八年級數(shù)學(xué)上冊 專題突破講練 中考中的統(tǒng)計問題試題 （新版）青島版.doc

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中考中的統(tǒng)計問題 一、描述數(shù)據(jù)特征的統(tǒng)計量 從兩方面描述：①數(shù)據(jù)的集中趨勢；②數(shù)據(jù)的波動大小。 二、用樣本估計總體的思想 1. 用樣本的平均數(shù)估計總體的平均數(shù)； 2. 用樣本的方差估計總體的方差。 三、平均數(shù)和方差的算法 1. 平均數(shù)：（算術(shù)）平均數(shù)=總和個數(shù) 2. 方差： 原數(shù)據(jù)變化引起的平均數(shù)和方差的變化規(guī)律： 平均數(shù) 方差 原數(shù)據(jù) s2 原數(shù)據(jù)＋a （原數(shù)據(jù)－a） ＋a ， （－a） s2 原數(shù)據(jù)n n n2s2 例題1 如果數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)是方差是S2，則2x1+3，2x2+3，…，2xn+3的平均數(shù)是 方差是 解析：根據(jù)所給的數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方程寫出表示它們的公式，把要求方差的這組數(shù)據(jù)先求出平均數(shù)，再用方差的公式表示出來，首先合并同類項，再提公因式，同原來的方差的表示式進(jìn)行比較，得到結(jié)果。 答案：∵數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)是，方差是S2， ， ， ∴2x1+3，2x2+3，…，2xn+3的方差是 答案：，4s2。 點撥：本題考查平均數(shù)的變化特點和方差的變化特點，是一個統(tǒng)計問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平均數(shù)和方差的公式。 例題2 我們約定：如果身高在選定標(biāo)準(zhǔn)的2%范圍之內(nèi)都稱為“普通身高”。為了解某校九年級男生中具有“普通身高”的人數(shù)，我們從該校九年級男生中隨機選出10名男生，分別測量出他們的身高（單位：cm）收集并整理如下統(tǒng)計表： 男生序號 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 身高 163 171 173 159 161 174 164 166 169 164 根據(jù)以上表格信息，解答如下問題： （1）計算這組數(shù)據(jù)的三個統(tǒng)計量：平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)； （2）請你選擇一個統(tǒng)計量作為選定標(biāo)準(zhǔn)，找出這10名中具有“普通身高”的是哪幾位男生？并說明理由； （3）若該年級共有280名男生，按（2）中選定標(biāo)準(zhǔn)，請你估算出該年級男生中“普通身高”的人數(shù)約有多少名？ 解析：（1）根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的定義分別進(jìn)行計算，即可求出答案； （2）根據(jù)選平均數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)，得出身高x滿足166.4（1－2%）≤x≤166.4（1+2%）為“普通身高”，從而得出⑦、⑧、⑨、⑩幾位男生具有“普通身高”； 根據(jù)選中位數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)，得出身高x滿足165（1－2%）≤x≤165（1+2%），為“普通身高”，從而得出①、⑦、⑧、⑩幾位男生具有“普通身高”； 根據(jù)選眾數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)，得出身高x滿足164（1－2%）≤x≤164（1+2%）為“普通身高”，此時得出①、⑤、⑦、⑧、⑩幾位男生具有“普通身高”。 （3）分三種情況討論，（1）以平均數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)（2）以中位數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)（3）以眾數(shù)數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)；分別用總?cè)藬?shù)乘以所占的百分比，即可得出普通身高的人數(shù)。 答案：（1）平均數(shù)為： 10名同學(xué)身高從小到大排列如下： 159，161，163，164，164，166，169，171，173，174。 眾數(shù)為：164（cm）； （2）選平均數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)： 身高x滿足：166.4（1－2%）≤x≤166.4（1+2%）， 即163.072≤x≤169.728時為“普通身高”， 此時⑦、⑧、⑨、⑩幾位男生具有“普通身高”， （3）以平均數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)，估計全年級男生中“普通身高”的人數(shù)約為： 。 點撥：此題考查了中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)，考查了確定一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)的能力。注意找中位數(shù)的時候一定要先排好順序，然后再根據(jù)奇數(shù)和偶數(shù)個來確定中位數(shù)，如果數(shù)據(jù)有奇數(shù)個，則正中間的數(shù)字即為所求，如果是偶數(shù)個則找中間兩位數(shù)的平均數(shù)。 例題3 某校為了迎接中考，老師安排了五次數(shù)學(xué)模擬考試，對李明、王亮兩位同學(xué)的成績進(jìn)行統(tǒng)計后，繪制成圖①、圖②的統(tǒng)計圖。 （1）在圖②中畫出表示王亮這5次數(shù)學(xué)成績的變化情況的折線統(tǒng)計圖； （2）填寫表格： 平均成績（分） 中位數(shù)（分） 極差（分） 方差（分2） 李 明 90 92 16 36.8 王 亮 90 88 19 46 （3）請你根據(jù)上述統(tǒng)計情況，從“平均成績、折線走勢、方差”三方面進(jìn)行分析，估計誰在中考中會取得較好的成績？ 解析： （1）根據(jù)條形圖就可以得到甲，乙的成績，注意觀察次數(shù)所對應(yīng)的點的縱坐標(biāo)，就是成績； （2）根據(jù)這兩組數(shù)就可以求出每組的中位數(shù)、極差； （3）根據(jù)平均數(shù)的大小確定成績的好壞，根據(jù)方差確定成績哪個穩(wěn)定。 答案：解：（1）利用條形圖即可得出王亮的5次成績，進(jìn)而畫出折線圖即可，如圖所示： （2）李明的成績按大小排列為：82，84，92，94，98， 王亮的成績按大小排列為：99，96，88，87，80， 故李明的成績中位數(shù)為：92，王亮的成績中位數(shù)為：88， 李明的成績的極差為：98－82=16，王亮的成績的極差為：99－80=19， 平均成績（分） 中位數(shù)（分） 極差（分） 方差（分2） 李明 92 16 王亮 88 19 （3）從平均成績看，兩人都是90分；從折線走勢看，李明成績呈上升趨勢，王亮成績呈下降趨勢；從方差來看，李明比王亮穩(wěn)定。綜合分析結(jié)果，李明在本次中考中會取得較高的成績。 點撥：本題主要考查了平均數(shù)、中位數(shù)、極差的概念，方差是描述一組數(shù)據(jù)波動大小的量，利用條形圖得出兩人成績進(jìn)而進(jìn)行分析是解題關(guān)鍵。 平均數(shù)是表示數(shù)據(jù)集中程度的量之一，它隨著數(shù)據(jù)的變化而變化；而方差是表示數(shù)據(jù)波動大小的量之一，當(dāng)數(shù)據(jù)都加上一個數(shù)（或減去一個數(shù)）時，方差不變，即數(shù)據(jù)的波動情況不變。當(dāng)每個數(shù)都乘以n，則方差是原來的n的平方倍。 例題 觀察與探究： （1）觀察下列各組數(shù)據(jù)并填空： A. 1，2，3，4，5 ， ； B. 11，12，13，14，15 ， ； C. 10，20，30，40，50 ， ； （2）分別比較A與B，C的計算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？ 