八年級數(shù)學上冊 專題突破講練 三角形的內外角關系試題 （新版）青島版.doc

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三角形的內外角關系 一、三角形的內角和定理 1. 定理：三角形的內角和是180 要點：① 定理的證明根據(jù)是平行線的性質。 ② 定理的證明方法有多種，選取以下兩種方法加以掌握。 證明方法 把三個角“湊”到A處，過點A作直線PQ//BC，這樣就相當于把∠B移到了∠1的位置，把∠C移到了∠2的位置。 延長BC到D，過點C作射線CE//BA，這樣就相當于把∠Ａ移到了∠1的位置，把∠Ｂ移到了∠2的位置。 2. 推論：①直角三角形的兩個銳角互余。 ∵∠A＋∠B＋∠C＝180 又∠C＝90 ∴∠A＋∠B＝90 ∴∠A與∠B互余。 ② 等邊三角形的每一個內角都是60。 ∵∠D＋∠E＋∠F＝180，又∠D=∠E=∠F，∴3∠D＝180，∴∠D=∠E=∠F=60 定理的應用： ① 在三角形中，已知兩個內角可以求出第三個內角。 如：在△ABC中，∠C＝180－（∠A＋∠B） ② 在三角形中，已知三個內角和的比或它們之間的關系，求各內角。 如：在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C＝2：3：4，則可設∠A、∠B、∠C為2x、3x、4x，利用方程求得度數(shù)。 二、三角形的外角 1. 外角的定義：三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角。 如∠ACD與∠BCE均為外角。 2. 三角形外角的性質 （1）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角之和。 （2）三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內角。 提示：三角形每個頂點處有兩個外角，它們是對頂角，所以三角形共有六個外角。通常每個頂點處取一個外角，因此，我們常說三角形有三個外角。因為三角形的每個外角與它相鄰的內角是鄰補角，由三角形的內角和是180，可推出三角形的外角和是360。 三、三角形的外角與內角的關系 1. 三角形的一個外角與它相鄰的內角互補，如圖：∠1與∠4是鄰補角，即∠1＋∠4＝180； 2. 三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，如圖：∠1＝∠2＋∠3； 3. 三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內角，如圖：∠1>∠2，∠1>∠3。 【拓展】 兩種圖形的認識 （1）對頂三角形：有一個角是對頂角的兩個三角形。特點是：每個三角形中除對頂角外，另兩個角的和與另一個三角形中其余兩個角的和相等。如圖：∠A＋∠B＝∠D＋∠E （2）圖形的折疊：將圖形沿某條線折疊，使其一部分與圖形中某部分重合，可以形成邊、角等多個相等關系。如圖：∠1＝∠2＝∠3 方法歸納：三角形的內、外角關系的知識點應注意以下幾點： （1）實際應用中，題目中往往把∠A＋∠B＋∠C＝180這個條件隱藏，要時時注意想到這個條件。 （2）外角關系強調的是“不相鄰”三個字，不要被題目偷換概念。 （3）應用三角形的內、外角關系解題時，經(jīng)常要使用到高、角平分線，注意二者定義中，高有垂直的結論，即有角是90，角平分線的作用是將一個角平分成兩個相等的角，有角的數(shù)值存在。 （4）三角形的內角和定理和三角形的外角的性質是求角度及與角有關的推理論證時常使用的理論依據(jù)，另外，在證明角的不等關系時也常想到外角的性質。 技巧歸納：解決本部分習題時要注意幾種數(shù)學思想的應用： 方程的思想 根據(jù)角與角之間的關系求角的度數(shù)時可列方程（或方程組）求解。 如：∠A：∠B：∠C＝1：2：3，求三角形的形狀。 整體運用的思想 將待解決的問題看作一個整體，通過研究問題做整體處理后，達到解決問題的目的。 如：∠A＝40，求∠3＋∠4＋∠B＋∠C的度數(shù)。 轉化的思想 求較復雜的圖形中多個角的度數(shù)和的問題。解題的關鍵是利用有關性質把這些角集中到一個三角形中，再利用三角形內角和的性質解決。 如：求五角星的內角和問題。 總結：1. 學會綜合運用內、外角關系解決圖形的角度計算問題。 2. 將各種解題思想及方法掌握好，有利于今后幾何的學習。 