A． = B． = C． = D． = 【分析】用平行線分線段成比例定理和相似三角形的判定即可得出結(jié)論． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵EF∥AB， ∴， ∵EF∥AB， ∴△CEF∽△CAB， ∴， ∵DE∥BC，EF∥AB， ∴四邊形BDEF是平行四邊形， ∴DE=BF，EF=BD， ∴，，，， ∴正確， 故選：C． 　 23．（xx?荊門）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，E、F為CD邊的兩個三等分點，連接AF、BE交于點G，則S△EFG：S△ABG=（　?。? A．1：3 B．3：1 C．1：9 D．9：1 【分析】利用相似三角形的性質(zhì)面積比等于相似比的平方即可解決問題； 【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴CD=AB，CD∥AB， ∵DE=EF=FC， ∴EF：AB=1：3， ∴△EFG∽△BAG， ∴=（）2=， 故選：C． 　 24．（xx?達州）如圖，E，F(xiàn)是平行四邊形ABCD對角線AC上兩點，AE=CF=AC．連接DE，DF并延長，分別交AB，BC于點G，H，連接GH，則的值為（　　） A． B． C． D．1 【分析】首先證明AG：AB=CH：BC=1：3，推出GH∥AC，推出△BGH∽△BAC，可得==（）2=（）2=， =，由此即可解決問題． 【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴AD=BC，DC=AB， ∵AC=CA， ∴△ADC≌△CBA， ∴S△ADC=S△ABC， ∵AE=CF=AC，AG∥CD，CH∥AD， ∴AG：DC=AE：CE=1：3，CH：AD=CF：AF=1：3， ∴AG：AB=CH：BC=1：3， ∴GH∥AC， ∴△BGH∽△BAC， ∴==（）2=（）2=， ∵=， ∴==， 故選：C． 　 25．（xx?南充）如圖，正方形ABCD的邊長為2，P為CD的中點，連結(jié)AP，過點B作BE⊥AP于點E，延長CE交AD于點F，過點C作CH⊥BE于點G，交AB于點H，連接HF．下列結(jié)論正確的是（　　） A．CE= B．EF= C．cos∠CEP= D．HF2=EF?CF 【分析】首先證明BH=AH，推出EG=BG，推出CE=CB，再證明△CEH≌△CBH，Rt△HFE≌Rt△HFA，利用全等三角形的性質(zhì)即可一一判斷． 【解答】解：連接EH． ∵四邊形ABCD是正方形， ∴CD=AB═BC=AD=2，CD∥AB， ∵BE⊥AP，CH⊥BE， ∴CH∥PA， ∴四邊形CPAH是平行四邊形， ∴CP=AH， ∵CP=PD=1， ∴AH=PC=1， ∴AH=BH， 在Rt△ABE中，∵AH=HB， ∴EH=HB，∵HC⊥BE， ∴BG=EG， ∴CB=CE=2，故選項A錯誤， ∵CH=CH，CB=CE，HB=HE， ∴△ABC≌△CEH， ∴∠CBH=∠CEH=90， ∵HF=HF，HE=HA， ∴Rt△HFE≌Rt△HFA， ∴AF=EF，設(shè)EF=AF=x， 在Rt△CDF中，有22+（2﹣x）2=（2+x）2， ∴x=， ∴EF=，故B錯誤， ∵PA∥CH， ∴∠CEP=∠ECH=∠BCH， ∴cos∠CEP=cos∠BCH==，故C錯誤． ∵HF=，EF=，F(xiàn)C= ∴HF2=EF?FC，故D正確， 故選：D． 　 26．（xx?臨沂）如圖．利用標(biāo)桿BE測量建筑物的高度．已知標(biāo)桿BE高1.2m，測得AB=1.6m．BC=12.4m．則建筑物CD的高是（　?。? A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m 【分析】先證明∴△ABE∽△ACD，則利用相似三角形的性質(zhì)得=，然后利用比例性質(zhì)求出CD即可． 【解答】解：∵EB∥CD， ∴△ABE∽△ACD， ∴=，即=， ∴CD=10.5（米）． 故選：B． 　 27．（xx?長春）《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，成書于約一千五百年前，其中有首歌謠：今有竿不知其長，量得影長一丈五尺，立一標(biāo)桿，長一尺五寸，影長五寸，問竿長幾何？