2019-2020年高考數(shù)學一輪復習 第十章 圓錐曲線 第67課 軌跡方程的求法 文（含解析）.doc

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2019-2020年高考數(shù)學一輪復習 第十章 圓錐曲線 第67課 軌跡方程的求法 文（含解析） 1．直接法：直接利用條件建立、之間的關系，然后化簡整理． 【例1】已知動點到點與點的斜率之積為，點的軌跡為曲線． (1)求曲線的方程； (2)若點為曲線上的一點，直線，與直線分別交于、兩點．求線段長度的最小值． 【解析】（1）設，由題意知， ∴， 化簡得曲線方程為． （2）滿足題意的直線的斜率顯然存在且不為零，設其方程為， 由（1）知，∴可設直線方程為， 當時得點坐標為，易求點坐標為 ∴=， 當且僅當時，等號成立，∴線段長度的最小值． 2．定義法：若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義，就用定義直接探求． 【例2】已知動圓過定點，且與圓相外切， 求動圓圓心的軌跡方程． 【解析】依題意，， 說明點到定點的距離的差為定值， ∴動點的軌跡是雙曲線的一支， ∵，∴． ∵，∴． ∴ 動圓圓心的軌跡方程是． 3．代入法：動點依賴于另一動點，而又在某已知曲線上，則可先列出關于的方程組，利用表示出，把代入已知曲線方程便得動點的軌跡方程． 【例3】圓：，點為圓上一點，點的坐標為．當點在圓上運動時，求線段的中點的軌跡方程． 【解析】設， ∵為線段的中點，∴， ∴，又∵點在圓上，∴， ∴，即，∴點的軌跡方程為． 4．消參法：如果動點的橫、縱坐標之間的關系不易找到，可先考慮將用一個中間變量（參數(shù)）來表示，然后消去參數(shù)就得動點的軌跡方程． 例4：已知線段，直線垂直平分于，在上取兩點，使其滿足，求直線與的交點的軌跡方程． 解：如圖2，以線段所在直線為軸，以線段的中垂線為軸建立直角坐標系． 設點， 則由題意，得． 由點斜式得直線的方程分別為． 兩式相乘，消去，得．這就是所求點M的軌跡方程． 5.綜合問題 【例5】（xx年高考）已知橢圓的一個焦點為，離心率為.（1）求橢圓的標準方程； （2）若動點為橢圓外一點，且點到橢圓的兩條切線相互垂直，求點的軌跡方程. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由題意知， 而，即，解得， 因此橢圓的標準方程為； （2）①設從點所引的直線的方程為，即， 當從點所引的橢圓的兩條切線的斜率都存在時，分別設為、，則， 將直線的方程代入橢圓的方程并化簡得， ， 化簡得，即， 則、是關于的一元二次方程的兩根，則，化簡得； ②當從點所引的兩條切線均與坐標軸垂直，則的坐標為，此時點也在圓上. 綜上所述，點的軌跡方程為. 第67課 軌跡方程的求法課后作業(yè) 1．已知點、，動點滿足，則點的軌跡是（ ） A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線 【答案】D 【解析】∵，， ∴ ， ∴ ，∴所求的軌跡是拋物線． 2．已知兩定點，如果動點滿足，則點的軌跡所包圍的圖形的面積等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】設，則由， 得， ∴，∴ 所求的面積是． 3. 已知兩定點，且是和的等差中項，則點的軌跡是（ ） A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線 【答案】B 【解析】∵， ∴ 由橢圓的定義可知所求的軌跡是橢圓． 4.點與圓上任一點連結的線段的中點的軌跡方程為（ ） A． B. C. D. 【答案】 A 【解析】設圓上的點為，的中點為，則 的中點為， 所以，即，選A 5．（xx門頭溝一模）點是以，為焦點的橢圓上的一點，過焦點作的外角平分線的垂線，垂足為點，則點的軌跡是（ ） A．拋物線 B．橢圓 C．雙曲線 D．圓 【答案】D 【解析】設橢圓的長半軸為， 與交于點，如圖：∵為的外角平分線， ∴為的中點，且， ∵為的中點，∴， ∴點的軌跡是為圓心，半徑為的圓． 6.實數(shù)變量，滿足，則坐標表示的點的軌跡是（ ） A．拋物線 B．橢圓 C．雙曲線的一支 D．拋物線的一部分 【答案】 A 【解析】設，，則，消去得， 即，而，，選D 7.動點到點的距離比它到直線的距離大，則點的軌跡方程為 ______ _ ． 【答案】 【解析】由已知，得動點到點的距離與它到直線的距離相等，所以動點 的軌跡是以為焦點，以直線為準線的拋物線，設其方程為， 則，即，點的軌跡方程為 8. 已知中、，的周長為， （1）頂點的軌跡是什么圖形？（2）求頂點的軌跡方程 【解析】（1）由已知，得，的周長為， 而，且、、三點不共線 所以頂點的軌跡是以、為焦點以為長軸長的橢圓（除去與軸的兩個交點） （2）由（1），設頂點的軌跡方程為，則 ,,,, 所以頂點的軌跡方程為 9．一動圓圓與圓外切，求動圓圓心的軌跡方程，并說明它是什么樣的曲線。 【解析】，， ，，，， 設動圓半徑為，則有 由②－①，得，而， 所以圓心的軌跡以、為焦點，以實軸長為的雙曲線的左支 設其方程為，則 ，，，， 所以動圓圓心的軌跡方程為 10.（xx全國高考）在平面直角坐標系中，己知圓在軸上截得線段長為， 在軸上截得線段長為. （1）求圓心的軌跡方程；（2）若點到直線的距離為，求圓的方程. 【解析】（1）設，圓的半徑為， 由題意可得， ∴，∴圓心的軌跡方程為. （2）設，由已知得， 又點在雙曲線上， ∴，由，得， 此時，圓的半徑為．由，得，此時，圓的半徑為． ∴圓的方程為，或.