例題1 如圖，將三角尺的直角頂點放在直線a上，a∥b，∠1＝50，∠2＝60，則∠3的度數(shù)為（　?。? A. 50 B. 60 C. 70 D. 80 解析：先根據(jù)三角形的內角和定理求出∠4的度數(shù)，由對頂角的性質可得出∠5的度數(shù)，再由平行線的性質即可得出結論。 答案：∵在△BCD中，∠1＝50，∠2＝60， ∴∠4＝180－∠1－∠2＝180－50－60＝70， ∴∠5＝∠4＝70， ∵a∥b， ∴∠3＝∠5＝70。 故選C。 點撥：本題考查的是平行線的性質、三角形的內角和定理。解答此類題目時往往用到三角形的內角和是180這一隱藏條件。 例題2 如圖，在△ABC中，∠ACB＝90，沿CD折疊△CBD，使點B恰好落在AC邊上的點E處。若∠A＝22，則∠BDC等于（　?。? A. 44 B. 60 C. 67 D. 77 解析：由△ABC中，∠ACB＝90，∠A＝22，可求得∠B的度數(shù)。由折疊的性質可得：∠CED＝∠B＝68，∠BDC＝∠EDC。由三角形外角的性質，可求得∠ADE的度數(shù)，繼而求得答案。 答案：在△ABC中，∠ACB＝90，∠A＝22， ∴∠B＝90－∠A＝68， 由折疊的性質可得：∠CED＝∠B＝68，∠BDC＝∠EDC， ∴∠ADE＝∠CED－∠A＝46， ∴∠BDC＝＝67。 故選C。 點撥：此題考查了折疊的性質、三角形的內角和定理以及三角形外角的性質。此題注意掌握折疊前后圖形的對應關系，以及數(shù)形結合思想的應用。 1. 幾何圖形變換的研究 幾何圖形的變換，核心內容是首圖形的證明基本思路，變換后的圖形與首圖形的總體證明方法相同。但要注意的是這種題中所蘊含的數(shù)學思想：通過變換掌握舉一反三的能力，將知識學活、用活。通過變換，提高面對試題的研讀能力，從而做到一會百會。 （1）充分分析首圖形的條件，在此基礎上將其應用到后面的圖形中； （2）在變換時，認清本質，對變換后的結果依照首圖形結論加以書寫，注意與第一個結論保持格式上的一致，避免評卷老師的誤判。 （3）注意變換后，結論的變與不變：基本規(guī)律是線段與角相等的一般來說結論都會不變，但和、差類的變換最后其結論都會發(fā)生變化。 例題 如圖所示，在△ABC中，∠A＝α，△ABC的內角平分線和外角平分線交于點P，且∠P＝β，試探求下列各圖中α與β的關系，并選擇一個加以說明。 解析：本題沒有給出具體角度，所以最后形成的將是一個關系式。主要考查角平分線的定義、三角形的內角和定理以及外角的性質，分析可知圖（1）β＝90＋α；（2）、（3）變換后圖形道理類似，但過程略有不同，可參考（1）應用的定理加以說明。 答案： 解：（1）β＝90＋α；（2）β＝α；（3）β＝90－α。 選擇（1）進行證明。 在圖（1）中，根據(jù)三角形的內角和定理可得： ∠ABC＋∠ACB＝180－∠A。 ∵BP與CP是△ABC的角平分線， ∴∠PBC＝ ∠ABC，∠PCB＝ ∠ACB， ∴∠PBC＋∠PCB＝ （∠ABC＋∠ACB）＝90－α。 在△PBC中，∠BPC＝180－（∠PCB＋∠PBC）＝180－（90－α）＝90＋α。 ∴β＝90＋ α。 2. 化歸思想及對頂三角形的應用 化歸思想是指將不同圖形中的條件轉化到同一圖形中，三角形內角和的轉化是利用有關性質把不同圖形中的角集中到一個三角形中，再利用三角形的內角和定理、外角性質進行解決。對頂三角形的其他應用包含整體應用的思想，將不同三角形的內角和整體轉化到一個圖形中，從而解決復雜圖形中的求值問題。 例題 （1）如圖①所示，線段AD、BC相交于點O，所組成的△ABO與△CDO叫做“對頂三角形”。已知∠A＝70，∠B＝25，求∠C＋∠D的度數(shù)。 （2）如圖②所示，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度數(shù)。 （3）如圖③所示，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度數(shù)。 解析：先根據(jù)對頂三角形的性質求得圖①中 ∠A＋∠B＝∠C＋∠D ＝70＋25＝95，圖②中考慮連接BC，則可將問題轉化為對頂三角形的問題，總和為180；圖③ 中圖形將三個三角形中的∠A＋∠B、∠C＋∠D、∠E＋∠F轉化到△GIH中，利用對頂三角形的性質得到2（∠GIH＋∠GHI＋∠HGI）＝360 答案：解：（1）在△ABO與△CDO中 因為 ∠A＋∠B＋∠AOB＝∠C＋∠D＋∠COD＝180 ∠AOB＝∠COD 所以∠A＋∠B＝∠C＋∠D 因為∠A＝70，∠B＝25 所以∠C＋∠D＝70＋25＝95 （2）連接BC 因為△EOD與△BOC為對頂三角形， 所以∠D＋∠E＝∠OBC＋∠OCB 所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180 （3）因為△ABG與△GIH、△EFI與△GIH、△CHD與△GIH都是對頂三角形， ∠A＋∠B＝∠GIH＋∠GHI ∠C＋∠D＝∠GIH ＋∠HGI ∠E＋∠F＝∠GHI＋∠HGI 所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝2（∠GIH＋∠GHI＋∠HGI）＝360 （答題時間：45分鐘） 一、選擇題 1. 