意即：有一根竹竿不知道有多長，量出它在太陽下的影子長一丈五尺，同時立一根一尺五寸的小標(biāo)桿，它的影長五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），則竹竿的長為（　?。? A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺 【分析】根據(jù)同一時刻物高與影長成正比可得出結(jié)論． 【解答】解：設(shè)竹竿的長度為x尺， ∵竹竿的影長=一丈五尺=15尺，標(biāo)桿長=一尺五寸=1.5尺，影長五寸=0.5尺， ∴，解得x=45（尺）． 故選：B． 　 28．（xx?紹興）學(xué)校門口的欄桿如圖所示，欄桿從水平位置BD繞O點旋轉(zhuǎn)到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分別為B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，則欄桿C端應(yīng)下降的垂直距離CD為（　?。? A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m 【分析】由∠ABO=∠CDO=90、∠AOB=∠COD知△ABO∽△CDO，據(jù)此得=，將已知數(shù)據(jù)代入即可得． 【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABO=∠CDO=90， 又∵∠AOB=∠COD， ∴△ABO∽△CDO， 則=， ∵AO=4m，AB=1.6m，CO=1m， ∴=， 解得：CD=0.4， 故選：C． 　 二．填空題（共7小題） 29．（xx?邵陽）如圖所示，點E是平行四邊形ABCD的邊BC延長線上一點，連接AE，交CD于點F，連接BF．寫出圖中任意一對相似三角形：　△ADF∽△ECF?。? 【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)得到AD∥CE，則根據(jù)相似三角形的判定方法可判斷△ADF∽△ECF． 【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形， ∴AD∥CE， ∴△ADF∽△ECF． 故答案為△ADF∽△ECF． 　 30．（xx?北京）如圖，在矩形ABCD中，E是邊AB的中點，連接DE交對角線AC于點F，若AB=4，AD=3，則CF的長為　　． 【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得出AB∥CD，進而可得出∠FAE=∠FCD，結(jié)合∠AFE=∠CFD（對頂角相等）可得出△AFE∽△CFD，利用相似三角形的性質(zhì)可得出==2，利用勾股定理可求出AC的長度，再結(jié)合CF=?AC，即可求出CF的長． 【解答】解：∵四邊形ABCD為矩形， ∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD， ∴∠FAE=∠FCD， 又∵∠AFE=∠CFD， ∴△AFE∽△CFD， ∴==2． ∵AC==5， ∴CF=?AC=5=． 故答案為：． 　 31．（xx?包頭）如圖，在?ABCD中，AC是一條對角線，EF∥BC，且EF與AB相交于點E，與AC相交于點F，3AE=2EB，連接DF．若S△AEF=1，則S△ADF的值為　?。? 【分析】由3AE=2EB可設(shè)AE=2a、BE=3a，根據(jù)EF∥BC得=（）2=，結(jié)合S△AEF=1知S△ADC=S△ABC=，再由==知=，繼而根據(jù)S△ADF=S△ADC可得答案． 【解答】解：∵3AE=2EB， ∴可設(shè)AE=2a、BE=3a， ∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴=（）2=（）2=， ∵S△AEF=1， ∴S△ABC=， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴S△ADC=S△ABC=， ∵EF∥BC， ∴===， ∴==， ∴S△ADF=S△ADC==， 故答案為：． 　 32．（xx?資陽）已知：如圖，△ABC的面積為12，點D、E分別是邊AB、AC的中點，則四邊形BCED的面積為　9?。? 【分析】設(shè)四邊形BCED的面積為x，則S△ADE=12﹣x，由題意知DE∥BC且DE=BC，從而得=（）2，據(jù)此建立關(guān)于x的方程，解之可得． 