2019高中數(shù)學(xué) 第3章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù) 3.1.3 復(fù)數(shù)的幾何意義學(xué)案 新人教B版選修2-2.doc

3.1.3復(fù)數(shù)的幾何意義1掌握復(fù)數(shù)的幾何意義，即能夠掌握復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，掌握向量、復(fù)數(shù)及復(fù)平面上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系2能夠利用復(fù)數(shù)的幾何意義解決一些較簡(jiǎn)單的題目1復(fù)數(shù)的幾何表示根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，復(fù)數(shù)zabi被一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)(a，b)所_確定，而每一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)(a，b)，在平面直角坐標(biāo)系中有唯一確定一點(diǎn)Z(a，b)(或一個(gè)向量)這就是說，每一個(gè)復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)著平面直角坐標(biāo)系中唯一的_(或一個(gè)向量)；反過來，平面直角坐標(biāo)系中每一個(gè)點(diǎn)(或每一個(gè)向量)，也對(duì)應(yīng)著唯一的一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)這樣我們通過有序?qū)崝?shù)對(duì)，可以建立復(fù)數(shù)zabi和點(diǎn)Z(a，b)(或向量)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系點(diǎn)Z(a，b)或向量是復(fù)數(shù)z的_表示(如圖)復(fù)數(shù)zabi有序?qū)崝?shù)對(duì)(a，b)點(diǎn)Z(a，b)【做一做11】對(duì)于復(fù)平面，下列命題中是真命題的是()A虛數(shù)集和各個(gè)象限內(nèi)的點(diǎn)的集合是一一對(duì)應(yīng)的B實(shí)、虛部都是負(fù)數(shù)的虛數(shù)的集合與第二象限內(nèi)的點(diǎn)的集合是一一對(duì)應(yīng)的C實(shí)部是負(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)的集合與第二、三象限的點(diǎn)的集合是一一對(duì)應(yīng)的D實(shí)軸上方的點(diǎn)的集合與虛部為正數(shù)的復(fù)數(shù)的集合是一一對(duì)應(yīng)的【做一做12】設(shè)z(2a25a3)(a22a3)i(aR)，則下列命題中正確的是()Az的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z在第一象限Bz的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z在第四象限Cz不是純虛數(shù)Dz是虛數(shù)2復(fù)平面建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做_在復(fù)平面內(nèi)，x軸叫做_，y軸叫做_x軸的單位是1，y軸的單位是i.實(shí)軸與虛軸的交點(diǎn)叫做原點(diǎn)，原點(diǎn)(0,0)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)0.(1)復(fù)數(shù)與向量建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的前提是起點(diǎn)都是原點(diǎn)(2)復(fù)數(shù)z的幾何表示為我們用向量方法解決復(fù)數(shù)問題或用復(fù)數(shù)方法解決向量問題創(chuàng)造了條件(3)為了方便起見，我們常把復(fù)數(shù)zabi(a，bR)說成點(diǎn)Z或說成向量，并規(guī)定：相等向量表示同一個(gè)復(fù)數(shù)【做一做2】下面有關(guān)復(fù)平面的命題，其中正確的有_實(shí)軸與虛軸無交點(diǎn)；實(shí)軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，虛軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為虛數(shù)；實(shí)軸與虛軸的單位都是1；實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上，純虛數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上3復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)(1)設(shè)abi(a，bR)，則向量的長度叫做復(fù)數(shù)abi的_(或絕對(duì)值)，記作|abi|，|abi|_.