在給定的下列條件中，不能判定三角形是直角三角形的是（　?。? A. ∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 B. ∠A＋∠B＝∠C C. ∠A＝∠B＝∠C D. ∠A＝2∠B＝3∠C 2. 已知△ABC的三個內角∠A、∠B、∠C滿足關系式∠B＋∠C＝3∠A，則此三角形中（ ） A. 一定有一個內角為45 B. 一定有一個內角為60 C. 一定是直角三角形 D. 一定是鈍角三角形 *3. 如圖，在△ABC中，∠C＝70，沿圖中虛線截去∠C，則∠1＋∠2＝（ ） A. 360 B. 250 C. 180 D. 140 *4. 已知△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點O，則∠BOC一定（ ） A. 小于直角　 B. 等于直角　 C. 大于直角　 D. 不能確定 **5. 如圖△ABC中，∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，∠ABC＝50，∠ACB＝62，則∠DFE的大小是（ ） A. 50 B. 62 C. 68 D. 70 **6. 如圖，在折紙活動中，小明制作了一張△ABC紙片，點D、E分別在邊AB、AC上，將△ABC沿著DE折疊壓平，A與A′重合，若∠A＝75，則∠1＋∠2＝（　?。? A. 150　　 B. 210　　 C. 105　　 D. 75 二、填空題 *7. 如圖，已知△ABC的∠B和∠C的外角平分線交于點D，∠A＝40，那么∠D＝________。 *8. 如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，F(xiàn)D⊥BC，DE⊥AB，∠AFD＝158， 則∠EDF ＝_________。 **9. 如圖，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點A1，∠A1BC的平分線與∠A1CD的平分線交于點A2，…，∠An－1BC的平分線與∠An－1CD的平分線交于點An。設∠A＝θ。則： （1）∠A1＝　?。唬?）∠An＝　　。 三、解答題 10. 判斷適合下列條件的△ABC是銳角三角形、直角三角形還是鈍角三角形？ （1）∠A＝20，∠B＝75； （2）∠A－∠B＝30，∠B－∠C＝30； （3）∠A＝∠B＝∠C *11. 一個零件的形狀如圖，按規(guī)定∠A應等于90，∠B、∠D應分別是20和30，李叔叔量得∠BCD＝142就判定這個零件不合格，你能說出道理嗎? *12. 如圖，已知在△ABC中，∠B＝70，∠BAC︰∠BCA＝3︰2，CD⊥AD于D，且∠ACD＝35，求∠BAE的度數(shù)。 *13. 如圖，點C為Rt△ABE的邊AE延長線上的一點，BE⊥AC，點D為邊AB上一點，DC交BE于點F，已知∠ADC＝80，∠B＝35，求∠C的度數(shù)。 **14. 如圖所示，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠C＝32，∠D＝28， （1）求∠P的度數(shù)。 （2）請推斷∠P與∠C、∠D的關系。 **15. 已知△ABC中，∠BAC＝100。 （1）若∠ABC和∠ACB的平分線交于點O，如圖①所示，試求∠BOC的大?。? （2）若∠ABC和∠ACB的三等分線（即將一個角平均分成三等份的射線）相交于O、O1，如圖②所示，試求∠BOC的大??； （3）以此類推，若∠ABC和∠ACB的n等分線自下而上依次相交于O、O1、O2、……，如圖③所示，試探求∠BOC的大小與n的關系，并判斷當∠BOC＝170時，是幾等分線的交線所成的角。  1. C 解析：利用比例設方程，A、B、D中都有直角，C選項中三角相等則每一角為60，則選C。 2. A 解析：題目中隱含的條件為∠A＋∠B＋∠C＝180，將∠B＋∠C＝3∠A代入，則可知∠A＝45。 