【解答】解：設(shè)四邊形BCED的面積為x，則S△ADE=12﹣x， ∵點D、E分別是邊AB、AC的中點， ∴DE是△ABC的中位線， ∴DE∥BC，且DE=BC， ∴△ADE∽△ABC， 則=（）2，即=， 解得：x=9， 即四邊形BCED的面積為9， 故答案為：9． 　 33．（xx?泰安）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，在“勾股”章中有這樣一個問題：“今有邑方二百步，各中開門，出東門十五步有木，問：出南門幾步面見木？” 用今天的話說，大意是：如圖，DEFG是一座邊長為200步（“步”是古代的長度單位）的正方形小城，東門H位于GD的中點，南門K位于ED的中點，出東門15步的A處有一樹木，求出南門多少步恰好看到位于A處的樹木（即點D在直線AC上）？請你計算KC的長為　　步． 【分析】證明△CDK∽△DAH，利用相似三角形的性質(zhì)得=，然后利用比例性質(zhì)可求出CK的長． 【解答】解：DH=100，DK=100，AH=15， ∵AH∥DK， ∴∠CDK=∠A， 而∠CKD=∠AHD， ∴△CDK∽△DAH， ∴=，即=， ∴CK=． 答：KC的長為步． 故答案為． 　 34．（xx?岳陽）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，書中有下列問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？”其意思為：“今有直角三角形，勾（短直角邊）長為5步，股（長直角邊）長為12步，問該直角三角形能容納的正方形邊長最大是多少步？”該問題的答案是　　步． 【分析】如圖1，根據(jù)正方形的性質(zhì)得：DE∥BC，則△ADE∽△ACB，列比例式可得結(jié)論；如圖2，同理可得正方形的邊長，比較可得最大值． 【解答】解：如圖1，∵四邊形CDEF是正方形， ∴CD=ED，DE∥CF， 設(shè)ED=x，則CD=x，AD=12﹣x， ∵DE∥CF， ∴∠ADE=∠C，∠AED=∠B， ∴△ADE∽△ACB， ∴， ∴， x=， 如圖2，四邊形DGFE是正方形， 過C作CP⊥AB于P，交DG于Q， 設(shè)ED=x， S△ABC=AC?BC=AB?CP， 125=13CP， CP=， 同理得：△CDG∽△CAB， ∴， ∴， x=， ∴該直角三角形能容納的正方形邊長最大是（步）， 故答案為：． 　 35．（xx?吉林）如圖是測量河寬的示意圖，AE與BC相交于點D，∠B=∠C=90，測得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河寬AB=　100　m． 【分析】由兩角對應(yīng)相等可得△BAD∽△CED，利用對應(yīng)邊成比例可得兩岸間的大致距離AB． 【解答】解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90， ∴△ABD∽△ECD， ∴，， 解得：AB=（米）． 故答案為：100． 　 三．解答題（共15小題） 36．（xx?張家界）如圖，點P是⊙O的直徑AB延長線上一點，且AB=4，點M為上一個動點（不與A，B重合），射線PM與⊙O交于點N（不與M重合） （1）當(dāng)M在什么位置時，△MAB的面積最大，并求岀這個最大值； （2）求證：△PAN∽△PMB． 【分析】（1）當(dāng)M在弧AB中點時，三角形MAB面積最大，此時OM與AB垂直，求出此時三角形面積最大值即可； （2）由同弧所對的圓周角相等及公共角，利用兩對角相等的三角形相似即可得證． 【解答】解：（1）當(dāng)點M在的中點處時，△MAB面積最大，此時OM⊥AB， ∵OM=AB=4=2， ∴S△ABM=AB?OM=42=4； （2）∵∠PMB=∠PAN，∠P=∠P， ∴△PAN∽△PMB． 　 37．（xx?株洲）如圖，在Rt△ABM和Rt△ADN的斜邊分別為正方形的邊AB和AD，其中AM=AN． （1）求證：Rt△ABM≌Rt△AND； （2）線段MN與線段AD相交于T，若AT=，求tan∠ABM的值． 【分析】（1）利用HL證明即可； （2）想辦法證明△DNT∽△AMT，可得由AT=，推出，在Rt△ABM中，tan∠ABM=． 【解答】解：（1）∵AD=AB，AM=AN，∠AMB=∠AND=90 ∴Rt△ABM≌Rt△AND（HL）． （2）由Rt△ABM≌Rt△AND易得：∠DAN=∠BAM，DN=BM ∵∠BAM+∠DAM=90；∠DAN+∠ADN=90 ∴∠DAM=∠AND ∴ND∥AM ∴△DNT∽△AMT ∴ ∵AT=， ∴ ∵Rt△ABM ∴tan∠ABM=． 　 