(2)如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，而虛部互為相反數(shù)，則這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為_復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用表示說明：復(fù)數(shù)z的模即有向線段的長度或兩點(diǎn)間的距離在數(shù)軸(一元坐標(biāo))上我們叫實(shí)數(shù)的絕對(duì)值，在直角坐標(biāo)系(二元坐標(biāo))上我們叫向量的模，但叫絕對(duì)值也可以其本質(zhì)都是線段的長由|z|，得|z|2a2b2，而由a2b2(abi)(abi)，可得公式z|z|2|2，這一公式在分解因式、復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)的互化、模及共軛復(fù)數(shù)的運(yùn)算中都應(yīng)用很廣泛【做一做31】復(fù)數(shù)i2i2的共軛復(fù)數(shù)是()A2i B2iC2i D2i【做一做32】滿足條件|z|34i|的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是()A一條直線 B兩條直線C圓 D橢圓1如何理解復(fù)數(shù)的兩種幾何形式？剖析：這種對(duì)應(yīng)關(guān)系架起了聯(lián)系復(fù)數(shù)與解析幾何之間的橋梁，使得復(fù)數(shù)問題可以用幾何方法解決，而幾何問題也可以用復(fù)數(shù)方法解決(即數(shù)形結(jié)合法)，增加了解決復(fù)數(shù)問題的途徑復(fù)數(shù)zabi(a，bR)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(a，b)，而不是(a，bi)復(fù)數(shù)zabi(a，bR)對(duì)應(yīng)的向量是以原點(diǎn)O為起點(diǎn)的，否則就談不上一一對(duì)應(yīng)，因?yàn)閺?fù)平面上與相等的向量有無數(shù)個(gè)2復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)有什么聯(lián)系？剖析：(1)復(fù)數(shù)zabi(a，bR)的模用|z|表示，其公式為|z|，它既是z對(duì)應(yīng)的向量的長度又是其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z(a，b)到原點(diǎn)的距離(2)復(fù)數(shù)zabi(a，bR)的共軛復(fù)數(shù)為abi，它們對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱當(dāng)b0時(shí)，z，此時(shí)z與對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是實(shí)軸上的同一個(gè)點(diǎn)如果z，可以推得z為實(shí)數(shù)由此可得zz為實(shí)數(shù)|z|2z.題型一 復(fù)數(shù)的幾何表示【例題1】已知aR，則z(a22a4)(a22a2)i所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第幾象限？復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是什么？分析：根據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)平面上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系知，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第幾象限與復(fù)數(shù)z的實(shí)部和虛部的符號(hào)有關(guān)；求復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡問題，首先把z表示成為zxyi(x，yR)的形式，然后尋求x，y之間的關(guān)系，但要注意參數(shù)限定的條件題型二 共軛復(fù)數(shù)【例題2】已知x1yi與i3x是共軛復(fù)數(shù)，求實(shí)數(shù)x與y的值分析：根據(jù)共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)相等的概念列方程組求x，y.反思：復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用來表示，即若zabi(a，bR)，則abi(a，bR)在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)Z(a，b)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)zabi(a，bR)；點(diǎn)(a，b)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)abi(a，bR)，點(diǎn)Z和關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱題型三 復(fù)數(shù)的?！纠}3】已知復(fù)數(shù)z1i，z2i.(1)求|及|的值并比較大小；(2)設(shè)zC，滿足條件|z2|z|z1|的點(diǎn)Z的集合是什么圖形？分析：根據(jù)模的定義及幾何意義來求解反思：復(fù)數(shù)的模表示復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離計(jì)算復(fù)數(shù)的模時(shí)，應(yīng)先找出復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，然后再利用公式進(jìn)行計(jì)算，復(fù)數(shù)的?？