2019版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第二章 二次函數(shù)試題 （新版）北師大版.doc

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第二章　二次函數(shù) 　　1.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的配方步驟 (1)提:提取二次項(xiàng)系數(shù),把二次項(xiàng)系數(shù)化為1. (2)配:把括號(hào)內(nèi)配成完全平方公式. (3)化:把函數(shù)關(guān)系式化成頂點(diǎn)式. 【例】配方:y=4x2-8x. 【標(biāo)準(zhǔn)解答】y=4x2-8x =4(x2-2x) =4(x2-2x+1-1)=4(x-1)2-4. 1.二次函數(shù)y=-x2+2x+4的最大值為(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 2.將二次函數(shù)y=x2-4x+5化為y=(x-h)2+k的形式,則y=　　　　. 3.二次函數(shù)y=x2+2x的頂點(diǎn)坐標(biāo)為　　　,對(duì)稱軸是直線　　　. 　　2.確定二次函數(shù)解析式的方法 　　(1)一般式:若已知條件是圖象上的三點(diǎn),則用y=ax2+bx+c,將已知三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入,求出a,b,c的值. 【例1】已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(0,1),(2,1)和(3,4),求該二次函數(shù)的解析式. 【標(biāo)準(zhǔn)解答】設(shè)函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c, 則1=c,1=4a+2b+c,4=9a+3b+c.解得a=1,b=-2,c=1. ∴y=x2-2x+1. 　　(2)頂點(diǎn)式:若已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸方程與最大值(或最小值),設(shè)所求二次函數(shù)為y=a(x-h)2+k,將已知條件代入,求出待定系數(shù). 【例2】根據(jù)函數(shù)圖象寫出二次函數(shù)的解析式. 【標(biāo)準(zhǔn)解答】由圖象知拋物線對(duì)稱軸x=-1,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,2),過原點(diǎn)(0,0),點(diǎn)(-2,0). 設(shè)解析式為y=a(x+1)2+2, ∵過原點(diǎn)(0,0),∴a+2=0,a=-2. 故解析式為y=-2(x+1)2+2,即y=-2x2-4x. 　　(3)交點(diǎn)式:若已知二次函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1,0),(x2,0),設(shè)所求二次函數(shù)為y=a(x-x1)(x-x2),將第三點(diǎn)(m,n)的坐標(biāo)(其中m,n為已知數(shù))或其他已知條件代入,求出待定系數(shù)a. 【例3】已知函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖,那么函數(shù)解析式為　(　　) A.y=-x2+2x+3 B.y=x2-2x-3 C.y=-x2-2x+3 D.y=-x2-2x-3 【標(biāo)準(zhǔn)解答】選A.運(yùn)用二次函數(shù)交點(diǎn)式:y=a(x-x1)(x-x2),則y=a(x+1)(x-3),把(0,3)代入,則a=-1,整理,得y=-x2+2x+3. (4)根據(jù)平移確定解析式:先把拋物線化成頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k,然后根據(jù)h值左加右減,k值上加下減來進(jìn)行. 【例4】拋物線y=(x+2)2-3可以由拋物線y=x2平移得到,則下列平移過程正確的是　(　　) A.先向左平移2個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位 B.先向左平移2個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位 C.先向右平移2個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位 D.先向右平移2個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位 【標(biāo)準(zhǔn)解答】選B.y=(x+2)2-3的頂點(diǎn)為(-2,-3),拋物線y=x2的頂點(diǎn)為(0,0),所以平移的過程是先向左平移2個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位. 1.