38．（xx?大慶）如圖，AB是⊙O的直徑，點E為線段OB上一點（不與O，B重合），作EC⊥OB，交⊙O于點C，作直徑CD，過點C的切線交DB的延長線于點P，作AF⊥PC于點F，連接CB． （1）求證：AC平分∠FAB； （2）求證：BC2=CE?CP； （3）當(dāng)AB=4且=時，求劣弧的長度． 【分析】（1）根據(jù)等角的余角相等證明即可； （2）只要證明△CBE∽△CPB，可得=解決問題； （3）作BM⊥PF于M．則CE=CM=CF，設(shè)CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，利用相似三角形的性質(zhì)求出BM，求出tan∠BCM的值即可解決問題； 【解答】（1）證明：∵AB是直徑， ∴∠ACB=90， ∴∠BCP+∠ACF=90，∠ACE+∠BCE=90， ∵∠BCP=∠BCE， ∴∠ACF=∠ACE，即AC平分∠FAB． （2）證明：∵OC=OB， ∴∠OCB=∠OBC， ∵PF是⊙O的切線，CE⊥AB， ∴∠OCP=∠CEB=90， ∴∠PCB+∠OCB=90，∠BCE+∠OBC=90， ∴∠BCE=∠BCP， ∵CD是直徑， ∴∠CBD=∠CBP=90， ∴△CBE∽△CPB， ∴=， ∴BC2=CE?CP； （3）解：作BM⊥PF于M．則CE=CM=CF，設(shè)CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a， ∵∠MCB+∠P=90，∠P+∠PBM=90， ∴∠MCB=∠PBM， ∵CD是直徑，BM⊥PC， ∴∠CMB=∠BMP=90， ∴△BMC∽△PMB， ∴=， ∴BM2=CM?PM=3a2， ∴BM=a， ∴tan∠BCM==， ∴∠BCM=30， ∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60，∠BOD=120 ∴的長==π． 　 39．（xx?江西）如圖，在△ABC中，AB=8，BC=4，CA=6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分線，BD交AC于點E，求AE的長． 【分析】根據(jù)角平分線定義和平行線的性質(zhì)求出∠D=∠CBD，求出BC=CD=4，證△AEB∽△CED，得出比例式，求出AE=2CE，即可得出答案． 【解答】解：∵BD為∠ABC的平分線， ∴∠ABD=∠CBD， ∵AB∥CD， ∴∠D=∠ABD， ∴∠D=∠CBD， ∴BC=CD， ∵BC=4， ∴CD=4， ∵AB∥CD， ∴△ABE∽△CDE， ∴=， ∴=， ∴AE=2CE， ∵AC=6=AE+CE， ∴AE=4． 　 40．（xx?上海）已知：如圖，正方形ABCD中，P是邊BC上一點，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分別是點E、F． （1）求證：EF=AE﹣BE； （2）聯(lián)結(jié)BF，如課=．求證：EF=EP． 【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)得AB=AD，∠BAD=90，根據(jù)等角的余角相等得到∠1=∠3，則可判斷△ABE≌△DAF，則BE=AF，然后利用等線段代換可得到結(jié)論； （2）利用=和AF=BE得到=，則可判定Rt△BEF∽Rt△DFA，所以∠4=∠3，再證明∠4=∠5，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可判斷EF=EP． 【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD為正方形， ∴AB=AD，∠BAD=90， ∵BE⊥AP，DF⊥AP， ∴∠BEA=∠AFD=90， ∵∠1+∠2=90，∠2+∠3=90， ∴∠1=∠3， 在△ABE和△DAF中 ， ∴△ABE≌△DAF， ∴BE=AF， ∴EF=AE﹣AF=AE﹣BE； （2）如圖，∵=， 而AF=BE， ∴=， ∴=， ∴Rt△BEF∽Rt△DFA， ∴∠4=∠3， 而∠1=∠3， ∴∠4=∠1， ∵∠5=∠1， ∴∠4=∠5， 即BE平分∠FBP， 而BE⊥EP， ∴EF=EP． 　 41．（xx?