2019高中數(shù)學(xué) 第四章 圓與方程 4.1 圓的方程(第2課時)圓的一般方程講義(含解析)新人教A版必修2.doc
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第2課時 圓的一般方程 [核心必知] 1.預(yù)習(xí)教材,問題導(dǎo)入 根據(jù)以下提綱,預(yù)習(xí)教材P121~P123,回答下列問題. (1)方程x2+y2-2x+4y+1=0表示什么圖形?x2+y2-2x+4y+6=0表示什么圖形? 提示:對方程x2+y2-2x+4y+1=0配方,得(x-1)2+(y+2)2=4,它表示圓心為(1,-2),半徑為2的圓;對方程x2+y2-2x+4y+6=0配方,得(x-1)2+(y+2)2=-1,由于不存在點(diǎn)(x,y)滿足這個方程,所以它不表示任何圖形. (2)把x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后,將得到怎樣的方程?這個方程是不是表示圓? 提示:得到的方程為2+2 =. 當(dāng)D2+E2-4F>0時,該方程表示以為圓心, 為半徑的圓;當(dāng)D2+E2-4F=0時,方程只有實(shí)數(shù)解x=-,y=-,即只表示一個點(diǎn);當(dāng)D2+E2-4F<0時,方程沒有實(shí)數(shù)解,因此它不表示任何圖形. 2.歸納總結(jié),核心必記 圓的一般方程 (1)圓的一般方程的概念: 當(dāng)D2+E2-4F>0時,二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圓的一般方程. (2)圓的一般方程對應(yīng)的圓心和半徑: 圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)表示的圓的圓心為,半徑長為 . [問題思考] 所有形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程都表示圓嗎? 提示:不是,只有當(dāng)D2+E2-4F>0時才表示圓. [課前反思] 通過以上預(yù)習(xí),必須掌握的幾個知識點(diǎn). (1)圓的一般方程是什么?怎樣求? ??; (2)怎樣由一般方程確定圓心和半徑? . 已知圓心(2,3),半徑為2,其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-3)2=4. [思考1] 上述方程能否化為二元二次方程的形式? 名師指津:可以,x2+y2-4x-6y+9=0. [思考2] 方程x2+y2-4x-6y+13=0是否表示圓? 名師指津:配方化為(x-2)2+(y-3)2=0,不表示圓. [思考3] 怎樣理解圓的一般方程? 名師指津:(1)圓的一般方程體現(xiàn)了圓的方程形式上的特點(diǎn):①x2、y2的系數(shù)相等且不為0;②沒有xy項(xiàng). (2)對方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的說明: 講一講 1.若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圓,求: (1)實(shí)數(shù)m的取值范圍; (2)圓心坐標(biāo)和半徑. [嘗試解答] (1)據(jù)題意知,D2+E2-4F=(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0, 即4m2+4-4m2-20m>0, 解得m<, 故m的取值范圍為. (2)將方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0寫成標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+m)2+(y-1)2=1-5m, 故圓心坐標(biāo)為(-m,1),半徑r=. 形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程,判定其是否表示圓時可有如下兩種方法: (1)由圓的一般方程的定義令D2+E2-4F>0,成立則表示圓,否則不表示圓. (2)將方程配方后,根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征求解. 應(yīng)用這兩種方法時,要注意所給方程是不是x2+y2+Dx+Ey+F=0這種標(biāo)準(zhǔn)形式,若不是,則要化為這種形式再求解. 練一練 1.下列方程各表示什么圖形?若表示圓,求其圓心和半徑. (1)x2+y2+x+1=0; (2)x2+y2+2ax+a2=0(a≠0); (3)2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0). 