九年級數(shù)學(xué)上冊 專題突破講練 根的判別式的深化應(yīng)用試題 （新版）青島版.doc

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根的判別式的深化應(yīng)用 一、一元二次方程根的判別式 對于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），它的解的情況由b2－4ac的取值決定，我們通常用“”來表示，，即。 方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情況 b2－4ac＞0 兩個不相等的實(shí)數(shù)根 b2－4ac＝0 兩個相等的實(shí)數(shù)根 b2－4ac＜0 沒有實(shí)數(shù)根 方法歸納：用b2－4ac可以判斷方程根的情況，反過來，若已知方程根的情況，則可確定b2－4ac的取值。 二、根的判別式的應(yīng)用 1. 判斷一元二次方程根的情況。 2. 確定一元二次方程中字母系數(shù)的取值范圍。 3. 確定一元二次方程根的某些特性，如是不是有理根。 方法歸納：（1）計算b2－4ac時注意a、b、c表示各項系數(shù)，包括它們前面的符號；（2）關(guān)于根的判別式b2－4ac的正、負(fù)號的判定涉及代數(shù)式的恒等變形，一般地，將表示b2－4ac的代數(shù)式進(jìn)行配方，利用非負(fù)數(shù)、非正數(shù)的概念，確定b2－4ac的正、負(fù)號。 總結(jié)： 1. 會討論方程的根的情況，包括一元一次方程和一元二次方程。 2. 能利用一元二次方程根的判別式判斷方程的根的特性，如：有理根、整數(shù)根等。 例題1 關(guān)于x的一元二次方程x2－mx＋（m－2）＝0的根的情況是（ ） A. 有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 B. 有兩個相等的實(shí)數(shù)根 C. 沒有實(shí)數(shù)根 D. 無法確定 解析：這是含字母系數(shù)的一元二次方程，將字母視為數(shù)字即可。這里a＝1，b＝－m，c＝m－2。因為b2－4ac＝（－m）2－41（m－2）＝m2－4m＋8＝m2－4m＋4＋4＝（m－2）2＋4＞0，所以方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根。 答案：A 點(diǎn)撥：判斷b2－4ac的正、負(fù)情況時，通常有兩種情形，（1）已知判別式中某些字母的取值范圍，依此確定判別式的取值范圍；（2）一般要將表示b2－4ac的代數(shù)式進(jìn)行配方，利用偶次冪的非負(fù)性確定b2－4ac的正、負(fù)號。 例題2 定義：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）滿足a＋b＋c＝0，那么我們稱這個方程為“鳳凰”方程，已知ax2＋bx＋c＝0（a≠0）是“鳳凰”方程，且有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則下列結(jié)論正確的是（ ） A. a＝c B. a＝b C. b＝c D. a＝b＝c 解析：由方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）滿足a＋b＋c＝0可知方程的解為x＝1，然后由方程解的情況建立a、b、c之間的數(shù)量關(guān)系。 答案：因為a＋b＋c＝0，所以b＝－（a＋c）。 因為方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有兩個相等的實(shí)數(shù)根， 所以b2－4ac＝0，把b＝－（a＋c）代入，得： [－（a＋c）]2－4ac＝a2＋2ac＋c2－4ac＝0。 所以a2－2ac＋c2＝0，即（a－c）2＝0。 所以a＝c。故選A。 點(diǎn)撥：解此類型問題，首先要明確所給定義的含義，然后用定義去考量已知條件，依據(jù)定義或定義提供的方法解題。 例題3 已知關(guān)于x的方程kx2－5x＋2＝0有實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍。 解析：本題并沒有明確指出方程是否為一元二次方程，因此應(yīng)對二次項系數(shù)a的取值進(jìn)行分類討論。 答案：當(dāng)k＝0時，方程為一元一次方程，有一個實(shí)數(shù)根。 當(dāng)k≠0時，方程為一元二次方程，且a＝k、b＝－5、c＝2。 所以＝b2－4ac＝（－5）2－4k2＝25－8k。 當(dāng)25－8k＞0，即k＜且k≠0時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根； 當(dāng)25－8k＝0，即k＝時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根； 當(dāng)25－8k＜0，即k＞時，方程無實(shí)數(shù)根。 綜上所述，k的取值范圍是k≤。 