2019高中數(shù)學(xué) 第四章 圓與方程 4.1 圓的方程（第2課時(shí)）圓的一般方程講義（含解析）新人教A版必修2.doc

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第2課時(shí)　圓的一般方程 [核心必知] 1．預(yù)習(xí)教材，問(wèn)題導(dǎo)入 根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材P121～P123，回答下列問(wèn)題． (1)方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0表示什么圖形？x2＋y2－2x＋4y＋6＝0表示什么圖形？ 提示：對(duì)方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝4，它表示圓心為(1，－2)，半徑為2的圓；對(duì)方程x2＋y2－2x＋4y＋6＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝－1，由于不存在點(diǎn)(x，y)滿足這個(gè)方程，所以它不表示任何圖形． (2)把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方后，將得到怎樣的方程？這個(gè)方程是不是表示圓？ 提示：得到的方程為2＋2 ＝. 當(dāng)D2＋E2－4F>0時(shí)，該方程表示以為圓心， 為半徑的圓；當(dāng)D2＋E2－4F＝0時(shí)，方程只有實(shí)數(shù)解x＝－，y＝－，即只表示一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)D2＋E2－4F<0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，因此它不表示任何圖形． 2．歸納總結(jié)，核心必記 圓的一般方程 (1)圓的一般方程的概念： 當(dāng)D2＋E2－4F＞0時(shí)，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圓的一般方程． (2)圓的一般方程對(duì)應(yīng)的圓心和半徑： 圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圓的圓心為，半徑長(zhǎng)為 . [問(wèn)題思考] 所有形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程都表示圓嗎？ 提示：不是，只有當(dāng)D2＋E2－4F>0時(shí)才表示圓． [課前反思] 通過(guò)以上預(yù)習(xí)，必須掌握的幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)． (1)圓的一般方程是什么？怎樣求？ ??； (2)怎樣由一般方程確定圓心和半徑？ 　. 　 已知圓心(2,3)，半徑為2，其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－3)2＝4. [思考1]　上述方程能否化為二元二次方程的形式？ 名師指津：可以，x2＋y2－4x－6y＋9＝0. [思考2]　方程x2＋y2－4x－6y＋13＝0是否表示圓？ 名師指津：配方化為(x－2)2＋(y－3)2＝0，不表示圓． [思考3]　怎樣理解圓的一般方程？ 名師指津：(1)圓的一般方程體現(xiàn)了圓的方程形式上的特點(diǎn)：①x2、y2的系數(shù)相等且不為0；②沒(méi)有xy項(xiàng)． (2)對(duì)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的說(shuō)明： 講一講 1．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圓，求： (1)實(shí)數(shù)m的取值范圍； (2)圓心坐標(biāo)和半徑． [嘗試解答]　(1)據(jù)題意知，D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0， 即4m2＋4－4m2－20m＞0， 解得m＜， 故m的取值范圍為. (2)將方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0寫成標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圓心坐標(biāo)為(－m,1)，半徑r＝. 形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圓時(shí)可有如下兩種方法： (1)由圓的一般方程的定義令D2＋E2－4F＞0，成立則表示圓，否則不表示圓． (2)將方程配方后，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征求解． 應(yīng)用這兩種方法時(shí)，要注意所給方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0這種標(biāo)準(zhǔn)形式，若不是，則要化為這種形式再求解． 練一練 1．下列方程各表示什么圖形？若表示圓，求其圓心和半徑． (1)x2＋y2＋x＋1＝0； (2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)； (3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)． 