解析：方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，每個數(shù)都加了10，所以平均數(shù)加10，方差不變；每個數(shù)都乘以10，所以平均數(shù)乘以10，方差乘以102。 答案：（1），； （2）規(guī)律：有兩組數(shù)據(jù)，設(shè)其平均數(shù)分別為方差分別為； ①當(dāng)?shù)诙M數(shù)每個數(shù)據(jù)比第一組每個數(shù)據(jù)都增加m個單位時，則有 ； ②當(dāng)?shù)诙M數(shù)每個數(shù)據(jù)是第一組每個數(shù)據(jù)的n倍時，則有 。 點撥：當(dāng)數(shù)據(jù)都加上一個數(shù)（或減去一個數(shù)）時，方差不變，即數(shù)據(jù)的波動情況不變。當(dāng)每個數(shù)都乘以n，則方差是原來的n的平方倍。 （答題時間：45分鐘） 一、選擇題 1. 株洲市關(guān)心下一代工作委員會為了了解全市初三學(xué)生的視力狀況，從全市30000名初三學(xué)生中隨機抽取了500人進(jìn)行視力測試，發(fā)現(xiàn)其中視力不良的學(xué)生有100人，則可估計全市30000名初三學(xué)生中視力不良的約有（ ） A. 100人 B. 500人 C. 6000人 D. 5000人 2. 某種品牌的水果糖的售價為15元/千克，該品牌的酥糖的售價為18元/千克．現(xiàn)將兩種糖均勻混合，為了估算這種糖的售價，稱了十份糖，每份糖1千克，其中水果糖的質(zhì)量如下（單位：千克）0.58；0.52；0.59；0.49；0.60；0.55；0.56；0.49；0.52；0.54。 你認(rèn)為這種糖比較合理的定價為（　?。┰?千克。 A. 16.6 B. 16.4 C. 16.5 D. 16.3 *3. 為鼓勵市民珍惜每一滴水，某居委會表揚了100個節(jié)約用水模范戶，8月份節(jié)約用水的情況如表： 每戶節(jié)水量（單位：噸） 1 1.2 1.5 節(jié)水戶數(shù) 52 30 18 那么，8月份這100戶平均節(jié)約用水的噸數(shù)為（精確到0.01t）（　　） A．1.05t B．1.20t C．1.15t D．1t *4. 安安班上有九位同學(xué)，他們的體重資料如下： 57，54，47，42，49，48，45，47，50．（單位：公斤） 關(guān)于此數(shù)據(jù)的中位數(shù)與眾數(shù)的敘述，下列何者正確？（　?。? A. 中位數(shù)為49 B. 中位數(shù)為47 C. 眾數(shù)為57 D. 眾數(shù)為47 **5. 小明和小兵兩人參加學(xué)校組織的理化實驗操作測試，近期的5次測試成績?nèi)鐖D所示，則下列說法正確的是（ ） A. 小兵的平均成績好，但沒有小明穩(wěn)定 B. 小明的平均成績好，但沒有小兵穩(wěn)定 C. 兩人的平均成績一樣好，小明的方差大 D. 兩人的平均成績一樣好，小兵的方差大 **6. 已知樣本x1，x2，x3，…，xn的方差是1，那么樣本2x1+3，2x2+3，2x3+3，…，2xn+3的方差是（　?。? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空題 7. 某居民小區(qū)為了了解本小區(qū)100戶居民家庭平均月使用塑料袋的數(shù)量情況，隨機調(diào)査了10戶居民家庭月使用塑料袋的數(shù)量，結(jié)果如下（単位：只） 65 70 85 74 86 78 74 92 82 94 根據(jù)統(tǒng)計情況，估計該小區(qū)這100戶家庭平均使用塑料袋為_______只。 *8. 有一組數(shù)據(jù)：2，3，5，5，x，它們的平均數(shù)是10，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是________。 *9. 為從甲、乙、丙三名射擊運動員中選一人參加全運會，教練把他們的10次比賽成績作了統(tǒng)計：平均成績?yōu)?.3環(huán)：方差分別為S2甲=1.22，S2乙=1.68，S2丙=0.44，則應(yīng)該選________參加全運會。 **10. 某市號召居民節(jié)約用水，為了解居民用水情況，隨機抽查了20戶家庭某月的用水量，結(jié)果如表，則這20戶家庭這個月的平均用水量是____噸。 用水量（噸） 4 5 6 8 戶數(shù) 3 8 4 5 三、解答題 11. 某校為了招聘一名優(yōu)秀教師，對入選的三名候選人進(jìn)行教學(xué)技能與專業(yè)知識兩種考核，現(xiàn)將甲、乙、丙三人的考核成績統(tǒng)計如下： 候選人 百分制 教學(xué)技能考核成績 專業(yè)知識考核成績 甲 85 92 乙 91 85 丙 80 90 （1）如果校方認(rèn)為教師的教學(xué)技能水平與專業(yè)知識水平同等重要，則候選人____將被錄取。 （2）如果校方認(rèn)為教師的教學(xué)技能水平比專業(yè)知識水平重要，因此分別賦予它們6和4的權(quán)。計算他們賦權(quán)后各自的平均成績，并說明誰將被錄取。 *12. 七年級一班和二班各推選10名同學(xué)進(jìn)行投籃比賽，按照比賽規(guī)則，每人各投了10個球，兩個班選手的進(jìn)球數(shù)統(tǒng)計如下表，請根據(jù)表中數(shù)據(jù)回答問題。 進(jìn)球數(shù) 10 9 8 7 6 5 一班（人數(shù)） 1 1 1 4 0 3 二班（人數(shù)） 0 1 2 5 0 2 （1）分別求一班和二班選手進(jìn)球數(shù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)； （2）如果要從這兩個班中選出一個班代表級部參加學(xué)校的投籃比賽，爭取奪得總進(jìn)球數(shù)團體第一名，你認(rèn)為應(yīng)該選擇哪個班？如果要爭取個人進(jìn)球數(shù)進(jìn)入學(xué)校前三名，你認(rèn)為應(yīng)該選擇哪個班？ **13. 經(jīng)市場調(diào)查，某種優(yōu)質(zhì)西瓜質(zhì)量為（50.25）kg的最為暢銷。為了控制西瓜的質(zhì)量，農(nóng)科所采用A、B兩種種植技術(shù)進(jìn)行試驗?，F(xiàn)從這兩種技術(shù)種植的西瓜中各隨機抽取20顆，記錄它們的質(zhì)量如下（單位：kg）： A： B： （1）若質(zhì)量為（50.25）kg的為優(yōu)等品，根據(jù)以上信息完成下表： （2）請分別從優(yōu)等品數(shù)量、平均數(shù)與方差三方面對A、B兩種技術(shù)作出評價；從市場銷售的角度看，你認(rèn)為推廣哪種種植技術(shù)較好？ **14. 甲、乙兩人在相同的條件下各射靶5次，每次射靶的成績情況如圖所示。 （1）請你根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)填寫下表： 姓名 平均數(shù)（環(huán)） 眾數(shù)（環(huán)） 方差 甲 乙 2.8 （2）從平均數(shù)和方差相結(jié)合看，分析誰的成績好些。  1. C 解析：首先計算出樣本中視力不良的學(xué)生所占的百分比，再用30000名初三學(xué)生視力不良的學(xué)生所占的百分比即可得到答案。100500=20%，3000020%=6000，故選C。 2. B 解析：首先求出十份糖中水果糖的平均質(zhì)量，然后即可求出十份糖其中酥糖的平均質(zhì)量，再利用各自的價格即可計算出這種糖比較合理的定價。十份糖中水果糖的平均質(zhì)量為 那么十份糖中酥糖的平均質(zhì)量為1－0.544=0.456千克， ∴這種糖比較合理的定價為0.45618+0.54415=16.368≈16.4元/千克。 3. B 解析：求出所有數(shù)據(jù)的和，然后除以數(shù)據(jù)的總個數(shù)。100戶平均節(jié)約用水的噸數(shù)=（521+301.2+181.5）100=1.15t。故選C。 4. D 解析：先將所有的數(shù)據(jù)值依序排列后才能取中位數(shù)。將9筆資料值由小到大依序排列如下：42，45，47，47，48，49，50，54，57，∴中位數(shù)取第5筆資料值，即中位數(shù)=48，∵47公斤的次數(shù)最多（2次）∴眾數(shù)=47，故選D。 5. C 解析：先從圖片中讀出小明和小兵的測試數(shù)據(jù)，分別求出方差后比較大小。