將拋物線y=-2x2+1向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度所得的拋物線解析式為　(　　) A.y=-2(x+1)2 B.y=-2(x+1)2+2 C.y=-2(x-1)2+2 D.y=-2(x-1)2+1 2.將拋物線y=x2的圖象向上平移1個(gè)單位,則平移后的拋物線的解析式為　　　　. 3.設(shè)拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)過A(0,2),B(4,3),C三點(diǎn),其中點(diǎn)C在直線x=2上,且點(diǎn)C到拋物線的對(duì)稱軸的距離等于1,則拋物線的函數(shù)解析式為　　　　. 4.科學(xué)家為了推測(cè)最適合某種珍奇植物生長(zhǎng)的溫度,將這種植物分別放在不同溫度的環(huán)境中,經(jīng)過一定時(shí)間后,測(cè)試出這種植物高度的增長(zhǎng)情況,部分?jǐn)?shù)據(jù)如表: 溫度t/℃ -4 -2 0 1 4 植物高度增 長(zhǎng)量l/mm 41 49 49 46 25 經(jīng)過猜想、推測(cè)出l與t之間是二次函數(shù)關(guān)系.由此可以推測(cè)最適合這種植物生長(zhǎng)的溫度為　　　　℃. 　　3.二次函數(shù)y=ax2+bx+c中的系數(shù)值對(duì)拋物線的影響 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象特征與a,b,c的符號(hào)有密切聯(lián)系,它們的關(guān)系如下: 　　(1)二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向、函數(shù)最值情況. 　　①a>0?開口向上,函數(shù)有最小值; 　?、赼<0?開口向下,函數(shù)有最大值. 　 　(2)常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸的交點(diǎn),交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,c). 　　 ①c>0?交點(diǎn)在y軸正半軸上; 　　 ②c=0?拋物線過原點(diǎn); 　　 ③c<0?交點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上. 　　 (3)代數(shù)式-b2a決定拋物線對(duì)稱軸的位置 　　 ①ab>0?對(duì)稱軸在y軸的左側(cè); 　 　②b=0?對(duì)稱軸是y軸; 　　 ③ab<0?對(duì)稱軸在y軸的右側(cè). 　　 (4)代數(shù)式b2-4ac決定拋物線與x軸交點(diǎn)的情況 　 ?、賐2-4ac>0?拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn); 　　 ②b2-4ac=0?拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn); 　　 ③b2-4ac<0?拋物線與x軸沒有交點(diǎn). 【例】如圖所示的二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象中,劉星同學(xué)觀察得出了下面四條信息:(1)b2-4ac>0;(2)c>1;(3)2a-b<0;(4)a+b+c<0.你認(rèn)為其中錯(cuò)誤的有　(　　) A.2個(gè)　　 B.3個(gè)　 　C.4個(gè)　　 D.1個(gè) 【標(biāo)準(zhǔn)解答】選D.圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),得(1)正確; 圖象與y軸交點(diǎn)在點(diǎn)(0,1)下方得c<1,所以(2)錯(cuò)誤; 對(duì)稱軸x=-b2a在點(diǎn)(-1,0)右側(cè),得-b2a>-1并考慮a<0,去分母得-b<-2a,2a-b<0,所以(3)正確; a+b+c是x=1時(shí)的函數(shù)值,從圖象上看,橫坐標(biāo)為1時(shí)圖象上的點(diǎn)在x軸下方,故a+b+c<0,所以(4)正確.綜上只有一條信息錯(cuò)誤.  1.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,則下列敘述正確的是　(　　) A.abc<0 B.-3a+c<0 C.b2-4ac≥0 D.將該函數(shù)圖象向左平移2個(gè)單位后所得拋物線的解析式為y=ax2+c 1題圖 2題圖 2.如圖,已知經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱軸是直線x=-1,下列結(jié)論中: ①ab>0, ②a+b+c>0, ③當(dāng)-20?拋物線與x軸相交; 　　②有一個(gè)交點(diǎn)(頂點(diǎn)在x軸上)?b2-4ac=0?拋物線與x軸相切; 　?、蹧]有交點(diǎn)?b2-4ac<0?拋物線與x軸相離. 