2019年高中數(shù)學 2.2 幾種常見的平面變換綜合檢測 蘇教版選修4-2.doc

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2019年高中數(shù)學 2.2 幾種常見的平面變換綜合檢測 蘇教版選修4-2 1．在平面直角坐標系xOy中，設橢圓4x2＋y2＝1在矩陣A＝對應的變換下得到曲線F，求F的方程． 【解】　設P(x0，y0)是橢圓上任意一點，點P(x0，y0)在矩陣A對應的變換下變?yōu)辄cP′(x′0，y′0)， 則＝＝， 即∴ 又∵點P在橢圓上，代入得 ＋y′＝1， 即x2＋y2＝1. ∴曲線F的方程為x2＋y2＝1. 2．若點A在矩陣M＝對應的變換作用下得到點為B(1,0)，求α的值． 【解】　由題意知＝， 所以 解得 從而可知，α＝2kπ－，(k∈Z)． 3．已知直線l與直線3x＋5y＋6＝0平行，且過點(5,6)，求矩陣將直線l變成了什么圖形？并寫出方程． 【解】　由已知得直線l的方程為3x＋5y－45＝0，設P(x，y)為l上的任意一點，點P在矩陣對應的變換下對應點P′(x′，y′)． 則＝＝， ∴∴代入3x＋5y－45＝0， 得3x′＋25y′－45＝0， ∴直線l變換成直線3x＋25y－45＝0. 4．求直線y＝2x在矩陣確定的變換作用下得到的圖形的表達式． 【解】　設點(x，y)為直線y＝2x上的任意一點，其在矩陣確定的變換作用下得到的點為(x′，y′)，則→＝＝，即所以將其代入y＝2x，并整理得2x′－7y′＝0，所以直線y＝2x在矩陣確定的變換作用下得到的圖形的表達式是2x－7y＝0. 5．切變變換矩陣把直線x＋y＝1變成什么幾何圖形？ 【解】　設P(x，y)在該變換下的象為P′(x′，y′)，則 ＝＝＝，故所以切變變換矩陣把直線x＋y＝1變成與y軸平行的直線x＝1. 6．若曲線x2＋4xy＋2y2＝1在矩陣M＝的作用下變換成曲線x2－2y2＝1，求a、b的值． 【解】　設(x，y)為曲線x2＋4xy＋2y2＝1上的任意一點，其在矩陣M的作用下變換成點(x′，y′)，則(x′，y′)在曲線x2－2y2＝1上，＝＝，即將其代入x2－2y2＝1，并整理，得(1－2b2)x2＋(2a－4b)xy＋(a2－2)y2＝1，比較系數(shù)得解得 7．點(2,2x)在旋轉變換矩陣的作用下得到點(y,4)，求x，y，m，n. 【解】　因為矩陣是旋轉變換矩陣， 所以m＝－，n＝. 由題意知＝， 所以解得 8．二階矩陣M對應的變換T將點(1，－1)，(－2,1)均變?yōu)辄c(1,1)． (1)求矩陣M； (2)直線l：2x＋3y＋1＝0在變換T作用下得到什么圖形？說明理由． 【解】　(1)設M＝，則由題設得 ＝，且＝， 即解得 所以M＝. (2)設P(x，y)是l：2x＋3y＋1＝0上任一點P′(x′，y′)是對應的點，則由 ＝＝， 得即2x＋3y＝－x′＝－y′. 又2x＋3y＋1＝0，所以x′＝y(tǒng)′＝1. 故在l在變換T作用下變?yōu)辄c(1,1)． 9．求直線y＝－2x＋1繞原點逆時針旋轉45后所得的直線方程． 【解】?。? 設直線y＝－2x＋1上任意一點為(x0，y0)，其在旋轉變換作用下得到點(x′0，y′0)，則＝， 即 解得 因為點(x0，y0)在直線y＝－2x＋1上，所以2x0＋y0－1＝0，所以2(x′0＋y′0)－(x′0－y′0)－1＝0，整理得x′0＋y′0－1＝0. 所以直線y＝－2x＋1繞原點逆時針旋轉45后所得的直線的方程是x＋y－1＝0. 10．如圖所示的是一個含有60角的菱形ABCD，要使只變換其四個頂點中的兩個頂點后，菱形變?yōu)檎叫危蟠俗儞Q對應的變換矩陣M.該變換矩陣惟一嗎？若不惟一，寫出所有滿足條件的變換矩陣． 【解】　由題設知AC∶BD＝∶1.若只變換A，C兩個頂點，則應把A，C兩個頂點的橫坐標壓縮為原來的，縱坐標不變，于是變換矩陣為M＝；若只變換B，D兩個頂點，則應把B，D兩個頂點的縱坐標伸長為原來的倍，橫坐標不變，于是變換矩陣為M＝.所以滿足條件的變換矩陣M為或.