2019高中數(shù)學(xué) 第3章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù) 3.1.3 復(fù)數(shù)的幾何意義學(xué)案 新人教B版選修2-2.doc

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3.1.3　復(fù)數(shù)的幾何意義 1．掌握復(fù)數(shù)的幾何意義，即能夠掌握復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系，掌握向量、復(fù)數(shù)及復(fù)平面上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系． 2．能夠利用復(fù)數(shù)的幾何意義解決一些較簡單的題目． 1．復(fù)數(shù)的幾何表示 根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，復(fù)數(shù)z＝a＋bi被一個有序?qū)崝?shù)對(a，b)所______確定，而每一個有序?qū)崝?shù)對(a，b)，在平面直角坐標(biāo)系中有唯一確定一點(diǎn)Z(a，b)(或一個向量)．這就是說，每一個復(fù)數(shù)，對應(yīng)著平面直角坐標(biāo)系中唯一的______(或一個向量)；反過來，平面直角坐標(biāo)系中每一個點(diǎn)(或每一個向量)，也對應(yīng)著唯一的一個有序?qū)崝?shù)對．這樣我們通過有序?qū)崝?shù)對，可以建立復(fù)數(shù)z＝a＋bi和點(diǎn)Z(a，b)(或向量)之間的一一對應(yīng)關(guān)系．點(diǎn)Z(a，b)或向量是復(fù)數(shù)z的______表示(如圖)． 復(fù)數(shù)z＝a＋bi有序?qū)崝?shù)對(a，b)點(diǎn)Z(a，b)． 【做一做1－1】對于復(fù)平面，下列命題中是真命題的是(　　)． A．虛數(shù)集和各個象限內(nèi)的點(diǎn)的集合是一一對應(yīng)的 B．實(shí)、虛部都是負(fù)數(shù)的虛數(shù)的集合與第二象限內(nèi)的點(diǎn)的集合是一一對應(yīng)的 C．實(shí)部是負(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)的集合與第二、三象限的點(diǎn)的集合是一一對應(yīng)的 D．實(shí)軸上方的點(diǎn)的集合與虛部為正數(shù)的復(fù)數(shù)的集合是一一對應(yīng)的 【做一做1－2】設(shè)z＝(2a2＋5a－3)＋(a2－2a＋3)i(a∈R)，則下列命題中正確的是(　　)． A．z的對應(yīng)點(diǎn)Z在第一象限 B．z的對應(yīng)點(diǎn)Z在第四象限 C．z不是純虛數(shù) D．z是虛數(shù) 2．復(fù)平面 建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做______．在復(fù)平面內(nèi)，x軸叫做______，y軸叫做______．x軸的單位是1，y軸的單位是i.實(shí)軸與虛軸的交點(diǎn)叫做原點(diǎn)，原點(diǎn)(0,0)對應(yīng)復(fù)數(shù)0. (1)復(fù)數(shù)與向量建立一一對應(yīng)關(guān)系的前提是起點(diǎn)都是原點(diǎn)． (2)復(fù)數(shù)z的幾何表示為我們用向量方法解決復(fù)數(shù)問題或用復(fù)數(shù)方法解決向量問題創(chuàng)造了條件． (3)為了方便起見，我們常把復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)說成點(diǎn)Z或說成向量，并規(guī)定：相等向量表示同一個復(fù)數(shù)． 【做一做2】下面有關(guān)復(fù)平面的命題，其中正確的有________． ①實(shí)軸與虛軸無交點(diǎn)； ②實(shí)軸上的點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，虛軸上的點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為虛數(shù)； ③實(shí)軸與虛軸的單位都是1； ④實(shí)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上，純虛數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上． 3．復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù) (1)設(shè)＝a＋bi(a，b∈R)，則向量的長度叫做復(fù)數(shù)a＋bi的____(或絕對值)，記作|a＋bi|，|a＋bi|＝________. (2)如果兩個復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，而虛部互為相反數(shù)，則這兩個復(fù)數(shù)叫做互為______復(fù)數(shù)．復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用表示． 說明：①復(fù)數(shù)z的模即有向線段的長度或兩點(diǎn)間的距離．在數(shù)軸(一元坐標(biāo))上我們叫實(shí)數(shù)的絕對值，在直角坐標(biāo)系(二元坐標(biāo))上我們叫向量的模，但叫絕對值也可以．