【例】已知拋物線y=-x2+mx-m+2. (1)若拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A,B分別在原點(diǎn)的兩側(cè),并且AB=5,試求m的值. (2)設(shè)C為拋物線與y軸的交點(diǎn),若拋物線上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)M,N,并且△MNC的面積等于27,試求m的值. 【標(biāo)準(zhǔn)解答】(1)設(shè)A(x1,0),B(x2,0),則x1,x2是方程x2-mx+m-2=0的兩根. ∴x1+x2=m,x1x2=m-2<0即m<2; 又AB=∣x1-x2∣=(x1+x2)2-4x1x2 =5,∴m2-4m+3=0. 解得:m=1或m=3(舍去), ∴m的值為1. (2)設(shè)M(a,b),則N(-a,-b). ∵M(jìn),N是拋物線上的兩點(diǎn), ∴-a2+ma-m+2=b,①-a2-ma-m+2=-b.② ①+②得:-2a2-2m+4=0. ∴a2=-m+2. ∴當(dāng)m<2時(shí),才存在滿足條件中的兩點(diǎn)M,N.∴a=2-m. 這時(shí)M,N到y(tǒng)軸的距離均為2-m, 又點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,2-m),而S△MNC=27, ∴212(2-m)2-m=27. ∴解得m=-7. 1.如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象,下列結(jié)論: ①二次三項(xiàng)式ax2+bx+c的最大值為4; ②4a+2b+c<0; ③一元二次方程ax2+bx+c=1的兩根之和為-2; ④使y≤3成立的x的取值范圍是x≥0. 其中正確的個(gè)數(shù)有　(　　) A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 1題圖 2題圖 2.如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0),B(3,0),那么一元二次方程ax2+bx=0的根是　　　　. 3.已知拋物線的表達(dá)式為y=-x2+6x+c. (1)若拋物線與x軸有交點(diǎn),求c的取值范圍. (2)設(shè)拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,若x12+x22=26,求c的值. (3)若P,Q是拋物線上位于第一象限的不同兩點(diǎn),PA,QB都垂直于x軸,垂足分別為A,B,且△OPA與△OQB全等,求證:c>-214. 　　5.二次函數(shù)解決實(shí)際問題時(shí)的方法 思考問題的基本思路是: 　　(1)理解問題. 　　(2)分析問題中的變量和常量. 　　(3)用函數(shù)表達(dá)式表示出它們之間的關(guān)系. 　　(4)利用二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解. 　　(5)檢驗(yàn)結(jié)果的合理性,對(duì)問題加以拓展等. 【例】利達(dá)經(jīng)銷店為某工廠代銷一種建筑材料(這里的代銷是指廠家先免費(fèi)提供貨源,待貨物售出后再進(jìn)行結(jié)算,未售出的由廠家負(fù)責(zé)處理).當(dāng)每噸售價(jià)為260元時(shí),月銷售量為45噸.該經(jīng)銷店為提高經(jīng)營利潤(rùn),準(zhǔn)備采取降價(jià)的方式進(jìn)行促銷.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn):當(dāng)每噸售價(jià)每下降10元時(shí),月銷售量就會(huì)增加7.5噸.綜合考慮各種因素,每售出一噸建筑材料共需支付廠家及其他費(fèi)用100元.設(shè)每噸材料售價(jià)為x(元),該經(jīng)銷店的月利潤(rùn)為y(元). (1)當(dāng)每噸售價(jià)是240元時(shí),計(jì)算此時(shí)的月銷售量. (2)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出x的取值范圍). (3)該經(jīng)銷店要獲得最大月利潤(rùn),售價(jià)應(yīng)定為每噸多少元? (4)小靜說:“當(dāng)月利潤(rùn)最大時(shí),月銷售額也最大.”你認(rèn)為對(duì)嗎?請(qǐng)說明理由. 【標(biāo)準(zhǔn)解答】(1)45+260-240107.5=60(噸). (2)y=(x-100)45+260-x107.5,化簡(jiǎn)得:y=-34x2+315x-24000. (3)y=-34x2+315x-24000=-34(x-210)2+9075. 利達(dá)經(jīng)銷店要獲得最大月利潤(rùn),材料的售價(jià)應(yīng)定為每噸210元. (4)小靜說的不對(duì).