解：(1)∵D＝1，E＝0，F(xiàn)＝1， ∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3＜0， ∴方程(1)不表示任何圖形． (2)∵D＝2a，E＝0，F(xiàn)＝a2， ∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0， ∴方程表示點(diǎn)(－a,0)． (3)兩邊同除以2，得x2＋y2＋ax－ay＝0， D＝a，E＝－a，F(xiàn)＝0， ∴D2＋E2－4F＝2a2＞0， ∴方程(3)表示圓，它的圓心為， 半徑r＝ ＝|a|. 講一講 2．求過(guò)三點(diǎn)O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)的圓的方程，并求這個(gè)圓的半徑和圓心坐標(biāo)． [嘗試解答]　設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ∵所求圓過(guò)點(diǎn)O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)， ∴解得 ∴所求圓的方程為x2＋y2－8x＋6y＝0， ∴－＝4，－＝－3，圓心為(4，－3)， 半徑r＝ ＝5. 應(yīng)用待定系數(shù)法求圓的方程 (1)如果由已知條件容易求得圓心坐標(biāo)、半徑或需利用圓心的坐標(biāo)或半徑列方程的問(wèn)題，一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再用待定系數(shù)法求出a，b，r； (2)如果已知條件與圓心和半徑都無(wú)直接關(guān)系，一般采用圓的一般方程，再用待定系數(shù)法求出常數(shù)D，E，F(xiàn). 練一練 2．求經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(4,2)，B(－1,3)，且在兩坐標(biāo)軸上的四個(gè)截距之和為2的圓的方程． 解：設(shè)圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0， 所以圓在x軸上的截距之和為x1＋x2＝－D； 令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0， 所以圓在y軸上的截距之和為y1＋y2＝－E； 由題設(shè)，x1＋x2＋y1＋y2＝－(D＋E)＝2， 所以D＋E＝－2.?、? 又A(4,2)，B(－1,3)兩點(diǎn)在圓上， 所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0，?、? 1＋9－D＋3E＋F＝0，?、? 由①②③可得D＝－2，E＝0，F(xiàn)＝－12， 故所求圓的方程為x2＋y2－2x－12＝0. 　 講一講 3．已知直角△ABC的斜邊為AB，且A(－1,0)，B(3,0)，求： (1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程； (2)直角邊BC中點(diǎn)M的軌跡方程． [思路點(diǎn)撥]　(1)設(shè)出C點(diǎn)坐標(biāo)，利用垂直關(guān)系直接由斜率之積為－1列出方程，注意A、B、C三點(diǎn)不能共線； (2)設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)，利用中點(diǎn)關(guān)系，建立M點(diǎn)與C點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，求出軌跡方程． [嘗試解答]　(1)法一：設(shè)頂點(diǎn)C(x，y)，因?yàn)锳C⊥BC，且A，B，C三點(diǎn)不共線，所以x≠3，且x≠－1. 又kAC＝，kBC＝， 且kACkBC＝－1， 所以＝－1，化簡(jiǎn)得x2＋y2－2x－3＝0. 因此，直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1)． 法二：同法一得x≠3，且x≠－1. 由勾股定理得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2， 即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16， 化簡(jiǎn)得x2＋y2－2x－3＝0. 因此，直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1)． 法三：設(shè)AB中點(diǎn)為D，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得D(1,0)，由直角三角形的性質(zhì)知，|CD|＝|AB|＝2，由圓的定義知，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以D(1,0)為圓心，以2為半徑的圓(由于A，B，C三點(diǎn)不共線，所以應(yīng)除去與x軸的交點(diǎn))． 設(shè)C(x，y)，則直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(x≠3，且x≠－1)． (2)設(shè)點(diǎn)M(x，y)，點(diǎn)C(x0，y0)， 因?yàn)锽(3,0)，M是線段BC的中點(diǎn)， 由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得x＝(x≠3，且x≠1)，y＝， 于是有x0＝2x－3，y0＝2y. 由(1)知，點(diǎn)C在圓(x－1)2＋y2＝4(x≠3，且x≠－1)上運(yùn)動(dòng)，將x0，y0代入該方程得(2x－4)2＋(2y)2＝4， 即(x－2)2＋y2＝1. 因此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝1(x≠3，且x≠1)． 用代入法求軌跡方程的一般步驟 練一練 3．