解:(1)∵D=1,E=0,F(xiàn)=1, ∴D2+E2-4F=1-4=-3<0, ∴方程(1)不表示任何圖形. (2)∵D=2a,E=0,F(xiàn)=a2, ∴D2+E2-4F=4a2-4a2=0, ∴方程表示點(diǎn)(-a,0). (3)兩邊同除以2,得x2+y2+ax-ay=0, D=a,E=-a,F(xiàn)=0, ∴D2+E2-4F=2a2>0, ∴方程(3)表示圓,它的圓心為, 半徑r= =|a|. 講一講 2.求過三點(diǎn)O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圓的方程,并求這個圓的半徑和圓心坐標(biāo). [嘗試解答] 設(shè)所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0, ∵所求圓過點(diǎn)O(0,0),M1(1,1),M2(4,2), ∴解得 ∴所求圓的方程為x2+y2-8x+6y=0, ∴-=4,-=-3,圓心為(4,-3), 半徑r= =5. 應(yīng)用待定系數(shù)法求圓的方程 (1)如果由已知條件容易求得圓心坐標(biāo)、半徑或需利用圓心的坐標(biāo)或半徑列方程的問題,一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,再用待定系數(shù)法求出a,b,r; (2)如果已知條件與圓心和半徑都無直接關(guān)系,一般采用圓的一般方程,再用待定系數(shù)法求出常數(shù)D,E,F(xiàn). 練一練 2.求經(jīng)過兩點(diǎn)A(4,2),B(-1,3),且在兩坐標(biāo)軸上的四個截距之和為2的圓的方程. 解:設(shè)圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0, 令y=0,得x2+Dx+F=0, 所以圓在x軸上的截距之和為x1+x2=-D; 令x=0,得y2+Ey+F=0, 所以圓在y軸上的截距之和為y1+y2=-E; 由題設(shè),x1+x2+y1+y2=-(D+E)=2, 所以D+E=-2.?、? 又A(4,2),B(-1,3)兩點(diǎn)在圓上, 所以16+4+4D+2E+F=0,?、? 1+9-D+3E+F=0,?、? 由①②③可得D=-2,E=0,F(xiàn)=-12, 故所求圓的方程為x2+y2-2x-12=0. 講一講 3.已知直角△ABC的斜邊為AB,且A(-1,0),B(3,0),求: (1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程; (2)直角邊BC中點(diǎn)M的軌跡方程. [思路點(diǎn)撥] (1)設(shè)出C點(diǎn)坐標(biāo),利用垂直關(guān)系直接由斜率之積為-1列出方程,注意A、B、C三點(diǎn)不能共線; (2)設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo),利用中點(diǎn)關(guān)系,建立M點(diǎn)與C點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系,求出軌跡方程. [嘗試解答] (1)法一:設(shè)頂點(diǎn)C(x,y),因?yàn)锳C⊥BC,且A,B,C三點(diǎn)不共線,所以x≠3,且x≠-1. 又kAC=,kBC=, 且kACkBC=-1, 所以=-1,化簡得x2+y2-2x-3=0. 因此,直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2+y2-2x-3=0(x≠3,且x≠-1). 法二:同法一得x≠3,且x≠-1. 由勾股定理得|AC|2+|BC|2=|AB|2, 即(x+1)2+y2+(x-3)2+y2=16, 化簡得x2+y2-2x-3=0. 因此,直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2+y2-2x-3=0(x≠3,且x≠-1). 法三:設(shè)AB中點(diǎn)為D,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得D(1,0),由直角三角形的性質(zhì)知,|CD|=|AB|=2,由圓的定義知,動點(diǎn)C的軌跡是以D(1,0)為圓心,以2為半徑的圓(由于A,B,C三點(diǎn)不共線,所以應(yīng)除去與x軸的交點(diǎn)). 設(shè)C(x,y),則直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為(x-1)2+y2=4(x≠3,且x≠-1). (2)設(shè)點(diǎn)M(x,y),點(diǎn)C(x0,y0), 因?yàn)锽(3,0),M是線段BC的中點(diǎn), 由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得x=(x≠3,且x≠1),y=, 于是有x0=2x-3,y0=2y. 