2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 圓錐曲線 第67課 軌跡方程的求法 文（含解析）.doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 圓錐曲線 第67課 軌跡方程的求法 文（含解析） 1．直接法：直接利用條件建立、之間的關(guān)系，然后化簡(jiǎn)整理． 【例1】已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)與點(diǎn)的斜率之積為，點(diǎn)的軌跡為曲線． (1)求曲線的方程； (2)若點(diǎn)為曲線上的一點(diǎn)，直線，與直線分別交于、兩點(diǎn)．求線段長(zhǎng)度的最小值． 【解析】（1）設(shè)，由題意知， ∴， 化簡(jiǎn)得曲線方程為． （2）滿足題意的直線的斜率顯然存在且不為零，設(shè)其方程為， 由（1）知，∴可設(shè)直線方程為， 當(dāng)時(shí)得點(diǎn)坐標(biāo)為，易求點(diǎn)坐標(biāo)為 ∴=， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，∴線段長(zhǎng)度的最小值． 2．定義法：若動(dòng)點(diǎn)軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義，就用定義直接探求． 【例2】已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且與圓相外切， 求動(dòng)圓圓心的軌跡方程． 【解析】依題意，， 說(shuō)明點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的差為定值， ∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支， ∵，∴． ∵，∴． ∴ 動(dòng)圓圓心的軌跡方程是． 3．代入法：動(dòng)點(diǎn)依賴于另一動(dòng)點(diǎn)，而又在某已知曲線上，則可先列出關(guān)于的方程組，利用表示出，把代入已知曲線方程便得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程． 【例3】圓：，點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程． 【解析】設(shè)， ∵為線段的中點(diǎn)，∴， ∴，又∵點(diǎn)在圓上，∴， ∴，即，∴點(diǎn)的軌跡方程為． 4．消參法：如果動(dòng)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系不易找到，可先考慮將用一個(gè)中間變量（參數(shù)）來(lái)表示，然后消去參數(shù)就得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程． 例4：已知線段，直線垂直平分于，在上取兩點(diǎn)，使其滿足，求直線與的交點(diǎn)的軌跡方程． 解：如圖2，以線段所在直線為軸，以線段的中垂線為軸建立直角坐標(biāo)系． 設(shè)點(diǎn)， 則由題意，得． 由點(diǎn)斜式得直線的方程分別為． 兩式相乘，消去，得．這就是所求點(diǎn)M的軌跡方程． 5.綜合問(wèn)題 【例5】（xx年高考）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）若動(dòng)點(diǎn)為橢圓外一點(diǎn)，且點(diǎn)到橢圓的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)的軌跡方程. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由題意知， 而，即，解得， 因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為； （2）①設(shè)從點(diǎn)所引的直線的方程為，即， 當(dāng)從點(diǎn)所引的橢圓的兩條切線的斜率都存在時(shí)，分別設(shè)為、，則， 將直線的方程代入橢圓的方程并化簡(jiǎn)得， ， 化簡(jiǎn)得，即， 則、是關(guān)于的一元二次方程的兩根，則，化簡(jiǎn)得； ②當(dāng)從點(diǎn)所引的兩條切線均與坐標(biāo)軸垂直，則的坐標(biāo)為，此時(shí)點(diǎn)也在圓上. 綜上所述，點(diǎn)的軌跡方程為. 第67課 軌跡方程的求法課后作業(yè) 1．已知點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是（ ） A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線 【答案】D 【解析】∵，， ∴ ， ∴ ，∴所求的軌跡是拋物線． 2．已知兩定點(diǎn)，如果動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡所包圍的圖形的面積等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】設(shè)，則由， 得， ∴，∴ 所求的面積是． 3. 已知兩定點(diǎn)，且是和的等差中項(xiàng)，則點(diǎn)的軌跡是（ ） A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線 【答案】B 【解析】∵， ∴ 由橢圓的定義可知所求的軌跡是橢圓． 4.點(diǎn)與圓上任一點(diǎn)連結(jié)的線段的中點(diǎn)的軌跡方程為（ ） A． B. C. D. 【答案】 A 【解析】設(shè)圓上的點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，則 的中點(diǎn)為， 所以，即，選A 5．（xx門頭溝一模）點(diǎn)是以，為焦點(diǎn)的橢圓上的一點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)作的外角平分線的垂線，垂足為點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡是（ ） A．拋物線 B．橢圓 C．雙曲線 D．圓 【答案】D 【解析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為， 與交于點(diǎn)，如圖：∵為的外角平分線， ∴為的中點(diǎn)，且， ∵為的中點(diǎn)，∴， ∴點(diǎn)的軌跡是為圓心，半徑為的圓． 6.實(shí)數(shù)變量，滿足，則坐標(biāo)表示的點(diǎn)的軌跡是（ ） A．拋物線 B．橢圓 C．雙曲線的一支 D．拋物線的一部分 【答案】 A 【解析】設(shè)，，則，消去得， 即，而，，選D 7.動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離大，則點(diǎn)的軌跡方程為 ______ _ ． 【答案】 【解析】由已知，得動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離相等，所以動(dòng)點(diǎn) 的軌跡是以為焦點(diǎn)，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，設(shè)其方程為， 則，即，點(diǎn)的軌跡方程為 8. 已知中、，的周長(zhǎng)為， （1）頂點(diǎn)的軌跡是什么圖形？（2）求頂點(diǎn)的軌跡方程 【解析】（1）由已知，得，的周長(zhǎng)為， 而，且、、三點(diǎn)不共線 所以頂點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)以為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓（除去與軸的兩個(gè)交點(diǎn)） （2）由（1），設(shè)頂點(diǎn)的軌跡方程為，則 ,,,, 所以頂點(diǎn)的軌跡方程為 9．一動(dòng)圓圓與圓外切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程，并說(shuō)明它是什么樣的曲線。 【解析】，， ，，，， 設(shè)動(dòng)圓半徑為，則有 由②－①，得，而， 所以圓心的軌跡以、為焦點(diǎn)，以實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線的左支 設(shè)其方程為，則 ，，，， 所以動(dòng)圓圓心的軌跡方程為 10.（xx全國(guó)高考）在平面直角坐標(biāo)系中，己知圓在軸上截得線段長(zhǎng)為， 在軸上截得線段長(zhǎng)為. （1）求圓心的軌跡方程；（2）若點(diǎn)到直線的距離為，求圓的方程. 【解析】（1）設(shè)，圓的半徑為， 由題意可得， ∴，∴圓心的軌跡方程為. （2）設(shè)，由已知得， 又點(diǎn)在雙曲線上， ∴，由，得， 此時(shí)，圓的半徑為．由，得，此時(shí)，圓的半徑為． ∴圓的方程為，或.