3. B 解析：利用整體運用的思想，∠C＝70，則∠1、∠2外角的和為110，∠1＋∠2＝360－110＝250。 4. C 解析：∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝180，∠ABC＋∠ACB＝180－∠BAC，∠ABC和∠ACB的平分線交于點O，則∠BOC＝180－（180－∠BAC）＝90＋∠BAC，所以選C。 5. C 解析：因為∠DFE＝∠ACF＋∠CAF，∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，所以∠DFE＝∠BAC，因為∠ABC＝50，∠ACB＝62，則∠BAC＝180－50－62＝68。 6. A 解析：連接A A′，根據(jù)三角形外角的性質，∠1＋∠2＝2∠A，所以∠1＋∠2＝150。 7. 70 解析：因為∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180，∠A＝40，所以∠ABC＋∠ACB＝140，所以∠ABC與∠ACB的外角和 ＝360－140＝220，因為CD、BD是角平分線，所以∠BCD＋∠CBD＝110，所以∠D＝70。 8. 68 解析：因為∠AFD＝158，所以∠CFD＝22，因為FD⊥BC，所以∠C＝68，又因為∠B＝∠C，所以∠B＝68，因為DE⊥AB，所以∠BDE＝22，所以∠EDF＝180－90－22＝68。 9. （1），（2） 解析：（1）∵A1B是∠ABC的平分線，A2B是∠A1BC的平分線， ∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，又∵∠ACD＝∠A＋∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC＋∠A1， ∴∠A＋∠ABC＝2（∠A1BC＋∠A1），∴∠A1＝∠A，∵∠A＝θ，∴∠A1＝； （2）同理可得∠A2＝∠A1 ＝ ，所以∠An＝。 10. 解：（1）因為∠C＝180－∠A－∠B，∠A＝20，∠B＝75；所以∠C＝180－∠A－∠B＝180－20－75＝85，所以三角形為銳角三角形。 （2）因為∠A－∠B＝30，∠B－∠C＝30，所以∠A＝30＋∠B，∠C＝∠B－30，因為∠A＋∠B＋∠C＝180，所以30＋∠B＋∠B＋∠B－30＝180，所以∠B＝60，∠A＝90，∠C＝30，所以此三角形為直角三角形。 （3）因為∠A＝∠B＝∠C，所以設∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝6x，因為∠A＋∠B＋∠C＝180，所以x＋2x＋6x＝180，所以x＝20，所以6x＝120，所以該三角形為鈍角三角形。 11. 解：這個零件不合格。道理如下： 延長DC交AB與點E，因為∠DEB為△ADE的外角，所以∠DEB＝∠A＋∠D，因為∠DCB為△BEC外角，所以∠DCB＝∠CEB＋∠B，因為∠A應等于90，∠B、∠D應分別是20和30，所以∠BCD＝140，所以這個零件不合格。 12. 解： ∵ ∠B＝70 （已知） ∴ ∠BAC＋∠BCA＝110 ∵ ∠BAC：∠BCA＝3：2（已知） ∴ ∠BAC＝110/53＝66 ∠BCA＝110/52＝44 ∵ CD⊥AD（已知） ∴ ∠ADC＝90 又∵∠ACD＝35（已知） ∴∠DAC＝180－∠ADC－∠ACD＝55 ∴∠BAE＝180－∠DAC－∠BAC＝180－55－66＝59 13. 解：因為BE⊥AC，所以∠AEB＝90，因為∠B＝35，所以∠A＝180－90－35＝55，因為∠ADC＝80，所以∠C＝180－∠ADC－∠A＝180－80－55＝45。 14. 解：（1）因為∠1、∠C和∠3、∠P是對頂三角形中的兩對角 所以，∠1＋∠C＝∠3＋∠P； 因為∠4、∠D和∠2、∠P是對頂三角形中的兩對角 所以，∠4＋∠D＝∠2＋∠P 所以∠1＋∠C＋∠4＋∠D＝∠3＋∠P＋∠2＋∠P 又因為∠1＝∠2、∠3＝∠4、∠C＝32、∠D＝28得到 32＋28＝2∠P 所以∠P＝30 （2）同理：∠P＝。 15. 解：∵∠BAC＝100， ∴∠ABC＋∠ACB＝80， （1）∵點O是∠ABC與∠ACB的角平分線的交點， ∴∠OBC＋∠OCB＝40， ∴∠BOC＝140。 （2）∵點O是∠ABC與∠ACB的三等分線的交點， ∴∠OBC＋∠OCB＝ ∴∠BOC＝ （3）∵點O是∠ABC與∠ACB的n等分線的交點， ∴∠OBC＋∠OCB＝∴∠BOC＝180－ 當∠BOC＝170時，是八等分線的交線所成的角。