2019-2020年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次段考試題 理(II).doc

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2019-2020年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次段考試題 理(II) 一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。） 1．設(shè)復(fù)數(shù)，則的虛部為 （　C ） A. B. C. D. 2．設(shè)函數(shù)，則 (　D　) A．為的極大值點(diǎn) B．為 的極小值點(diǎn) C．為的極大值點(diǎn) D．為的極小值點(diǎn) 3．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，則與 的夾角為(　C　) A．30　　 B．45　 　 C．60　 D．90 4. 如圖，函數(shù)與相交形成一個(gè)閉合圖形(圖中的陰影部分)，則該閉合圖形的面積是( B ) A.1 B. C. D.2 5．用數(shù)學(xué)歸納法證明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n13…(2n－1)(n∈N*)時(shí)，從“n＝k到n＝k＋1”左邊需增乘的代數(shù)式為(　B　) A．2k＋1 B．2(2k＋1) C． D． 6. 已知空間中三點(diǎn)A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，設(shè)＝，＝.若k＋與k－2互相垂直，則實(shí)數(shù)k的值為（ C ）． A． B． C． 或 D．或 7. 下列積分值等于1的是（　D?。? A．　 B．　 C． 　 D． 8．＝(1－t,1－t，t)，＝(2，t，t)，則|－|的最小值是(　C　) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D.　 9. 給出下列四個(gè)命題：① 是增函數(shù)，無極值. ②在上沒有最大值 ③由曲線所圍成圖形的面積是 ④ 函數(shù)存在與直線平行的切線，則實(shí)數(shù)取值范圍是 其中正確命題的個(gè)數(shù)為（A　?。? A．1　　　　　 B．2　　　　　　 C．3　　　　　　　 D．4　 10．設(shè)點(diǎn)是曲線：（為實(shí)常數(shù)）上任意一點(diǎn)，點(diǎn)處切線的傾斜角為，則的取值范圍是（ D ） A． B．　 C．[0，]∪ D．[0，)∪ 11．設(shè)△的三邊長分別為△的面積為，內(nèi)切圓半徑為，則.類比這個(gè)結(jié)論可知：四面體的四個(gè)面的面積分別為內(nèi)切球的半徑為，四面體的體積為，則＝（ C ） A. B . C . D . 12. 若函數(shù)對(duì)任意的都有恒成立，則（ C ） A． B． C． D．與的大小不確定 二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分．） 13. 在四面體O—ABC中，＝，＝，＝，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則＝__ (用，，表示)． 14. 下面是關(guān)于復(fù)數(shù)z＝的四個(gè)命題：p1：|z|＝2, p2：z2＝2i， p3：z的共軛復(fù)數(shù)為1＋i, p4：z的虛部為－1，其中真命題的個(gè)數(shù)為 .2 p2，p4 15.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是_________. 16. 已知函數(shù)，如果成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 . 三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。 17．（本小題滿分10分）已知函數(shù)f(x)＝ax3＋cx＋d(a≠0)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取得極值－2. (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極大值； [解析]　(1)∵f(x)是R上的奇函數(shù)， ∴f(－x)＝－f(x)，即－ax3－cx＋d＝－ax3－cx－d，∴d＝－d， ∴d＝0(或由f(0)＝0得d＝0)． ∴f(x)＝ax3＋cx，f ′(x)＝3ax2＋c， 又當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取得極值－2， ∴即解得∴f(x)＝x3－3x. (2)f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，令f ′(x)＝0，得x＝1， 當(dāng)－11時(shí)，f ′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增； ∴函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(－∞，－1)和(1，＋∞)；遞減區(qū)間為(－1,1)． 因此，f(x)在x＝－1處取得極大值，且極大值為f(－1)＝2. 18. （本題滿分12分）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足. （1）求； （2）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明 解析：（1）a=1, a=3, a=7, a=15 （2）猜想 =2-1 證明：① n=1時(shí)成立 ② 假設(shè)n=k時(shí)成立，即=2-1 則n=k+1時(shí)，S=2,又S=2 兩式相減得： 由假設(shè)及上式得： 即：所以；n=k+1時(shí)也成立 由①②知=2-1，nN時(shí)成立 19. （本題滿分12分）如圖所示，平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都為1，且兩兩夾角為60. (1)求AC1的長； (2)求BD1與AC夾角的余弦值． 解　(1)記＝a，＝b，＝c， 則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60， ∴ab＝bc＝ca＝. ||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)＝1＋1＋1＋2＝6， ∴||＝，即AC1的長為. (2)＝b＋c－a，＝a＋b，∴||＝，||＝， ＝(b＋c－a)(a＋b)＝b2－a2＋ac＋bc＝1. ∴cos〈，〉＝＝. ∴AC與BD1夾角的余弦值為. 20．（本小題滿分10分）直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90，D、E分別為AB、BB′的中點(diǎn)． (1)求證：；(2)求證：平面． 解(1)證明　設(shè)＝a，＝b，＝c， 根據(jù)題意，|a|＝|b|＝|c|，且ab＝bc＝ca＝0， ∴＝b＋c，＝－c＋b－a. ∴＝－c2＋b2＝0.∴⊥，即CE⊥A′D. (2)證明：∵＝（a＋b），＝b＋c ＝－c＋b－a. ∴＝－c2＋b2＝0. ＝－ a 2＋b2＝0. ∴, 即 CE⊥A′D.， 又 故 平面． 21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)＝x2－2(a＋1)x＋2alnx(a>0)． (1)當(dāng)a＝1時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程； (2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (3)若f(x)≤0在區(qū)間[1，e]上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． [解析]　(1)∵a＝1，∴f(x)＝x2－4x＋2lnx， ∴f ′(x)＝(x>0)，f(1)＝－3，f ′(1)＝0，所以切線方程為y＝－3. (2)f ′(x)＝＝(x>0)， 令f ′(x)＝0得x1＝a，x2＝1， 當(dāng)00，在x∈(a,1)時(shí)，f ′(x)<0，∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，a)和(1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(a,1)；當(dāng)a＝1時(shí)，f ′(x)＝≥0，∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，＋∞)；當(dāng)a>1時(shí)，在x∈(0,1)或x∈(a，＋∞)時(shí)，f ′(x)>0，在x∈(1，a)時(shí)，f ′(x)<0，∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1)和(a，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，a)． (3)由(2)可知，f(x)在區(qū)間[1，e]上只可能有極小值點(diǎn)，∴f(x)在區(qū)間[1，e]上的最大值必在區(qū)間端點(diǎn)取到，∴f(1)＝1－2(a＋1)≤0且f(e)＝e2－2(a＋1)e＋2a≤0，解得a≥. 22．（小題滿分12分）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率為． （Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值； （Ⅱ）證明：函數(shù)的圖象恒在直線的下方（點(diǎn)除外）； （Ⅲ）設(shè)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線的斜率恒大于，試求實(shí)數(shù)的取值范圍． （Ⅰ）因?yàn)?，又因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，所以，所以； （Ⅱ）因?yàn)?，所以，所以的方程為：? 令， 則，又因?yàn)椋? 所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，， 所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減， 所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以， 所以，即函數(shù)的圖象恒在其切線的下方（切點(diǎn)除外）； （Ⅲ）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，， 即，. 令， 所以在單調(diào)遞增， 所以在恒成立， 所以在恒成立，所以.