由(1)知,點(diǎn)C在圓(x-1)2+y2=4(x≠3,且x≠-1)上運(yùn)動,將x0,y0代入該方程得(2x-4)2+(2y)2=4, 即(x-2)2+y2=1. 因此動點(diǎn)M的軌跡方程為(x-2)2+y2=1(x≠3,且x≠1). 用代入法求軌跡方程的一般步驟 練一練 3.已知△ABC的邊AB長為4,若BC邊上的中線為定長3,求頂點(diǎn)C的軌跡方程. 解:以直線AB為x軸,AB的中垂線為y軸建立坐標(biāo)系(如圖), 則A(-2,0),B(2,0),設(shè)C(x,y),BC中點(diǎn)D(x0,y0). ∴?、? ∵|AD|=3, ∴(x0+2)2+y=9.?、? 將①代入②,整理得(x+6)2+y2=36. ∵點(diǎn)C不能在x軸上, ∴y≠0. 綜上,點(diǎn)C的軌跡是以(-6,0)為圓心,6為半徑的圓,去掉(-12,0)和(0,0)兩點(diǎn). 軌跡方程為(x+6)2+y2=36(y≠0). ———————————[課堂歸納感悟提升]————————————— 1.本節(jié)課的重點(diǎn)是了解圓的一般方程的特點(diǎn),會由一般方程求圓心和半徑,會根據(jù)給定的條件求圓的一般方程,并能用圓的一般方程解決簡單問題,初步掌握求動點(diǎn)的軌跡方程的方法.難點(diǎn)是會根據(jù)給定的條件求圓的一般方程,并能用圓的一般方程解決簡單問題. 2.本節(jié)課要重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法 (1)二元二次方程表示圓的判定方法,見講1. (2)應(yīng)用待定系數(shù)法求圓的方程的方法,見講2. (3)代入法求軌跡方程的一般步驟,見講3. 3.本節(jié)課的易錯點(diǎn)是忽略二元二次方程表示圓的條件,如講1. 課下能力提升(二十三) [學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練] 題組1 圓的一般方程 1.圓的方程為(x-1)(x+2)+(y-2)(y+4)=0,則圓心坐標(biāo)為( ) A.(1,-1) B. C.(-1,2) D. 解析:選D 將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,得2+(y+1)2=,所以圓心為. 2.已知方程x2+y2-2x+2k+3=0表示圓,則k的取值范圍是( ) A.(-∞,-1) B.(3,+∞) C.(-∞,-1)∪(3,+∞) D. 解析:選A 方程可化為:(x-1)2+y2=-2k-2,只有-2k-2>0,即k<-1時才能表示圓. 3.若圓x2+y2-2x-4y=0的圓心到直線x-y+a=0的距離為,則a的值為( ) A.-2或2 B.或 C.2或0 D.-2或0 解析:選C 由圓的方程得圓心坐標(biāo)為(1,2).再由點(diǎn)到直線的距離公式得=,解得a=2或a=0. 4.若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)為圓心,4為半徑的圓,則F=________. 解析:由題意,知D=-4,E=8,r==4,∴F=4. 答案:4 5.求過點(diǎn)(-1,1),且圓心與已知圓x2+y2-6x-8y+15=0的圓心相同的圓的方程. 解:設(shè)所求的圓的方程為 x2+y2+Dx+Ey+F=0,又圓x2+y2-6x-8y+15=0的圓心為(3,4),依題意得解此方程組,可得 ∴所求圓的方程為x2+y2-6x-8y=0. 6.已知圓C: x2+y2+Dx+Ey+3=0,圓心在直線x+y-1=0上,且圓心在第二象限,半徑長為,求圓的一般方程. 解:圓心C, ∵圓心在直線x+y-1=0上, ∴---1=0, 即D+E=-2.① 又∵半徑長r==, ∴D2+E2=20.② 由①②可得或 又∵圓心在第二象限,∴-<0,即D>0. 則 故圓的一般方程為x2+y2+2x-4y+3=0. 題組2 軌跡方程 7.(2016日照高一檢測)設(shè)圓x2+y2-4x+2y-11=0的圓心為A,點(diǎn)P在圓上,則PA的中心M的軌跡方程是________. 解析:設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y),由題意可知圓心A為(2,-1),P(2x-2,2y+1)在圓上,故(2x-2)2+(2y+1)2-4(2x-2)+2(2y+1)-11=0,即x2+y2-4x+2y+1=0. 答案:x2+y2-4x+2y+1=0 8.已知圓O的方程為x2+y2=9,求經(jīng)過點(diǎn)A(1,2)的圓的弦的中點(diǎn)P的軌跡. 解:設(shè)動點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),根據(jù)題意可知AP⊥OP. 當(dāng)AP垂直于x軸時,P的坐標(biāo)為(1,0),此時x=1; 當(dāng)x=0時,y=0; 當(dāng)x≠0,且x≠1時,有kAPkOP=-1, ∵kAP=,kOP=, ∴=-1, 即x2+y2-x-2y=0(x≠0,且x≠1). 