理由:當(dāng)月利潤(rùn)最大時(shí),x為210元,而對(duì)于月銷售額W=x45+260-x107.5=-34(x-160)2+19200來說,當(dāng)x為160元時(shí),月銷售額W最大. ∴當(dāng)x為210元時(shí),月銷售額W不是最大.∴小靜說的不對(duì). 1.某廣告公司要為客戶設(shè)計(jì)一幅周長(zhǎng)為12m的矩形廣告牌,廣告牌的設(shè)計(jì)費(fèi)為每平方米1000元. 請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)廣告牌邊長(zhǎng)的方案,使得根據(jù)這個(gè)方案所確定的廣告牌的長(zhǎng)和寬能使獲得的設(shè)計(jì)費(fèi)最多,設(shè)計(jì)費(fèi)最多為多少元? 2.九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查,得到某種運(yùn)動(dòng)服每月的銷量與售價(jià)的相關(guān)信息如表: 售價(jià)(元/件) 100 110 120 130 … 月銷量(件) 200 180 160 140 … 已知該運(yùn)動(dòng)服的進(jìn)價(jià)為每件60元,設(shè)售價(jià)為x元. (1)請(qǐng)用含x的式子表示:①銷售該運(yùn)動(dòng)服每件的利潤(rùn)是　　　　元;②月銷量是　　　　件.(直接寫出結(jié)果) (2)設(shè)銷售該運(yùn)動(dòng)服的月利潤(rùn)為y元,那么售價(jià)為多少時(shí),當(dāng)月的利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是多少? 　　6.拋物線上是否存在點(diǎn)的探究方法 　　(1)虛擬檢驗(yàn)法:欲探究拋物線是否存在滿足條件A,B的點(diǎn),先虛擬出符合條件A的點(diǎn),然后再檢驗(yàn)點(diǎn)是否滿足條件B.滿足即存在,反之不存在. 　　(2)分類探究法:欲探究拋物線上符合某條件的P點(diǎn)是否存在,可借助圖形特殊點(diǎn)位置進(jìn)行分類討論. 　　(3)求解探索法:欲探索拋物線上滿足條件A,B的點(diǎn)P是否存在,根據(jù)條件A,B列出關(guān)于P點(diǎn)坐標(biāo)的方程(組),有解則存在,反之則不存在. 【例】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象過點(diǎn)M(-2,3),頂點(diǎn)坐標(biāo)為N-1,433,且與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn). (1)求拋物線的解析式. (2)點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo). (3)在直線AC上是否存在一點(diǎn)Q,使△QBM的周長(zhǎng)最小?若存在,求出Q點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由. 【標(biāo)準(zhǔn)解答】(1)由拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為N-1,433,可設(shè)其解析式為y=a(x+1)2+433, 將M(-2,3)代入,得3=a(-2+1)2+433,解得a=-33, 故所求拋物線的解析式為 y=-33x2-233x+3. (2)∵y=-33x2-233x+3, ∴x=0時(shí),y=3,∴C(0,3). y=0時(shí),-33x2-233x+3=0,解得x=1或x=-3, ∴A(1,0),B(-3,0), ∴BC=OB2+OC2=23. 設(shè)P(-1,m),顯然PB≠PC,所以 當(dāng)CP=CB時(shí),有CP=1+(m-3)2=23,解得m=311; 當(dāng)BP=BC時(shí),有BP=(-1+3)2+m2=23,解得m=22. 綜上,當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1,3+11),(-1,3-11),(-1,22),(-1,-22). (3)由(2)知BC=23,AC=2,AB=4, 所以BC2+AC2=AB2,即BC⊥AC. 連接BC并延長(zhǎng)至B,使BC=BC,連接BM,交直線AC于點(diǎn)Q, ∵B,B關(guān)于直線AC對(duì)稱, ∴QB=QB, ∴QB+QM=QB+QM=MB, 又BM=2,所以此時(shí)△QBM的周長(zhǎng)最小. 由B(-3,0),C(0,3),易得B(3,23). 設(shè)直線MB的解析式為y=kx+n, 將M(-2,3),B(3,23)代入,得-2k+n=3,3k+n=23.解得k=35,n=735. 即直線MB的解析式為y=35x+735. 同理可求得直線AC的解析式為 y=-3x+3. 由y=35x+735,y=-3x+3解得x=-13,y=433. 即Q-13,433, 所以在直線AC上存在一點(diǎn) Q-13,433,使△QBM的周長(zhǎng)最小. 1.