梢员容^大小題型四 易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的模是實(shí)數(shù)的絕對(duì)值概念的擴(kuò)充，但在求解有關(guān)問題時(shí)，不能當(dāng)成實(shí)數(shù)的“絕對(duì)值”加以求解，否則易丟解、漏解，造成答案不完整或錯(cuò)誤【例題4】求方程5|x|60在復(fù)數(shù)集上解的個(gè)數(shù)錯(cuò)解：5|x|60，5|x|6，即|x|，x，故原方程在復(fù)數(shù)集上有兩個(gè)解1如果復(fù)數(shù)abi在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則()Aa0，b0Ba0，b0Ca0，b0Da0，b02復(fù)數(shù)z3a6i的模為，則實(shí)數(shù)a的值為()A BC D3若a，bR，zabi，我們稱復(fù)數(shù)abi為z的相反復(fù)數(shù)，則()A復(fù)平面上表示z和它的相反復(fù)數(shù)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱B復(fù)平面上表示z的共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)與表示z的相反復(fù)數(shù)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱Cz的共軛復(fù)數(shù)的相反復(fù)數(shù)是zDz的相反復(fù)數(shù)與不相等4復(fù)數(shù)z1itan 200的模是_5已知，復(fù)數(shù)z2cos isin ，則|z|的取值范圍是_答案：基礎(chǔ)知識(shí)梳理1唯一一個(gè)點(diǎn)幾何【做一做11】D當(dāng)虛數(shù)為純虛數(shù)時(shí)，所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于虛軸上，不屬于任何象限，因此選項(xiàng)A不正確；實(shí)、虛部都是負(fù)數(shù)的虛數(shù)的集合與第三象限內(nèi)的點(diǎn)的集合是一一對(duì)應(yīng)的，因此選項(xiàng)B不正確；實(shí)部是負(fù)數(shù)的實(shí)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上，不屬于第二、三象限，因此選項(xiàng)C不正確；選項(xiàng)D正確【做一做12】D由2a25a3(2a1)(a3)，得其實(shí)部可正，可負(fù)也可以是零，而虛部a22a3(a1)220，故z是虛數(shù)2復(fù)平面實(shí)軸虛軸【做一做2】由于實(shí)軸與虛軸相交于原點(diǎn)，故錯(cuò)；由于原點(diǎn)也在虛軸上，它與復(fù)數(shù)0對(duì)應(yīng)，故不正確；虛軸的單位為i，所以錯(cuò)；正確3(1)模(2)共軛【做一做31】Di2i22i，其共軛復(fù)數(shù)是2i.【做一做32】C|34i|5.故復(fù)數(shù)z的模為5，即點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離等于5，因此滿足條件|z|5的點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)為圓心，以5為半徑的圓典型例題領(lǐng)悟【例題1】解：由于a22a4(a1)230，a22a2(a1)210，復(fù)數(shù)z的實(shí)部為正，虛部為負(fù)，即復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限設(shè)zxyi(x，yR)，則上述兩式相加，得xy2.又xa22a4(a1)233，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是一條射線，其方程為xy20(x3)【例題2】解：i3x的共軛復(fù)數(shù)為3xi，所以x1yi3xi，從而解得【例題3】解：(1)|i|2.|i|1.所以|.(2)由|z2|z|z1|，得1|z|2.因?yàn)閨z|1表示圓|z|1上及其外部所有點(diǎn)組成的集合，|z|2表示圓|z|2上及其內(nèi)部所有點(diǎn)組成的集合，故符合題設(shè)條件的點(diǎn)的集合是以O(shè)為圓心，以1和2為半徑的圓所夾的圓環(huán)(包括邊界)，如圖【例題4】錯(cuò)因分析：錯(cuò)解中將|x|看成了實(shí)數(shù)的絕對(duì)值，忽略在復(fù)數(shù)集上解方程而導(dǎo)致錯(cuò)誤正解：設(shè)xabi(a，bR)，原方程可化為，即a2b2，在復(fù)平面上滿足此條件的點(diǎn)有無數(shù)個(gè)，所以原方程在復(fù)數(shù)集上有無數(shù)個(gè)解隨堂練習(xí)鞏固1D2C(3a)2(6)240，a.3B選項(xiàng)A中應(yīng)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；選項(xiàng)C中因?yàn)閍bi，則的相反復(fù)數(shù)為abi，并非等于z；選項(xiàng)D中若z為純虛數(shù)，則z的相反復(fù)數(shù)與相等4|z|.5|z|，又，cos 1，13cos24，故|z|2.