其本質(zhì)都是線段的長．②由|z|＝，得|z|2＝a2＋b2，而由a2＋b2＝(a＋bi)(a－bi)，可得公式z＝|z|2＝||2，這一公式在分解因式、復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)的互化、模及共軛復(fù)數(shù)的運(yùn)算中都應(yīng)用很廣泛． 【做一做3－1】復(fù)數(shù)i＋2i2的共軛復(fù)數(shù)是(　　)． A．2＋i B．2－i C．－2＋i D．－2－i 【做一做3－2】滿足條件|z|＝|3＋4i|的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是(　　)． A．一條直線 B．兩條直線 C．圓 D．橢圓 1．如何理解復(fù)數(shù)的兩種幾何形式？ 剖析： 這種對應(yīng)關(guān)系架起了聯(lián)系復(fù)數(shù)與解析幾何之間的橋梁，使得復(fù)數(shù)問題可以用幾何方法解決，而幾何問題也可以用復(fù)數(shù)方法解決(即數(shù)形結(jié)合法)，增加了解決復(fù)數(shù)問題的途徑． 復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(a，b)，而不是(a，bi)．復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)對應(yīng)的向量是以原點(diǎn)O為起點(diǎn)的，否則就談不上一一對應(yīng)，因?yàn)閺?fù)平面上與相等的向量有無數(shù)個． 2．復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)有什么聯(lián)系？ 剖析：(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模用|z|表示，其公式為|z|＝，它既是z對應(yīng)的向量的長度又是其對應(yīng)的點(diǎn)Z(a，b)到原點(diǎn)的距離． (2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的共軛復(fù)數(shù)為＝a－bi，它們對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱．當(dāng)b＝0時，z＝，此時z與對應(yīng)的點(diǎn)是實(shí)軸上的同一個點(diǎn)．如果z＝，可以推得z為實(shí)數(shù)．由此可得z＝?z為實(shí)數(shù)．|z|2＝z. 題型一 復(fù)數(shù)的幾何表示 【例題1】已知a∈R，則z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所對應(yīng)的點(diǎn)在第幾象限？復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是什么？ 分析：根據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)平面上點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系知，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在第幾象限與復(fù)數(shù)z的實(shí)部和虛部的符號有關(guān)；求復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡問題，首先把z表示成為z＝x＋yi(x，y∈R)的形式，然后尋求x，y之間的關(guān)系，但要注意參數(shù)限定的條件． 題型二 共軛復(fù)數(shù) 【例題2】已知x－1＋yi與i－3x是共軛復(fù)數(shù)，求實(shí)數(shù)x與y的值． 分析：根據(jù)共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)相等的概念列方程組求x，y. 反思：復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用來表示，即若z＝a＋bi(a，b∈R)，則＝a－bi(a，b∈R)．在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)Z(a，b)對應(yīng)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)；點(diǎn)(a，－b)對應(yīng)復(fù)數(shù)＝a－bi(a，b∈R)，點(diǎn)Z和關(guān)于實(shí)軸對稱． 題型三 復(fù)數(shù)的模【例題3】 已知復(fù)數(shù)z1＝－i，z2＝－＋i. (1)求||及||的值并比較大??； (2)設(shè)z∈C，滿足條件|z2|≤|z|≤|z1|的點(diǎn)Z的集合是什么圖形？ 分析：根據(jù)模的定義及幾何意義來求解． 反思：復(fù)數(shù)的模表示復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．計算復(fù)數(shù)的模時，應(yīng)先找出復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，然后再利用公式進(jìn)行計算，復(fù)數(shù)的?？梢员容^大小． 題型四 易錯辨析 易錯點(diǎn)：復(fù)數(shù)的模是實(shí)數(shù)的絕對值概念的擴(kuò)充，但在求解有關(guān)問題時，不能當(dāng)成實(shí)數(shù)的“絕對值”加以求解，否則易丟解、漏解，造成答案不完整或錯誤． 