已知△ABC的邊AB長(zhǎng)為4，若BC邊上的中線為定長(zhǎng)3，求頂點(diǎn)C的軌跡方程． 解：以直線AB為x軸，AB的中垂線為y軸建立坐標(biāo)系(如圖)， 則A(－2,0)，B(2,0)，設(shè)C(x，y)，BC中點(diǎn)D(x0，y0)． ∴?、? ∵|AD|＝3， ∴(x0＋2)2＋y＝9.?、? 將①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36. ∵點(diǎn)C不能在x軸上， ∴y≠0. 綜上，點(diǎn)C的軌跡是以(－6,0)為圓心，6為半徑的圓，去掉(－12,0)和(0,0)兩點(diǎn)． 軌跡方程為(x＋6)2＋y2＝36(y≠0)． ———————————[課堂歸納感悟提升]————————————— 1．本節(jié)課的重點(diǎn)是了解圓的一般方程的特點(diǎn)，會(huì)由一般方程求圓心和半徑，會(huì)根據(jù)給定的條件求圓的一般方程，并能用圓的一般方程解決簡(jiǎn)單問(wèn)題，初步掌握求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的方法．難點(diǎn)是會(huì)根據(jù)給定的條件求圓的一般方程，并能用圓的一般方程解決簡(jiǎn)單問(wèn)題． 2．本節(jié)課要重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法 (1)二元二次方程表示圓的判定方法，見(jiàn)講1. (2)應(yīng)用待定系數(shù)法求圓的方程的方法，見(jiàn)講2. (3)代入法求軌跡方程的一般步驟，見(jiàn)講3. 3．本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)是忽略二元二次方程表示圓的條件，如講1. 課下能力提升(二十三) [學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練] 題組1　圓的一般方程 1．圓的方程為(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0，則圓心坐標(biāo)為(　　) A．(1，－1)　　　　　　　　B. C．(－1,2) D. 解析：選D　將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得2＋(y＋1)2＝，所以圓心為. 2．已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圓，則k的取值范圍是(　　) A．(－∞，－1) B．(3，＋∞) C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D. 解析：選A　方程可化為：(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2>0，即k<－1時(shí)才能表示圓． 3．若圓x2＋y2－2x－4y＝0的圓心到直線x－y＋a＝0的距離為，則a的值為(　　) A．－2或2 B.或 C．2或0 D．－2或0 解析：選C　由圓的方程得圓心坐標(biāo)為(1,2)．再由點(diǎn)到直線的距離公式得＝，解得a＝2或a＝0. 4．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)為圓心，4為半徑的圓，則F＝________. 解析：由題意，知D＝－4，E＝8，r＝＝4，∴F＝4. 答案：4 5．求過(guò)點(diǎn)(－1,1)，且圓心與已知圓x2＋y2－6x－8y＋15＝0的圓心相同的圓的方程． 解：設(shè)所求的圓的方程為 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，又圓x2＋y2－6x－8y＋15＝0的圓心為(3,4)，依題意得解此方程組，可得 ∴所求圓的方程為x2＋y2－6x－8y＝0. 6．已知圓C: x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圓心在直線x＋y－1＝0上，且圓心在第二象限，半徑長(zhǎng)為，求圓的一般方程． 解：圓心C， ∵圓心在直線x＋y－1＝0上， ∴－－－1＝0， 即D＋E＝－2.① 又∵半徑長(zhǎng)r＝＝， ∴D2＋E2＝20.② 由①②可得或 又∵圓心在第二象限，∴－＜0，即D＞0. 則 故圓的一般方程為x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. 題組2　軌跡方程 7．(2016日照高一檢測(cè))設(shè)圓x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圓心為A，點(diǎn)P在圓上，則PA的中心M的軌跡方程是________． 解析：設(shè)M的坐標(biāo)為(x，y)，由題意可知圓心A為(2，－1)，P(2x－2,2y＋1)在圓上，故(2x－2)2＋(2y＋1)2－4(2x－2)＋2(2y＋1)－11＝0，即x2＋y2－4x＋2y＋1＝0. 答案：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0 8．已知圓O的方程為x2＋y2＝9，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,2)的圓的弦的中點(diǎn)P的軌跡． 解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，根據(jù)題意可知AP⊥OP. 當(dāng)AP垂直于x軸時(shí)，P的坐標(biāo)為(1,0)，此時(shí)x＝1； 當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0； 當(dāng)x≠0，且x≠1時(shí)，有kAPkOP＝－1， ∵kAP＝，kOP＝， ∴＝－1， 即x2＋y2－x－2y＝0(x≠0，且x≠1)． 