2019年高中數(shù)學(xué) 2.4 逆變換與逆矩陣綜合檢測 蘇教版選修4-2.doc

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2019年高中數(shù)學(xué) 2.4 逆變換與逆矩陣綜合檢測 蘇教版選修4-2 1．求下列矩陣的逆矩陣． (1)A＝；(2)B＝. 【解】　法一　(1)∵|A|＝13－2＝1， ∴A－1＝. (2)∵|B|＝25－43＝－2， ∴B－1＝. 法二　(1)設(shè)A－1＝，則AA－1＝E， 即＝＝， ∴∴∴A－1＝. 同理求出B－1＝. 2．試從代數(shù)和幾何角度分別求矩陣的乘積 的逆矩陣． 【解】　代數(shù)角度：＝，＝－1，∴－1＝， ∴()－1＝. 幾何角度：矩陣對應(yīng)的變換是縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)按縱坐標(biāo)比例增加，即(x，y)→(x＋2y，y)，又切變變換的逆變換為切變變換． ∴該切變變換的逆變換是縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)按縱坐標(biāo)比例減小，即(x，y)→(x－2y，y)，故－1＝.矩陣對應(yīng)的變換為關(guān)于直線y＝x的反射變換，其逆變換為其本身， 故－1＝. ∴()－1＝－1－1＝＝. 3．已知A＝，求A－1. 【解】　－1＝， －1＝， ∴A－1＝－1－1 ＝＝. 4．用矩陣方法求二元一次方程組的解． 【解】　方程組可寫為： ＝， 令M＝， 則det(M)＝21－3(－5)＝17， ∴M－1＝， 所以＝M－1＝，即方程組的解為 5．設(shè)A＝，B＝. (1)計(jì)算det(A)，det(B)； (2)判斷矩陣AB是否可逆，若可逆，求其逆矩陣，若不可逆，說明理由． 【解】(1)det(A)＝13－2(－2)＝7， det(B)＝14－22＝0. (2)矩陣AB不可逆．理由如下： AB＝＝，det(AB)＝0， ∴AB不可逆． 6．利用行列式求M＝的逆矩陣． 【解】　設(shè)矩陣M＝的逆矩陣N＝， 由MN＝E得＝， 即＝， 故 先將a，c看成未知數(shù)， 則D＝＝－3， Da＝＝1，Dc＝＝－2， 所以a＝－，c＝， 同理可得b＝，d＝－， 故所求的逆矩陣為. 7．已知矩陣M＝所對應(yīng)的線性變換把點(diǎn)A(x，y)變成點(diǎn)A′(13,5)，試求M的逆矩陣及點(diǎn)A的坐標(biāo)． 【解】　依題意，得det(M)＝＝2(－1)－1(－3)＝1， 故M－1＝， 從而由＝， 得＝M－1 ＝ ＝＝， 故 即A(2，－3)為所求． 8．m為何值時，二元一次方程組 ＝m有惟一解？ 【解】　二元一次方程組即為 即 即＝. ∵ ＝(－1－2m)(m＋3)＋2(7－m) ＝－2m2－9m＋11， 令－2m2－9m＋11＝0， 得m＝1或m＝－， ∴當(dāng)m≠1或m≠－時，方程組有惟一解． 9．已知A＝，B＝，求圓x2＋y2＝1在(AB)－1變換作用下的圖形的方程． 【解】　(AB)－1＝B－1A－1＝－1－1＝＝. 設(shè)圓x2＋y2＝1上任一點(diǎn)P′(x′，y′)在(AB)－1作用下的點(diǎn)為P(x，y)，則＝， 即＝－1＝， 所以 因?yàn)辄c(diǎn)P′(x′，y′)在圓x2＋y2＝1上，所以2＋2＝1，化簡得4x2＋y2＝1. 10．設(shè)a，b∈R，若矩陣A＝，把直線l：2x＋y－7＝0變換為另一直線l′：9x＋y－91＝0，求矩陣A的逆矩陣． 【解】　設(shè)P(x，y)為直線2x＋y－7＝0上任意一點(diǎn)，則其對應(yīng)點(diǎn)P′(x′，y′)，且滿足＝＝， 即 ∵P′在直線l′： 9x＋y－91＝0上， ∴9ax－x＋by－91＝0， 即(9a－1)x＋by－91＝0. ∵＝＝＝13， ∴b＝13，a＝3， ∴A＝. ∵det(A)＝133－(－1)0＝39， ∴A－1＝＝.