九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 專(zhuān)題突破講練 相似中的“射影定理”試題 （新版）青島版.doc

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相似中的“射影定理” 1. 射影定理 直角三角形射影定理（又叫歐幾里德（Euclid）定理）：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。 如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90，AD是斜邊BC上的高，則有射影定理如下： （1）　?。?）　　（3） △ABC∽△ABD∽△DAC 注意： （1）在Rt△ABC中，AD為斜邊BC上的高，圖中共有6條線段：AC、BC、CD、AD、DB、AB，已知任意兩條，便可求出其余四條； （2）射影定理的每個(gè)乘積式中含三條線段，若已知兩條線段，可求第三條； （3）平方項(xiàng)一定是兩相似三角形的公共邊。 2. 定理推論 在△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則有。 △ABD∽△CBA 例題1 已知CD是△ABC的高，DE⊥CA，DF⊥CB，求證：△CEF∽△CBA。 解析：根據(jù)△CDE∽△CAD和△CDB∽△CFD得和利用等量代換和變形，即可證明△CEF∽△CBA。 答案：證明：在Rt△ADC中，由射影定律得，， 在Rt△BCD中， ∴ ∴ ∵ ∴△CEF∽△CBA 點(diǎn)撥：本題主要考察了相似三角形的基本模型射影定理的應(yīng)用。做題時(shí)要善于發(fā)現(xiàn)相似，找出等量關(guān)系，進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃巍? 例題2 已知：如圖，AB為⊙O的直徑，AC為弦，CD⊥AB于D。若AE＝AC，BE交⊙O于點(diǎn)F，連接CF、DE。 求證：（1） （2） 解析：（1）根據(jù)AE＝AC，可以把結(jié)論轉(zhuǎn)化為證明，只需連接BC，證明△ACD∽△ABC即可。（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論，即可證明三角形ADE相似于三角形AEB，得到∠AED＝∠B，再根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等即可證明。 答案：（1）連接BC， ∵AB為⊙O的直徑， ∴∠ACB＝90 ∵CD⊥AB， ∴△ACD∽△ABC， ∴ ∵AC＝AE， ∴ （2）∵，∠EAD＝∠BAE， ∴△ADE∽△AEB， ∴∠AED＝∠B ∵∠ACF＝∠B，∴∠ACF＝∠AED 點(diǎn)撥：本題主要考查了對(duì)相似三角形的判定和性質(zhì)的掌握和應(yīng)用，注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵。 【要點(diǎn)總結(jié)】 射影定理是相似三角形中的特殊形式，經(jīng)常結(jié)合圓、矩形、平面直角坐標(biāo)系和函數(shù)考查，因此要善于在復(fù)雜的圖形中發(fā)現(xiàn)滿(mǎn)足射影定理的模型，并對(duì)其進(jìn)行代數(shù)式的變形，以及等量代換，從而達(dá)到解題目的。 例題 如圖，在Rt△ABC中，CD，CE分別是斜邊AB上的高和中線，BC＝a，AC＝b（b＞a），若，求的值。 解析：在Rt△ABC中，利用射影定理得到，進(jìn)而得到BD的表達(dá)式，由面積法可求出CD的長(zhǎng)，根據(jù)CE為中線，建立關(guān)系式DE＝BE﹣BD，再根據(jù)正切函數(shù)的定義，建立關(guān)于a、b的關(guān)系式。 答案：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90，CD⊥AB∴， 即：。由等面積法知：，∴。 又因?yàn)镃E是中線，則。 在Rt△CDE中，， 得：， 解得，于是有或（舍負(fù)值）。 點(diǎn)撥：本題考查了射影定理、勾股定理、解直角三角形，綜合性較強(qiáng)，要認(rèn)真對(duì)待。 （答題時(shí)間：30分鐘） 一、選擇題 1. 在Rt△ABC中，∠C＝90，CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，若AD：BD＝9：4，則AC：BC的值為（ ） A. 9：4 B. 3：2 C. 4：9 D. 2：3 *2. 在Rt△ABC中，∠BAC＝90，AD⊥BC于點(diǎn)D，若，則＝（ ） A. B. C. D. *3. 已知：在△ABC中，∠BAC＝90，AD⊥BC于D，M為BC中點(diǎn)。下列關(guān)系式中正確的是（ ） A. B. C. D. **4. 若正實(shí)數(shù)x，y，z滿(mǎn)足①， ②。則下列關(guān)系式中正確的是（ ） A. B. C. D. 無(wú)法確定 二、填空題 *5. 如圖，△ABC中，點(diǎn)D在BC上，以為直徑作⊙O，恰過(guò)A點(diǎn)，若AC與⊙O相切，則AB的長(zhǎng)為 。 *6. 如圖，矩形ABCD中， ，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在CD上，且，，F(xiàn)G⊥AE于G，則AG：GE＝　 　。 *7. 兩個(gè)任意大小的正方形，都可以適當(dāng)剪開(kāi)，拼成一個(gè)較大的正方形，如用兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a，b的正方形拼成一個(gè)大正方形。圖中Rt△ABC的斜邊AB的長(zhǎng)等于 （用a，b的代數(shù)式表示）。 *8. Rt△ABC中，∠BAC＝90，AD是斜邊BC上的高，則 三者之間的等量關(guān)系式為 。 三、解答題 *9. 如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，CD⊥AB于點(diǎn)D，交AE于點(diǎn)G，弦CE交AB于點(diǎn)F，求證：。 *10. （沈陽(yáng)模擬）已知Rt△ABC中，∠BAC＝90，AD⊥BC，垂足為D，DF⊥AC，垂足為F，DE⊥AB，垂足為E。 求證：（Ⅰ） （Ⅱ） **11. 已知：如圖，BD、CE是△ABC的高，DG⊥BC與CE交于F，GD的延長(zhǎng)線與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H。求證：。 **12. （莆田）（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90，BD⊥AC于點(diǎn)D。求證：； （2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90，點(diǎn)D為BC邊上的點(diǎn)，BE⊥AD于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BE交AC于點(diǎn)F。，求的值； （3）在Rt△ABC中，∠ABC＝90，點(diǎn)D為直線BC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C重合），直線BE⊥AD于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)F。若，請(qǐng)?zhí)骄坎⒅苯訉?xiě)出的所有可能的值（用含n的式子表示），不必證明。  1. B 解析：由射影定理得，又∵， ∴，∴，故選B。 2. C 解析：由勾股定理得： ∵，可得：△ABC∽△DBA∽△DAC ∴， ，選C。 3. A 解析：由∠BAC＝90，AD⊥BC， ∴△ABC∽△DBA∽△DAC， 可得，。 又∵M(jìn)為BC中點(diǎn)，可得， ∴。 4. B 解析：如圖，由條件①可構(gòu)造Rt△ABC， 由條件②聯(lián)想到射影定理，作斜邊z上的高r， 由三角形的面積可得：，即。 5. 解析：連接AD，作于H點(diǎn)， 設(shè)，， 由△CAD∽△CBA 得：① 由射影定理得：，故， 又知H為BC中點(diǎn)，故，即②　　 由①、②解得：。 6. 4∶1 解析：矩形ABCD中，，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在CD上，且，，F(xiàn)G⊥AE于G，∴，∴，，∴， 又∵∠ECF＝∠FDA，∴△CEF∽△DFA，∴，∠AFD＝∠FEC， ∴∠AFD＋∠CFE＝∠FEC＋∠CFE＝90，∴∠AFE＝90 又∵FG⊥AE，∴△AFE∽△AGF，△AFG∽△FEG， ∴，則AG＝2FG，＝2，∴， ∴AG＝4EG，AG：GE＝4：1。 7. 解析：Rt△ABC的邊BC在斜邊AB上的射影為a，由BC2＝a?AB可得。 8. 解析：由射影定理可得：，，； ∴， 化簡(jiǎn)可得。 9. 證明：延長(zhǎng)CG，交⊙O于點(diǎn)M，∵AB⊥CM，∴，∴∠ACG＝∠E 又∵∠CAG＝∠EAC ∴△CAG∽△EAC ∴ ∴ 10. 證明：（Ⅰ）因?yàn)镽t△ABC中，∠BAC＝90，AD⊥BC。顯然△ABD∽△CBA ∴，即 （Ⅱ）∵由射影定理知 又由三角形相似可知，且DF＝AE ∴，結(jié)合射影定理 ∴ 11. 證明：∵BD⊥AC，DG⊥BC，∴∠DGC＝∠DGB＝90，∠CDB＝90， 由射影定理得：△CGD∽△DGB，∴ ， ∵CE⊥AB，∴∠ECB＋∠CBE＝90， 又∠H＋∠GBH＝90，∴∠ECB＝∠H，∠FGC＝∠HGB＝90， ∴△CGF∽△HGB，∴， ∴ ∴ 12. （1）證明：如圖①，∵BD⊥AC，∠ABC＝90，∴∠ADB＝∠ABC， 又∵∠A＝∠A，∴△ADB∽△ABC，∴，∴。 （2）解：方法一： 如圖②，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，∵BE⊥AD，∴∠CGD＝∠BED＝90，CG∥BF。 ∵，∴AB＝BC＝2BD＝2DC，BD＝DC， 又∵∠BDE＝∠CDG，∴△BDE≌△CDG，∴ 由（1）可得：，， ∴，∴AE＝4DE，∴。 ∵CG∥BF，∴。 方法二： 如圖③，過(guò)點(diǎn)D作DG∥BF，交AC于點(diǎn)G， ∵，∴，AB＝BC。 ∵DG∥BF，∴，F(xiàn)C＝2FG。 由（1）可得：，， ∴， ∵DG∥BF，∴，∴。 （3）解：點(diǎn)D為直線BC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C重合），有三種情況： （I）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，如圖④所示： 過(guò)點(diǎn)D作DG∥BF，交AC邊于點(diǎn)G。 ∵，∴ ∵DG∥BF，∴，∴ 由（1）可得：，， ∴； ∵DG∥BF，∴，即，化簡(jiǎn)得：； （Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖⑤所示： 過(guò)點(diǎn)D作DG∥BE，交AC邊的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G。同理可求得：； （Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖⑥所示： 過(guò)點(diǎn)D作DG∥BF，交CA邊的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G。同理可求得：。