東營）如圖，CD是⊙O的切線，點C在直徑AB的延長線上． （1）求證：∠CAD=∠BDC； （2）若BD=AD，AC=3，求CD的長． 【分析】（1）連接OD，由OB=OD可得出∠OBD=∠ODB，根據(jù)切線的性質(zhì)及直徑所對的圓周角等于180，利用等角的余角相等，即可證出∠CAD=∠BDC； （2）由∠C=∠C、∠CAD=∠CDB可得出△CDB∽△CAD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)結(jié)合BD=AD、AC=3，即可求出CD的長． 【解答】（1）證明：連接OD，如圖所示． ∵OB=OD， ∴∠OBD=∠ODB． ∵CD是⊙O的切線，OD是⊙O的半徑， ∴∠ODB+∠BDC=90． ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ADB=90， ∴∠OBD+∠CAD=90， ∴∠CAD=∠BDC． （2）解：∵∠C=∠C，∠CAD=∠CDB， ∴△CDB∽△CAD， ∴=． ∵BD=AD， ∴=， ∴=， 又∵AC=3， ∴CD=2． 　 42．（xx?南京）如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點，連接DE．過點A作AF⊥DE，垂足為F，⊙O經(jīng)過點C、D、F，與AD相交于點G． （1）求證：△AFG∽△DFC； （2）若正方形ABCD的邊長為4，AE=1，求⊙O的半徑． 【分析】（1）欲證明△AFG∽△DFC，只要證明∠FAG=∠FDC，∠AGF=∠FCD； （2）首先證明CG是直徑，求出CG即可解決問題； 【解答】（1）證明：在正方形ABCD中，∠ADC=90， ∴∠CDF+∠ADF=90， ∵AF⊥DE， ∴∠AFD=90， ∴∠DAF+∠ADF=90， ∴∠DAF=∠CDF， ∵四邊形GFCD是⊙O的內(nèi)接四邊形， ∴∠FCD+∠DGF=180， ∵∠FGA+∠DGF=180， ∴∠FGA=∠FCD， ∴△AFG∽△DFC． （2）解：如圖，連接CG． ∵∠EAD=∠AFD=90，∠EDA=∠ADF， ∴△EDA∽△ADF， ∴=，即=， ∵△AFG∽△DFC， ∴=， ∴=， 在正方形ABCD中，DA=DC， ∴AG=EA=1，DG=DA﹣AG=4﹣1=3， ∴CG==5， ∵∠CDG=90， ∴CG是⊙O的直徑， ∴⊙O的半徑為． 　 43．（xx?濱州）如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，AD⊥CD于點D，且AC平分∠DAB，求證： （1）直線DC是⊙O的切線； （2）AC2=2AD?AO． 【分析】（1）連接OC，由OA=OC、AC平分∠DAB知∠OAC=∠OCA=∠DAC，據(jù)此知OC∥AD，根據(jù)AD⊥DC即可得證； （2）連接BC，證△DAC∽△CAB即可得． 【解答】解：（1）如圖，連接OC， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∵AC平分∠DAB， ∴∠OAC=∠DAC， ∴∠DAC=∠OCA， ∴OC∥AD， 又∵AD⊥CD， ∴OC⊥DC， ∴DC是⊙O的切線； （2）連接BC， ∵AB為⊙O的直徑， ∴AB=2AO，∠ACB=90， ∵AD⊥DC， ∴∠ADC=∠ACB=90， 又∵∠DAC=∠CAB， ∴△DAC∽△CAB， ∴=，即AC2=AB?AD， ∵AB=2AO， ∴AC2=2AD?AO． 　 44．（xx?十堰）如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，交AC于點E，過點D作FG⊥AC于點F，交AB的延長線于點G． （1）求證：FG是⊙O的切線； （2）若tanC=2，求的值． 【分析】（1）欲證明FG是⊙O的切線，只要證明OD⊥FG； （2）由△GDB∽△GAD，設(shè)BG=a．可得===，推出DG=2a，AG=4a，由此即可解決問題； 【解答】（1）證明：連接AD、OD． ∵AB是直徑， ∴∠ADB=90，即AD⊥BC， ∵AC=AB， ∴CD=BD， ∵OA=OB， ∴OD∥AC， ∵DF⊥AC， ∴OD⊥DF， ∴FG是⊙O的切線． （2）解：∵tanC==2，BD=CD， ∴BD：AD=1：2， ∵∠GDB+∠ODB=90，∠ADO+∠ODB=90， ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA， ∴∠GDB=∠GAD， ∵∠G=∠G， ∴△GDB∽△GAD，設(shè)BG=a． ∴===， ∴DG=2a，AG=4a， ∴BG：GA=1：4． 　 