點(diǎn)撥：從數(shù)學(xué)方法的角度看，本題屬于分類討論型問題，而且需要討論兩點(diǎn)：一是此方程可分為一元一次方程和一元二次方程兩種情況；二是一元二次方程有實(shí)數(shù)根可分為有兩個相等的實(shí)數(shù)根和兩個不相等的實(shí)數(shù)根。 一元二次方程根的判別式不但可以判斷方程有沒有實(shí)數(shù)根，而且可以判斷出方程有沒有有理根。不難理解，只要＝b2－4ac是一個有理數(shù)的完全平方數(shù)（或開平方開得盡），原方程的根就一定是有理數(shù)。要判斷一個一元二次方程的根是不是整數(shù)可結(jié)合x＝來確定。 例題 邊長為整數(shù)的直角三角形，若其兩直角邊邊長是方程x2－（k＋2）x＋4k＝0的兩根，求k的值，并確定直角三角形三邊之長。 解：因為方程的根為整數(shù)，故＝（k＋2）2－16k為完全平方數(shù)。 設(shè)（k＋2）2－16k＝n2，∴k2－12k＋4＝n2，∴（k－6）2－n2＝32，∴（k＋n－6）（k－n－6）＝132＝216＝48。 ∵k＋n－6＞k－n－6，∴或或。 解得k1＝（舍去），k2＝15，k3＝12。 當(dāng)k＝15時，有x2－17x＋60＝0，解得x＝5或12，則斜邊c＝13； 當(dāng)k＝12時，有x2－14x＋48＝0，解得x＝6或8，則斜邊c＝10。 所以這個直角三角形三邊長分別為5、12、13或6、8、10。 分析：解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)已知方程求出直角三角形的兩條直角邊長，因為直角三角形的邊長為整數(shù)，所以已知方程有兩個整數(shù)根。一元二次方程有整數(shù)根至少要求判別式為有理數(shù)的完全平方數(shù)。 （答題時間：45分鐘） 一、選擇題 1. 關(guān)于x的方程x2－kx＋k＝2的根的情況是（ ） A. 有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 B. 有兩個相等的實(shí)數(shù)根 C. 無實(shí)數(shù)根 D. 不能確定 2. 下列一元二次方程中，有兩個不相等的實(shí)數(shù)根的方程是（ ） A. x2－3x＋1＝0 B. x2＋1＝0 C. x2－2x＋1＝0 D. x2＋2x＋3＝0 3. 對于任意實(shí)數(shù)k，關(guān)于x的方程x2－2（k＋1）x－k2＋2k－1＝0的根的情況為（ ） A. 有兩個相等的實(shí)數(shù)根 B. 沒有實(shí)數(shù)根 C. 有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 D. 無法確定 4. 已知b＜0，關(guān)于x的一元二次方程（x－1）2＝b的根的情況是（ ） A. 有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 B. 有兩個相等的實(shí)數(shù)根 C. 沒有實(shí)數(shù)根 D. 有兩個實(shí)數(shù)根 *5. 若關(guān)于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ） A. k＞－1 B. k＜1且k≠0 C. k≥－1且k≠0 D. k＞－1且k≠0 **6. 如果關(guān)于x的方程x2＋4x＋＋2＝0有兩個有理根，那么所有滿足條件的正整數(shù)a的個數(shù)是（ ） A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個 二、填空題 *7. 若5k＋20＜0，則關(guān)于x的一元二次方程x2＋4x－k＝0的根的情況是__________。 *8. 若關(guān)于x的一元二次方程kx2＋4x＋3＝0有實(shí)數(shù)根，則k的非負(fù)整數(shù)值是__________。 *9. 若︱b－1︱＋＝0，且一元二次方程kx2＋ax＋b＝0有兩個實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是__________。 **10. 如果關(guān)于x的方程x2＋kx＋k2－3k＋＝0的兩個實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，那么的值為__________。 三、解答題 11. 當(dāng)m為何值時，關(guān)于x的一元二次方程x2－4x＋m－＝0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，此時這兩個實(shí)數(shù)根是多少？ 12. 關(guān)于x的方程x2－（2a－1）x＋（a－3）＝0，試說明無論a取任何實(shí)數(shù)，方程總有兩個不等實(shí)數(shù)根。 *13. 已知關(guān)于x的方程x2＋2（a＋1）x＋（3a2＋4ab＋4b2＋2）＝0有實(shí)數(shù)根，求a、b的值。 **14. 已知一元二次方程x2－（2k＋1）x＋k2＋k＝0。 （1）求證：方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根； （2）若△ABC的兩邊AB、AC的長是這個方程的兩個實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長為5。當(dāng)△ABC是等腰三角形時，求k的值。 **15. 已知關(guān)于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根。 （1）求k的取值范圍； （2）若k為正整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，求k的值。  一、選擇題 1. A 解析：因為b2－4ac＝k2－4（k－2）＝k2－4k＋8＝（k－2）2＋4＞0，所以原方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根。 2. A 解析：依據(jù)判別式進(jìn)行判斷即可，選項A中＞0，選項B中＜0，選項C中＝0，選項D中＜0。 3. C 解析：＝4（k＋1）2－4（－k2＋2k－1）＝4k2＋8k＋4＋4k2－8k＋4＝8k2＋8＞0，所以原方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根。 4. C 解析：本題不必利用判別式，根據(jù)二次冪的意義判斷即可。 *5. D 解析：根據(jù)題意可知，（－2）2－4k（－1）＞0，即k＞－1。且當(dāng)k＝0時原方程為一元一次方程，不符合題意，所以k＞－1且k≠0。 **6. B 解析：根據(jù)題意得42－4（＋2）＝8－4是一個有理數(shù)的完全平方數(shù)。又10－a≥0，即a≤10，因為a是正整數(shù)，顯然，當(dāng)a＝1、6、9、10時是有理數(shù)，其中a＝6、9時8－4是一個有理數(shù)的完全平方數(shù)。所以a＝6或9。 二、填空題 *7. 沒有實(shí)數(shù)根 解析：由5k＋20＜0得k＜－4。此時＝42＋4k＜0，所以原方程沒有實(shí)數(shù)根。 *8. 1 解析：由題意可得＝42－4k3＝16－12k≥0，即k≤，所以k的非負(fù)整數(shù)值是1。 *9. k≤4且k≠0 解析：∵︱b－1︱＋＝0，∴b－1＝0，＝0，解得b＝1，a＝4。又∵一元二次方程kx2＋ax＋b＝0有兩個實(shí)數(shù)根，∴＝a2－4kb≥0且k≠0，解得k≤4且k≠0。 **10. － 解析：根據(jù)題意，關(guān)于x的方程有兩個實(shí)數(shù)根，則＝k2－4（k2－3k＋）≥0，即（k－3）2≤0。又因為恒有（k－3）2≥0，所以（k－3）2＝0，解得k＝3。 此時方程為x2＋3x＋＝0，解得x1＝x2＝－。故＝＝－。 三、解答題 11. 解：因為一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，∴（－4）2－4（m－）＝0，即16－4m＋2＝0，m＝，當(dāng)m＝時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝2。 12. 解：＝[－（2a－1）]2－4（a－3）＝4a2－8a＋13＝4a2－8a＋4＋9＝4（a2－2a＋1）＋9＝4（a－1）2＋9?！撸╝－1）2≥0，∴4（a－1）2＋9＞0，即＞0恒成立，∴方程總有兩個不等實(shí)數(shù)根。 *13. 解：判別式＝[2（a＋1）]2－4（3a2＋4ab＋4b2＋2）＝4（a2＋2a＋1）－（12a2＋16ab＋16b2＋8）＝－8a2－16ab－16b2＋8a－4＝－4（2a2＋4ab＋4b2－2a＋1）＝－4[（a2＋4ab＋4b2）＋（a2－2a＋1）]＝－4[（a＋2b）2＋（a－1）2]。因為（a＋2b）2≥0、（a－1）2≥0，所以≤0。又因為原方程有實(shí)數(shù)根，所以有≥0，所以＝－4[（a＋2b）2＋（a－1）2]＝0，所以a－1＝0且a＋2b＝0，所以a＝1，b＝－。 **14. 解：（1）證明：因為＝（2k＋1）2－4（k2＋k）＝4k2＋4k＋1－4k2－4k＝1＞0，所以原方程必有兩個不相等的實(shí)數(shù)根。（2）解：解x2－（2k＋1）x＋k2＋k＝0得x＝k或k＋1，則△ABC的三邊長分別為k、k＋1、5，又因為△ABC是等腰三角形，所以k＝k＋1（無解，舍去）或k＝5或k＋1＝5。當(dāng)k＝5時，k＋1＝6，此時△ABC的三邊長為5、5、6；當(dāng)k＋1＝5時，k＝4，此時△ABC的三邊長為4、5、5。所以k的值為k＝4或k＝5。 **15. 解：（1）＝4－4（2k－4）＝20－8k，∵方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，∴＞0，即20－8k＞0，解得k＜。 （2）∵k＜且k為正整數(shù)，∴k＝1或2。因為x＝－1。要使方程的根為整數(shù)，須使5－2k為有理數(shù)的完全平方數(shù)。當(dāng)k＝1時，5－2k＝3；當(dāng)k＝2時，5－2k＝1?！鄈＝2，此時x＝0或－2，均為整數(shù)，所以k的值為2。