也可從圖看出來小明的成績都在8到10之間相對小兵的波動更小。 ∴S12＜S22?！鄡扇说钠骄煽円粯雍?，小兵的方差大，故選C。 6. D 解析：根據(jù)方差的意義分析，數(shù)據(jù)都加3，方差不變，原數(shù)據(jù)都乘2，則方差是原來的4倍。 設(shè)樣本x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為m，則其方差為 ， 則樣本2x1+3，2x2+3，2x3+3，…，2xn+3的平均數(shù)為2m，其方差為S22=4S12=4。故選D。 7. 80 解： 。 8. 5 解：由題意得，（2+3+5+5+x）5=10， 解得：x=35， 這組數(shù)據(jù)中5出現(xiàn)的次數(shù)最多，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為5。 9. 丙 解：∵S2甲=1.22，S2乙=1.68，S2丙=0.44， ∴S2丙最小， ∴則應(yīng)該選丙參加全運會。 10. 5.8 解：根據(jù)題意得： 這20戶家庭這個月的平均用水量是（43+58+64+85）20=5.8（噸）。 11. 解：（1）甲的平均數(shù)是：（85+92）2=88.5（分）， 乙的平均數(shù)是：（91+85））2=88（分）， 丙的平均數(shù)是：（80+90）2=85（分）， ∵甲的平均成績最高， ∴候選人甲將被錄取． 故答案為：甲。 （2）根據(jù)題意得： 甲的平均成績?yōu)椋海?56+924）10=87.8（分）， 乙的平均成績?yōu)椋海?16+854）10=88.6（分）， 丙的平均成績?yōu)椋海?06+904）10=84（分）， 因為乙的平均分?jǐn)?shù)最高， 所以乙將被錄取。 12. 解：（1）一班進(jìn)球平均數(shù)：（101+91+81+74+60+53）10=7（個）， 二班進(jìn)球平均數(shù)：（100+91+82+75+60+52）10=7（個）， 一班投中7個球的有4人，人數(shù)最多，故眾數(shù)為7（個）； 二班投中7個球的有5人，人數(shù)最多，故眾數(shù)為7（個）； 一班中位數(shù)：第五第六名同學(xué)進(jìn)7個球，故中位數(shù)為7（個）； 二班中位數(shù)：第五第六名同學(xué)進(jìn)7個球，故中位數(shù)為7（個）。 （2）一班的方差 S12=[（10－7）2+（9－7）2+（8－7）2+4（7－7）2+0（6－7）2+3（5－7）2]10=2.6， 一班的方差 S22= [0（10－7）2+（9－7）2+2（8－7）2+5（7－7）2+（6－7）2+2（5－7）2] 10=1.5， 二班選手水平發(fā)揮更穩(wěn)定，爭取奪得總進(jìn)球數(shù)團體第一名，應(yīng)該選擇二班； 一班前三名選手的成績突出，分別進(jìn)10個、9個、8個球，如果要爭取個人進(jìn)球數(shù)進(jìn)入學(xué)校前三名，應(yīng)該選擇一班。 13. 解：（1） （2）從優(yōu)等品數(shù)量的角度看，因A技術(shù)種植的西瓜優(yōu)等品數(shù)量較多，所以A技術(shù)較好； 從平均數(shù)的角度看，因A技術(shù)種植的西瓜質(zhì)量的平均數(shù)更接近5kg，所以A技術(shù)較好； 從方差的角度看，因B技術(shù)種植的西瓜質(zhì)量的方差更小，所以B技術(shù)種植的西瓜質(zhì)量更為穩(wěn)定； ∴從市場銷售角度看，因優(yōu)等品更暢銷，A技術(shù)種植的西瓜優(yōu)等品數(shù)量更多，且平均質(zhì)量更接近5kg，因而更適合推廣A種技術(shù)。 14. 解：（1）甲的平均數(shù)=（6+7+8+7+7）5=7 方差=[（6－7）2+（7－7）2+（8－7）2+（7－7）2+（7－7）2] 5=0.4， 甲的眾數(shù)是7； 乙的平均數(shù)=（3+6+6+7+8）5=6 乙的眾數(shù)是6；如圖， 姓名 平均數(shù)（環(huán)） 眾數(shù)（環(huán)） 方差 甲 7 7 0.4 乙 6 6 2.8 （2）從甲、乙兩人射靶成績的平均數(shù)來看：甲的成績優(yōu)于乙的，并且甲比乙的方差要小，說明甲的成績較為穩(wěn)定，所以甲的成績比乙的成績要好些。