45．（xx?杭州）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD為BC邊上的中線，DE⊥AB于點E． （1）求證：△BDE∽△CAD． （2）若AB=13，BC=10，求線段DE的長． 【分析】（1）想辦法證明∠B=∠C，∠DEB=∠ADC=90即可解決問題； （2）利用面積法： ?AD?BD=?AB?DE求解即可； 【解答】解：（1）∵AB=AC，BD=CD， ∴AD⊥BC，∠B=∠C， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB=∠ADC， ∴△BDE∽△CAD． （2）∵AB=AC，BD=CD， ∴AD⊥BC， 在Rt△ADB中，AD===12， ∵?AD?BD=?AB?DE， ∴DE=． 　 46．（xx?煙臺）如圖，已知D，E分別為△ABC的邊AB，BC上兩點，點A，C，E在⊙D上，點B，D在⊙E上．F為上一點，連接FE并延長交AC的延長線于點N，交AB于點M． （1）若∠EBD為α，請將∠CAD用含α的代數(shù)式表示； （2）若EM=MB，請說明當(dāng)∠CAD為多少度時，直線EF為⊙D的切線； （3）在（2）的條件下，若AD=，求的值． 【分析】（1）根據(jù)同圓的半徑相等和等邊對等角得：∠EDB=∠EBD=α，∠CAD=∠ACD，∠DCE=∠DEC=2α，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)論； （2）設(shè)∠MBE=x，同理得：∠EMB=∠MBE=x，根據(jù)切線的性質(zhì)知：∠DEF=90，所以∠CED+∠MEB=90，同理根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠CAD=45； （3）由（2）得：∠CAD=45；根據(jù)（1）的結(jié)論計算∠MBE=30，證明△CDE是等邊三角形，得CD=CE=DE=EF=AD=，求EM=1，MF=EF﹣EM=﹣1，根據(jù)三角形內(nèi)角和及等腰三角形的判定得：EN=CE=，代入化簡可得結(jié)論． 【解答】解：（1）連接CD、DE，⊙E中，∵ED=EB， ∴∠EDB=∠EBD=α， ∴∠CED=∠EDB+∠EBD=2α， ⊙D中，∵DC=DE=AD， ∴∠CAD=∠ACD，∠DCE=∠DEC=2α， △ACB中，∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180， ∴∠CAD==； （2）設(shè)∠MBE=x， ∵EM=MB， ∴∠EMB=∠MBE=x， 當(dāng)EF為⊙D的切線時，∠DEF=90， ∴∠CED+∠MEB=90， ∴∠CED=∠DCE=90﹣x， △ACB中，同理得，∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180， ∴2∠CAD=180﹣90∴=90∴， ∴∠CAD=45； （3）由（2）得：∠CAD=45； 由（1）得：∠CAD=； ∴∠MBE=30， ∴∠CED=2∠MBE=60， ∵CD=DE， ∴△CDE是等邊三角形， ∴CD=CE=DE=EF=AD=， Rt△DEM中，∠EDM=30，DE=， ∴EM=1，MF=EF﹣EM=﹣1， △ACB中，∠NCB=45+30=75， △CNE中，∠CEN=∠BEF=30， ∴∠CNE=75， ∴∠CNE=∠NCB=75， ∴EN=CE=， ∴===2+． 　 47．（xx?陜西）周末，小華和小亮想用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識測量家門前小河的寬．測量時，他們選擇了河對岸岸邊的一棵大樹，將其底部作為點A，在他們所在的岸邊選擇了點B，使得AB與河岸垂直，并在B點豎起標(biāo)桿BC，再在AB的延長線上選擇點D，豎起標(biāo)桿DE，使得點E與點C、A共線． 已知：CB⊥AD，ED⊥AD，測得BC=1m，DE=1.5m，BD=8.5m．測量示意圖如圖所示．請根據(jù)相關(guān)測量信息，求河寬AB． 【分析】由BC∥DE，可得=，構(gòu)建方程即可解決問題． 【解答】解：∵BC∥DE， ∴△ABC∽△ADE， ∴=， ∴=， ∴AB=17（m）， 經(jīng)檢驗：AB=17是分式方程的解， 答：河寬AB的長為17米． 　 