經(jīng)檢驗(yàn),點(diǎn)(1,0),(0,0)適合上式. 綜上所述,點(diǎn)P的軌跡是以為圓心,以為半徑的圓. [能力提升綜合練] 1.若直線3x+y+a=0過圓x2+y2+2x-4y=0的圓心,則a的值為( ) A.-1 B.1 C.3 D.-3 解析:選B ∵圓x2+y2+2x-4y=0的圓心為(-1,2),∴3x+y+a=0過點(diǎn)(-1,2),即-3+2+a=0,∴a=1. 2.如果圓x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)關(guān)于直線y=x對稱,則有( ) A.D+E=0 B.D=E C.D=F D.E=F 解析:選B 由圓的對稱性知,圓心在直線y=x上,故有-=-,即D=E. 3.(2016 衡水高一檢測)直線y=x-1上的點(diǎn)到圓x2+y2+4x-2y+4=0的最近距離為( ) A.2 B.-1 C.2-1 D.1 解析:選C 圓心(-2,1)到已知直線的距離為d=2,圓的半徑為r=1,故所求距離dmin=2-1. 4.已知兩定點(diǎn)A(-2,0),B(1,0),如果動點(diǎn)P滿足|PA|=2|PB|,則點(diǎn)P的軌跡所包圍的圖形的面積等于( ) A.π B.4π C.8π D.9π 解析:選B 設(shè)動點(diǎn)P的軌跡坐標(biāo)為(x,y),則由|PA|=2|PB|,知 =2,化簡得(x-2)2+y2=4,得軌跡曲線為以(2,0)為圓心,以2為半徑的圓,該圓面積為4π. 5.關(guān)于方程x2+y2+2ax-2ay=0表示的圓,下列敘述中:①圓心在直線y=-x上;②其圓心在x軸上;③過原點(diǎn);④半徑為a.其中敘述正確的是________(要求寫出所有正確命題的序號). 解析:將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可知圓心為(-a,a),半徑為|a|,故①③正確. 答案:①③ 6.M(3,0)是圓x2+y2-8x-2y+10=0內(nèi)一點(diǎn),過M點(diǎn)最長的弦所在的直線方程為________,最短的弦所在的直線方程是________. 解析:由圓的幾何性質(zhì)可知,過圓內(nèi)一點(diǎn)M的最長的弦是直徑,最短的弦是與該點(diǎn)和圓心的連線CM垂直的弦.易求出圓心為C(4,1),kCM==1,∴最短的弦所在的直線的斜率為-1,由點(diǎn)斜式,分別得到方程y=x-3和y=-(x-3),即x-y-3=0和x+y-3=0. 答案:x-y-3=0 x+y-3=0 7.點(diǎn)A(2,0)是圓x2+y2=4上的定點(diǎn),點(diǎn)B(1,1)是圓內(nèi)一點(diǎn),P、Q為圓上的動點(diǎn). (1)求線段AP的中點(diǎn)的軌跡方程; (2)若∠PBQ=90,求線段PQ的中點(diǎn)的軌跡方程. 解:(1)設(shè)線段AP的中點(diǎn)為M(x,y), 由中點(diǎn)公式得點(diǎn)P坐標(biāo)為P(2x-2,2y). ∵點(diǎn)P在圓x2+y2=4上,∴(2x-2)2+(2y)2=4, 故線段AP的中點(diǎn)的軌跡方程為(x-1)2+y2=1. (2)設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為N(x,y), 在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|. 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),連接ON,則ON⊥PQ, ∴|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2, 即x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4, 故線段PQ的中點(diǎn)的軌跡方程為x2+y2-x-y-1=0. 8.已知圓C: x2+y2-4x-14y+45=0,及點(diǎn)Q(-2,3). (1)P(a,a+1)在圓上,求線段PQ的長及直線PQ的斜率; (2)若M為圓C上的任一點(diǎn),求|MQ|的最大值和最小值. 解:(1)∵點(diǎn)P(a,a+1)在圓上, ∴a2+(a+1)2-4a-14(a+1)+45=0, ∴a=4,P(4,5), ∴|PQ|==2, kPQ==. (2)∵圓心C的坐標(biāo)為(2,7), ∴|QC|==4, 圓的半徑是2,點(diǎn)Q在圓外, ∴|MQ|max=4+2=6, |MQ|min=4-2=2.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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