【例題4】求方程－5|x|＋6＝0在復(fù)數(shù)集上解的個數(shù)． 錯解：∵－5|x|＋6＝0，∴5|x|＝6，即|x|＝， ∴x＝，故原方程在復(fù)數(shù)集上有兩個解． 1如果復(fù)數(shù)a＋bi在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則(　　)． A．a(chǎn)＞0，b＜0 B．a(chǎn)＞0，b＞0 C．a(chǎn)＜0，b＜0 D．a(chǎn)＜0，b＞0 2復(fù)數(shù)z＝3a－6i的模為，則實(shí)數(shù)a的值為(　　)． A． B．－ C． D． 3若a，b∈R，z＝a＋bi，我們稱復(fù)數(shù)－a－bi為z的相反復(fù)數(shù)，則(　　)． A．復(fù)平面上表示z和它的相反復(fù)數(shù)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱 B．復(fù)平面上表示z的共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)與表示z的相反復(fù)數(shù)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱 C．z的共軛復(fù)數(shù)的相反復(fù)數(shù)是z D．z的相反復(fù)數(shù)與不相等 4復(fù)數(shù)z＝1＋itan 200的模是________． 5已知θ∈，復(fù)數(shù)z＝2cos θ＋isin θ，則|z|的取值范圍是________． 答案： 基礎(chǔ)知識梳理 1．唯一　一個點(diǎn)　幾何 【做一做1－1】D　當(dāng)虛數(shù)為純虛數(shù)時，所對應(yīng)的點(diǎn)位于虛軸上，不屬于任何象限，因此選項(xiàng)A不正確；實(shí)、虛部都是負(fù)數(shù)的虛數(shù)的集合與第三象限內(nèi)的點(diǎn)的集合是一一對應(yīng)的，因此選項(xiàng)B不正確；實(shí)部是負(fù)數(shù)的實(shí)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上，不屬于第二、三象限，因此選項(xiàng)C不正確；選項(xiàng)D正確． 【做一做1－2】D　由2a2＋5a－3＝(2a－1)(a＋3)，得其實(shí)部可正，可負(fù)也可以是零，而虛部a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0，故z是虛數(shù)． 2．復(fù)平面　實(shí)軸　虛軸 【做一做2】④　由于實(shí)軸與虛軸相交于原點(diǎn)，故①錯；由于原點(diǎn)也在虛軸上，它與復(fù)數(shù)0對應(yīng)，故②不正確；虛軸的單位為i，所以③錯；④正確． 3．(1)?！　?2)共軛 【做一做3－1】D　i＋2i2＝－2＋i，其共軛復(fù)數(shù)是－2－i. 【做一做3－2】C　|3＋4i|＝＝5.故復(fù)數(shù)z的模為5，即點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離等于5，因此滿足條件|z|＝5的點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)為圓心，以5為半徑的圓． 典型例題領(lǐng)悟 【例題1】解：由于a2－2a＋4＝(a－1)2＋3＞0， a2－2a＋2＝(a－1)2＋1＞0， ∴復(fù)數(shù)z的實(shí)部為正，虛部為負(fù)，即復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限． 設(shè)z＝x＋yi(x，yR)，則 上述兩式相加，得x＋y＝2. 又x＝a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3， ∴復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是一條射線，其方程為x＋y－2＝0(x≥3)． 【例題2】解：i－3x的共軛復(fù)數(shù)為－3x－i，所以 x－1＋yi＝－3x－i，從而解得 【例題3】解：(1)||＝|＋i|＝＝2. ||＝|－－i|＝＝1. 所以||＞||. (2)由|z2|≤|z|≤|z1|，得1≤|z|≤2. 因?yàn)閨z|≥1表示圓|z|＝1上及其外部所有點(diǎn)組成的集合，|z|≤2表示圓|z|＝2上及其內(nèi)部所有點(diǎn)組成的集合，故符合題設(shè)條件的點(diǎn)的集合是以O(shè)為圓心，以1和2為半徑的圓所夾的圓環(huán)(包括邊界)，如圖． 【例題4】錯因分析：錯解中將|x|看成了實(shí)數(shù)的絕對值，忽略在復(fù)數(shù)集上解方程而導(dǎo)致錯誤． 正解：設(shè)x＝a＋bi(a，bR)，原方程可化為＝，即a2＋b2＝，在復(fù)平面上滿足此條件的點(diǎn)有無數(shù)個，所以原方程在復(fù)數(shù)集上有無數(shù)個解． 隨堂練習(xí)鞏固 1．D 2．C　∵(3a)2＋(－6)2＝40，∴a＝. 3．B　選項(xiàng)A中應(yīng)關(guān)于原點(diǎn)對稱；選項(xiàng)C中因?yàn)椋絘－bi，則的相反復(fù)數(shù)為－a＋bi，并非等于z；選項(xiàng)D中若z為純虛數(shù)，則z的相反復(fù)數(shù)與相等． 4．　|z|＝＝＝＝. 5．　∵|z|＝＝＝， 又θ，∴≤cos θ≤1，∴≤1＋3cos2θ≤4， 故≤|z|≤2.