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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 課時作業(yè)3 余弦定理 新人教版必修5
1．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sinBsinC＋sin2C，則A等于( )
A．30 B．60
C．120 D．150
答案 C
解析 由正弦定理，得a2＝b2＋bc＋c2，由余弦定理，得cosA＝＝＝－.∴A＝120.
2．若a，b，c是△ABC的三邊，且>1，則△ABC一定是( )
A．直角三角形 B．等邊三角形
C．銳角三角形 D．鈍角三角形
答案 D
解析 ∵>1，即a2＋b2
0)，顯然c邊最大．
∴cosC＝＝＝－.
∴C＝120，∴其外角為60.
7．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c.若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，則角B的值為( )
A. B.
C.或 D.或
答案 D
解析 本題考查邊角關(guān)系中余弦定理的應(yīng)用．解斜三角形問題的關(guān)鍵是充分挖掘題中邊角特征，選擇合理的定理求解．因此(a2＋c2－b2)tanB＝ac，所以由余弦定理cosB＝，得sinB＝，選D.
8．在△ABC中，已知acosA＋bcosB＝ccosC，則△ABC是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等邊三角形
答案 B
解析 由acosA＋bcosB＝ccosC，得
a＋b＝c，
化簡得a4＋2a2b2＋b4＝c4，即(a2＋b2)2＝c4.
∴a2＋b2＝c2或a2＋b2＝－c2(舍去)．
故△ABC是直角三角形．
9．若將直角三角形的三邊增加同樣的長度，則新三角形的形狀是( )
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．由增加的長度確定
答案 A
10．在△ABC中，已知a＝2，b＝4，C＝60，則A＝________.
答案 30
11．(xx湖北)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，則角C＝________.
答案
解析 ∵由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，整理可得，a2＋b2－c2＝－ab，∴cosC＝＝＝－，∴C＝.
12．已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C，B＝且AB＝1，BC＝4，則邊BC上的中線AD的長為________．
答案
解析 在△ABD中，B＝，BD＝2，AB＝1，
則AD2＝AB2＋BD2－2ABBDcos＝3.
所以AD＝.
13．在△ABC中，三個角A，B，C的對邊邊長分別為a＝3，b＝4，c＝6，則bccosA＋cacosB＋abcosC的值為________．
答案
解析 由余弦定理可得bccosA＋cacosB＋abcosC＝＋＋＝＝＝.
14．在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，已知b2＝ac，且a2－c2＝ac－bc，求∠A的大小及的值．
解析 ∵b2＝ac，又a2－c2＝ac－bc，∴b2＋c2－a2＝bc.
在△ABC中，由余弦定理，得
cosA＝＝＝，∴∠A＝60.
在△ABC中，由正弦定理，得sinB＝.
∵b2＝ac，∠A＝60，∴＝＝sin60＝.
故∠A＝60，的值為.
15．已知銳角三角形ABC中，邊a、b是方程x2－2x＋2＝0的兩根，角A、B滿足2sin(A＋B)－＝0，求角C的度數(shù)，邊c的長度及△ABC的面積．
解析 由2sin(A＋B)－＝0，得sin(A＋B)＝.
∵△ABC為銳角三角形，∴A＋B＝120，∴C＝60.
∵a、b是方程x2－2x＋2＝0的兩個根，
∴a＋b＝2，ab＝2.
∴c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab＝12－6＝6.
∴c＝，S△ABC＝absinC＝2＝.
?重點班選作題
16．設(shè)△ABC三邊長分別為15,19,23，現(xiàn)將三邊長各減去x后，得一鈍角三角形，則x的范圍為________．
答案 (3,11)
解析 由兩邊之和大于第三邊，得
15－x＋19－x>23－x，∴x<11. ?、?
又因得到的三角形為鈍角三角形，
∴(15－x)2＋(19－x)2<(23－x)2.
即x2－22x＋57<0，(x－3)(x－19)<0,3
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