如圖,直線y=x+2與拋物線y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A12,52和B(4,m),點(diǎn)P是線段AB上異于A,B的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)D,交拋物線于點(diǎn)C. (1)求拋物線的解析式. (2)是否存在這樣的P點(diǎn),使線段PC的長(zhǎng)有最大值,若存在,求出這個(gè)最大值;若不存在,請(qǐng)說明理由. (3)求△PAC為直角三角形時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo). 2.如圖1,關(guān)于x的二次函數(shù)y=-x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(-3,0),點(diǎn)C(0,3),點(diǎn)D為二次函數(shù)的頂點(diǎn),DE為二次函數(shù)的對(duì)稱軸,E在x軸上. (1)求拋物線的解析式. (2)DE上是否存在點(diǎn)P到AD的距離與到x軸的距離相等,若存在求出點(diǎn)P,若不存在,請(qǐng)說明理由. (3)如圖2,DE的左側(cè)拋物線上是否存在點(diǎn)F,使2S△FBC=3S△EBC,若存在,求出點(diǎn)F的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由. 跟蹤訓(xùn)練答案解析 1.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的配方步驟 【跟蹤訓(xùn)練】 1.【解析】選C.y=-x2+2x+4=-(x-1)2+5,所以當(dāng)x=1時(shí),取得最大值5. 2.【解析】y=x2-4x+5=x2-4x+4-4+5=(x-2)2+1. 答案:(x-2)2+1 3.【解析】∵y=x2+2x=(x+1)2-1, ∴二次函數(shù)y=x2+2x的頂點(diǎn)坐標(biāo)是:(-1,-1),對(duì)稱軸是直線x=-1. 答案:(-1,-1)　x=-1 2.確定二次函數(shù)解析式的方法 【跟蹤訓(xùn)練】 1.【解析】選C.因?yàn)榇藪佄锞€的頂點(diǎn)為(0,1),向右平移1個(gè)單位,再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后的頂點(diǎn)為(1,2),所以所得拋物線為y=-2(x-1)2+2. 2.【解析】因?yàn)閽佄锞€y=x2的圖象向上平移1個(gè)單位,根據(jù)圖象移動(dòng)與關(guān)系式的變化規(guī)律可得y=x2+1. 答案:y=x2+1 3.【解析】∵點(diǎn)C在直線x=2上,且到拋物線的對(duì)稱軸的距離等于1, ∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1或x=3, 當(dāng)對(duì)稱軸為直線x=1時(shí),設(shè)拋物線解析式為y=a(x-1)2+k, 則a+k=2,9a+k=3,解得a=18,k=158. 所以,y=18(x-1)2+158=18x2-14x+2, 當(dāng)對(duì)稱軸為直線x=3時(shí),設(shè)拋物線解析式為y=a(x-3)2+k, 則9a+k=2,a+k=3,解得a=-18,k=258. 所以,y=-18(x-3)2+258=-18x2+34x+2, 綜上所述,拋物線的函數(shù)解析式為 y=18x2-14x+2或y=-18x2+34x+2. 答案:y=18x2-14x+2或y=-18x2+34x+2 4.【解析】設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c,把(0,49),(1,46),(4,25)代入函數(shù)解析式可得c=49,a+b+c=46,16a+4b+c=25.解得a=-1,b=-2,c=49. ∴函數(shù)的解析式為y=-x2-2x+49. 此函數(shù)的解析式的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)-1即為最適合的溫度. 答案:-1 3.二次函數(shù)y=ax2+bx+c中的系數(shù)值對(duì)拋物線的影響 【跟蹤訓(xùn)練】 1.【解析】選B.A.由開口向下,可得a<0;又由拋物線與y軸交于負(fù)半軸,可得c<0,然后由對(duì)稱軸在y軸右側(cè),得到b與a異號(hào),則可得b>0,故得abc>0,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;B.根據(jù)圖知對(duì)稱軸為直線x=2,即-b2a=2,得b=-4a,再根據(jù)圖象知當(dāng)x=1時(shí),y=a+b+c=a-4a+c=-3a+c<0,故本選項(xiàng)正確;C.由拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),可得b2-4ac>0,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;D.y=ax2+bx+c=ax+b2a2+4ac-b24a, ∵-b2a=2,∴原式=a(x-2)2+4ac-b24a,向左平移2個(gè)單位后所得到拋物線的解析式為y=ax2+4ac-b24a,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤. 2.【解析】選D.①∵拋物線的開口向上, ∴a>0, ∵對(duì)稱軸在y軸的左側(cè),∴b>0 ∴ab>0,故①正確; ②∵觀察圖象知, 當(dāng)x=1時(shí)y=a+b+c>0,∴②正確; ③∵拋物線的對(duì)稱軸為x=-1,與x軸交于(0,0),∴另一個(gè)交點(diǎn)為(-2,0), ∴當(dāng)-20,n>0,m≠n, 將這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式得-m2+6m+c=n①,-n2+6n+c=m②. ①-②得:n2-m2+7(m-n)=0, (n-m)(m+n-7)=0, 故可得:m+n=7,故可得n=7-m, 代入方程②得:-m2+7m+(c-7)=0. 因?yàn)榇嬖谶@樣的點(diǎn),所以上述方程有解,所以判別式b2-4ac≥0, 即72-4(-1)(c-7)≥0,故c≥-214. 而當(dāng)c=-214時(shí),m=72,此時(shí)n=72, 故c>-214. 5.二次函數(shù)解決實(shí)際問題時(shí)的方法 【跟蹤訓(xùn)練】 1.【解析】設(shè)矩形一邊長(zhǎng)為xm,面積為Sm2,則另一邊長(zhǎng)為12-2x2m, 則其面積S=x12-2x2=x(6-x)=-x2+6x,∵0<2x<12,∴00,∴當(dāng)n=94時(shí),線段PC最大且為498. (3)∵△PAC為直角三角形, (i)若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn),則∠APC=90, 由題意易知,PC∥y軸,∠APC=45,因此這種情形不存在; (ii)若點(diǎn)A為直角頂點(diǎn),則∠PAC=90, 如圖1,過點(diǎn)A12,52作AN⊥x軸于點(diǎn)N,則ON=12,AN=52,過點(diǎn)A作AM⊥直線AB,交x軸于點(diǎn)M,則由題意易知,△AMN為等腰直角三角形, ∴MN=AN=52,∴OM=ON+MN=12+52=3,∴M(3,0), 設(shè)直線AM的解析式為:y=kx+b, 則:12k+b=52,3k+b=0,解得k=-1,b=3. ∴直線AM的解析式為:y=-x+3①, 又拋物線的解析式為:y=2x2-8x+6②, 聯(lián)立①②式,解得:x=3或x=12(與點(diǎn)A重合,舍去),∴C(3,0),即點(diǎn)C,M重合. 當(dāng)x=3時(shí),y=x+2=5.∴P1(3,5). (ⅲ)若點(diǎn)C為直角頂點(diǎn),則∠ACP=90. ∵y=2x2-8x+6=2(x-2)2-2, ∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2, 如圖2,作點(diǎn)A12,52關(guān)于對(duì)稱軸x=2的對(duì)稱點(diǎn)C, 則點(diǎn)C在拋物線上,且C72,52. 當(dāng)x=72時(shí),y=x+2=112,∴P272,112. ∵點(diǎn)P1(3,5),P272,112均在線段AB上, ∴綜上所述,△PAC為直角三角形時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,5)或72,112. 2.【解析】(1)將A(-3,0),C(0,3)代入y=-x2+bx+c得:c=3,-9-3b+c=0. 解得:b=-2,c=3.∴y=-x2-2x+3. (2)存在. 當(dāng)點(diǎn)P在∠DAB的角平分線上時(shí),作PM⊥AD,設(shè)P(-1,y0),則PM=PDsin∠ADE=55(4-y0),PE=y0, ∵PM=PE,∴55(4-y0)=y0, 解得:y0=5-1, 當(dāng)點(diǎn)P在∠DAB的外角平分線上時(shí),作PN⊥AD,設(shè)P(-1,y0), 則PN=PDsin∠ADE=55(4-y0), PE=-y0, ∵PN=PE,∴55(4-y0)=-y0, 解得:y0=-5-1, ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1(-1,5-1),P2(-1,-5-1). (3)S△EBC=3又2S△BCF=3S△EBC, ∴S△BCF=92, 過F作FQ⊥x軸交BC的延長(zhǎng)線于Q, 則S△FBC=S△FBQ-S△FCQ=12FQOB=92 ∵BC的解析式為:y=-3x+3, 設(shè)F(x0,-x02-2x0+3)則Q(x0,-3x0+3) ∴-3x0+3+x02+2x0-3=9, ∴x02-x0-9=0, ∴x0=1-372,x0=1+372舍去, ∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為1-372,337-152.