48．（xx?濟寧）如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點，連接DF，過點E作EH⊥DF，垂足為H，EH的延長線交DC于點G． （1）猜想DG與CF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論； （2）過點H作MN∥CD，分別交AD，BC于點M，N，若正方形ABCD的邊長為10，點P是MN上一點，求△PDC周長的最小值． 【分析】（1）結(jié)論：CF=2DG．只要證明△DEG∽△CDF即可； （2）作點C關(guān)于NM的對稱點K，連接DK交MN于點P，連接PC，此時△PDC的周長最短．周長的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK； 【解答】解：（1）結(jié)論：CF=2DG． 理由：∵四邊形ABCD是正方形， ∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90， ∵DE=AE， ∴AD=CD=2DE， ∵EG⊥DF， ∴∠DHG=90， ∴∠CDF+∠DGE=90，∠DGE+∠DEG=90， ∴∠CDF=∠DEG， ∴△DEG∽△CDF， ∴==， ∴CF=2DG． （2）作點C關(guān)于NM的對稱點K，連接DK交MN于點P，連接PC，此時△PDC的周長最短．周長的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK． 由題意：CD=AD=10，ED=AE=5，DG=，EG=，DH==， ∴EH=2DH=2， ∴HM==2， ∴DM=CN=NK==1， 在Rt△DCK中，DK===2， ∴△PCD的周長的最小值為10+2． 　 49．（xx?聊城）如圖，正方形ABCD中，E是BC上的一點，連接AE，過B點作BH⊥AE，垂足為點H，延長BH交CD于點F，連接AF． （1）求證：AE=BF． （2）若正方形邊長是5，BE=2，求AF的長． 【分析】（1）根據(jù)ASA證明△ABE≌△BCF，可得結(jié)論； （2）根據(jù)（1）得：△ABE≌△BCF，則CF=BE=2，最后利用勾股定理可得AF的長． 【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90， ∴∠BAE+∠AEB=90， ∵BH⊥AE， ∴∠BHE=90， ∴∠AEB+∠EBH=90， ∴∠BAE=∠EBH， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（ASA）， ∴AE=BF； （2）解：∵AB=BC=5， 由（1）得：△ABE≌△BCF， ∴CF=BE=2， ∴DF=5﹣2=3， ∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB=AD=5，∠ADF=90， 由勾股定理得：AF====． 　 50．（xx?烏魯木齊）如圖，AG是∠HAF的平分線，點E在AF上，以AE為直徑的⊙O交AG于點D，過點D作AH的垂線，垂足為點C，交AF于點B． （1）求證：直線BC是⊙O的切線； （2）若AC=2CD，設(shè)⊙O的半徑為r，求BD的長度． 【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義和同圓的半徑相等可得OD∥AC，證明OD⊥CB，可得結(jié)論； （2）在Rt△ACD中，設(shè)CD=a，則AC=2a，AD=a，證明△ACD∽△ADE，表示a=，由平行線分線段成比例定理得：，代入可得結(jié)論． 【解答】（1）證明：連接OD， ∵AG是∠HAF的平分線， ∴∠CAD=∠BAD， ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA， ∴∠CAD=∠ODA， ∴OD∥AC， ∵∠ACD=90， ∴∠ODB=∠ACD=90，即OD⊥CB， ∵D在⊙O上， ∴直線BC是⊙O的切線；（4分） （2）解：在Rt△ACD中，設(shè)CD=a，則AC=2a，AD=a， 連接DE， ∵AE是⊙O的直徑， ∴∠ADE=90， 由∠CAD=∠BAD，∠ACD=∠ADE=90， ∴△ACD∽△ADE， ∴， 即， ∴a=， 由（1）知：OD∥AC， ∴，即， ∵a=，解得BD=r．（10分）