2019-2020年高中數學 要點講解 回歸分析 北師大版選修2-3.doc

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2019-2020年高中數學 要點講解 回歸分析 北師大版選修2-3 １．回歸直線： 如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫作回歸直線. 求回歸直線方程的一般步驟：作出散點圖（由樣本點是否呈條狀分布來判斷兩個量是否具有線性相關關系），若存在線性相關關系→②求回歸系數 →③寫出回歸直線方程 ，并利用回歸直線方程進行預測說明. 2.回歸分析：對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法. 建立回歸模型的基本步驟是： ①確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量，哪個變量是預報變量； ②畫好確定好的解釋變量和預報變量的散點圖，觀察它們之間的關系（線性關系）. ③由經驗確定回歸方程的類型. ④按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數 （最小二乘法）； ⑤得出結論后在分析殘差圖是否異常，若存在異常，則檢驗數據是否有誤，后模型是否合適等. 3.利用統(tǒng)計方法解決實際問題的基本步驟： ①提出問題； ②收集數據； ③分析整理數據； ④進行預測或決策. 4.殘差變量e 的主要來源： ①用線性回歸模型近似真實模型（真實模型是客觀存在的，通常我們并不知道真實模型到底是什么）所引起的誤差.可能存在非線性的函數能夠更好地描述y 與x 之間的關系，但是現(xiàn)在卻用線性函數來表述這種關系，結果就會產生誤差.這種由于模型近似所引起的誤差包含在e 中. ②忽略了某些因素的影響.影響變量y 的因素不只變量x 一個，可能還包含其他許多因素（例如在描述身高和體重關系的模型中，體重不僅受身高的影響，還會受遺傳基因、飲食習慣、生長環(huán)境等其他因素的影響），但通常它們每一個因素的影響可能都是比較小的，它們的影響都體現(xiàn)在e 中. ③觀測誤差.由于測量工具等原因，得到的y 的觀測值一般是有誤差的（比如一個人的體重是確定的數，不同的秤可能會得到不同的觀測值，它們與真實值之間存在誤差），這樣的誤差也包含在e 中.上面三項誤差越小，說明我們的回歸模型的擬合效果越好. 名師要點解析 例1研究某灌溉渠道水的流速 與水深 之間的關系，測得一組數據如下： 水深x/m 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00 2.10 流速y/(m/s) 1.70 1.79 1.88 1.95 2.03 2.10 2.16 2.21 （1）求y對x的回歸直線方程； （2）預測水深為1.95m時水的流速是多少？ 【分析】 本題考查如何求回歸直線的方程，可先把有關數據用散點圖表示出來，若這些點大致分布在通過散點圖中心的一條直線附近，說明這兩個變量線性相關，從而可利用我們學過的最小二乘估計思想及計算公式求得線性回歸直線方程. 【解】 （1）由于問題中要求根據水深預報水的流速，因此選取水深為解釋變量，流速為預報變量，作散點圖： 由圖容易看出，x與y之間有近似的線性關系，或者說，可以用一個回歸直線方程 來反映這種關系.由計算器求得 . 對x的回歸直線方程為 . （2）由（1）中求出的回歸直線方程，把x=1.95代入，易得 . 計算結果表示，當水深為1.95m,時可以預測渠水的流速為2.12m/s. 【點評】建立回歸模型的一般步驟： （1）確定研究對象，明確兩個變量即解釋變量和預報變量； （2）畫出散點圖，觀察它們之間的關系； （3）由經驗確定回歸方程類型（若呈線性關系，選用線性回歸方程）； （4）按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數（如最小二乘法）； （5）得出結果后分析殘差圖是否有異常（個別數據對應殘差過大，或殘差出現(xiàn)不隨機的規(guī)律性，等等），若存在異常，則檢查數據是否有誤，或模型是否合適等. 例2電容器充電后，電壓達到 ,然后開始放電，由經驗知道，此后電壓 隨時間 變化的規(guī)律公式 表示，觀測得時間 時的電壓 如下表所示： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 75 55 40 30 20 15 10 10 5 5 試求電壓 對時間 的回歸方程. 【分析】由于兩個變量不呈線性相關關系，所以不能直接利用線性回歸方程來建立兩個變量之間的關系，我們可通過對數變換把指數關系變?yōu)榫€性關系，通過線性回歸模型來建立 與 之間的非線性回歸方程. 【解】對 兩邊取自然對數得 　　 ，令 ,即.　 由所給數據可得 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.6 4.3 4.0 3.9 3.4 2.9 2.7 2.3 2.3 1.6 1.6 其散點圖為： 由散點圖可知 與 具有線性相關關系，可用 來表示.經計算得： （最小二乘法），　　 ，　　即 .所以， . 【點評】一般地，有些非線性回歸模型通過變換可以轉化為線性回歸模型，即借助于線性回歸模型研究呈非線性回歸關系的兩個變量之間的關系： （1）如果散點圖中的點分布在一個直線狀帶形區(qū)域，可以選用線性回歸模型來建模； （2）如果散點圖中的點的分布在一個曲線狀帶形區(qū)域，要先對變量作適當的變換，再利用線性回歸模型來建模.