經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)(1,0)，(0,0)適合上式． 綜上所述，點(diǎn)P的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓． [能力提升綜合練] 1．若直線3x＋y＋a＝0過(guò)圓x2＋y2＋2x－4y＝0的圓心，則a的值為(　　) A．－1　　　　 B．1 C．3 D．－3 解析：選B　∵圓x2＋y2＋2x－4y＝0的圓心為(－1,2)，∴3x＋y＋a＝0過(guò)點(diǎn)(－1,2)，即－3＋2＋a＝0，∴a＝1. 2．如果圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，則有(　　) A．D＋E＝0 B．D＝E C．D＝F D．E＝F 解析：選B　由圓的對(duì)稱性知，圓心在直線y＝x上，故有－＝－，即D＝E. 3．(2016 衡水高一檢測(cè))直線y＝x－1上的點(diǎn)到圓x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的最近距離為(　　) A．2 B.－1 C．2－1 D．1 解析：選C　圓心(－2,1)到已知直線的距離為d＝2，圓的半徑為r＝1，故所求距離dmin＝2－1. 4．已知兩定點(diǎn)A(－2,0)，B(1,0)，如果動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|＝2|PB|，則點(diǎn)P的軌跡所包圍的圖形的面積等于(　　) A．π B．4π C．8π D．9π 解析：選B　設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡坐標(biāo)為(x，y)，則由|PA|＝2|PB|，知 ＝2，化簡(jiǎn)得(x－2)2＋y2＝4，得軌跡曲線為以(2,0)為圓心，以2為半徑的圓，該圓面積為4π. 5．關(guān)于方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0表示的圓，下列敘述中：①圓心在直線y＝－x上；②其圓心在x軸上；③過(guò)原點(diǎn)；④半徑為a.其中敘述正確的是________(要求寫出所有正確命題的序號(hào))． 解析：將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可知圓心為(－a，a)，半徑為|a|，故①③正確． 答案：①③ 6．M(3,0)是圓x2＋y2－8x－2y＋10＝0內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)M點(diǎn)最長(zhǎng)的弦所在的直線方程為_(kāi)_______，最短的弦所在的直線方程是________． 解析：由圓的幾何性質(zhì)可知，過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)M的最長(zhǎng)的弦是直徑，最短的弦是與該點(diǎn)和圓心的連線CM垂直的弦．易求出圓心為C(4,1)，kCM＝＝1，∴最短的弦所在的直線的斜率為－1，由點(diǎn)斜式，分別得到方程y＝x－3和y＝－(x－3)，即x－y－3＝0和x＋y－3＝0. 答案：x－y－3＝0　x＋y－3＝0 7．點(diǎn)A(2,0)是圓x2＋y2＝4上的定點(diǎn)，點(diǎn)B(1,1)是圓內(nèi)一點(diǎn)，P、Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)． (1)求線段AP的中點(diǎn)的軌跡方程； (2)若∠PBQ＝90，求線段PQ的中點(diǎn)的軌跡方程． 解：(1)設(shè)線段AP的中點(diǎn)為M(x，y)， 由中點(diǎn)公式得點(diǎn)P坐標(biāo)為P(2x－2,2y)． ∵點(diǎn)P在圓x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4， 故線段AP的中點(diǎn)的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1. (2)設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為N(x，y)， 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|. 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接ON，則ON⊥PQ， ∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， 即x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4， 故線段PQ的中點(diǎn)的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0. 8．已知圓C: x2＋y2－4x－14y＋45＝0，及點(diǎn)Q(－2,3)． (1)P(a，a＋1)在圓上，求線段PQ的長(zhǎng)及直線PQ的斜率； (2)若M為圓C上的任一點(diǎn)，求|MQ|的最大值和最小值． 解：(1)∵點(diǎn)P(a，a＋1)在圓上， ∴a2＋(a＋1)2－4a－14(a＋1)＋45＝0， ∴a＝4，P(4,5)， ∴|PQ|＝＝2， kPQ＝＝. (2)∵圓心C的坐標(biāo)為(2,7)， ∴|QC|＝＝4， 圓的半徑是2，點(diǎn)Q在圓外， ∴|MQ|max＝4＋2＝6， |MQ|min＝4－2＝2.