2019-2020年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽標(biāo)準(zhǔn)教材講義 二次函數(shù)與命題教案.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽標(biāo)準(zhǔn)教材講義 二次函數(shù)與命題教案一、基礎(chǔ)知識(shí)1二次函數(shù)：當(dāng)0時(shí)，y=ax2+bx+c或f(x)=ax2+bx+c稱為關(guān)于x的二次函數(shù)，其對(duì)稱軸為直線x=-，另外配方可得f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中x0=-，下同2二次函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)a0時(shí)，f(x)的圖象開(kāi)口向上，在區(qū)間（-，x0上隨自變量x增大函數(shù)值減?。ê?jiǎn)稱遞減），在x0， -）上隨自變量增大函數(shù)值增大（簡(jiǎn)稱遞增）當(dāng)a0時(shí)，方程f(x)=0即ax2+bx+c=0和不等式ax2+bx+c0及ax2+bx+c0時(shí)，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，設(shè)x1，x2(x1x2)，不等式和不等式的解集分別是x|xx2和x|x1xx2，二次函數(shù)f(x)圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，f(x)還可寫(xiě)成f(x)=a(x-x1)(x-x2).2）當(dāng)=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根x1=x2=x0=，不等式和不等式的解集分別是x|x和空集，f(x)的圖象與x軸有唯一公共點(diǎn)3）當(dāng)0時(shí)，方程無(wú)解，不等式和不等式的解集分別是R和.f(x)圖象與x軸無(wú)公共點(diǎn)當(dāng)a0，當(dāng)x=x0時(shí)，f(x)取最小值f(x0)=，若a0)，當(dāng)x0m， n時(shí)，f(x)在m， n上的最小值為f(x0); 當(dāng)x0n時(shí)，f(x)在m， n上的最小值為f(n)（以上結(jié)論由二次函數(shù)圖象即可得出）定義1 能判斷真假的語(yǔ)句叫命題，如“35”是命題，“蘿卜好大”不是命題不含邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的命題叫做簡(jiǎn)單命題，由簡(jiǎn)單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題由復(fù)合命題注1 “p或q”復(fù)合命題只有當(dāng)p，q同為假命題時(shí)為假，否則為真命題；“p且q”復(fù)合命題只有當(dāng)p，q同時(shí)為真命題時(shí)為真，否則為假命題；p與“非p”即“p”恰好一真一假定義2 原命題：若p則q（p為條件，q為結(jié)論）；逆命題：若q則p；否命題：若非p則q；逆否命題：若非q則非p注2 原命題與其逆否命題同真假一個(gè)命題的逆命題和否命題同真假注3 反證法的理論依據(jù)是矛盾的排中律，而未必是證明原命題的逆否命題定義3 如果命題“若p則q”為真，則記為pq否則記作pq.在命題“若p則q”中，如果已知pq，則p是q的充分條件；如果qp，則稱p是q的必要條件；如果pq但q不p，則稱p是q的充分非必要條件；如果p不q但pq，則p稱為q的必要非充分條件；若pq且qp，則p是q的充要條件二、方法與例題1待定系數(shù)法例1 設(shè)方程x2-x+1=0的兩根是，求滿足f()=，f()=，f(1)=1的二次函數(shù)f(x).【解】 設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a0)，則由已知f()=，f()=相減并整理得（-）（+）a+b+1=0，因?yàn)榉匠蘹2-x+1=0中0，所以，所以(+)a+b+1=0.又+=1，所以a+b+1=0.又因?yàn)閒(1)=a+b+c=1，所以c-1=1，所以c=2.又b=-(a+1)，所以f(x)=ax2-(a+1)x+2.再由f()=得a2-(a+1)+2=，所以a2-a+2=+=1，所以a2-a+1=0.即a(2-+1)+1-a=0，即1-a=0，所以a=1，所以f(x)=x2-2x+2.2方程的思想例2 已知f(x)=ax2-c滿足-4f(1)-1， -1f(2)5，求f(3)的取值范圍【解】 因?yàn)?4f(1)=a-c-1，所以1-f(1)=c-a4.又-1f(2)=4a-c5， f(3)=f(2)-f(1)，所以(-1)+f(3)5+4，所以-1f(3)20.3利用二次函數(shù)的性質(zhì)例3 已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a，b，cR， a0)，若方程f(x)=x無(wú)實(shí)根，求證：方程f(f(x)=x也無(wú)實(shí)根【證明】若a0，因?yàn)閒(x)=x無(wú)實(shí)根，所以二次函數(shù)g(x)=f(x)-x圖象與x軸無(wú)公共點(diǎn)且開(kāi)口向上，所以對(duì)任意的xR，f(x)-x0即f(x)x，從而f(f(x)f(x)所以f(f(x)x，所以方程f(f(x)=x無(wú)實(shí)根注：請(qǐng)讀者思考例3的逆命題是否正確4利用二次函數(shù)表達(dá)式解題例4 設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0)，方程f(x)=x的兩根x1， x2滿足0x1x2，（）當(dāng)x(0， x1)時(shí)，求證：xf(x)x1；（）設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x=x0對(duì)稱，求證：x0【證明】 因?yàn)閤1， x2是方程f(x)-x=0的兩根，所以f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)，即f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x.（）當(dāng)x(0， x1)時(shí)，x-x10， x-x20，所以f(x)x.其次f(x)-x1=(x-x1)a(x-x2)+1=a(x-x1)x-x2+0，所以f(x)x1.綜上，xf(x)1，求證：方程的正根比1小，負(fù)根比-1大【證明】 方程化為2a2x2+2ax+1-a2=0.構(gòu)造f(x)=2a2x2+2ax+1-a2，f(1)=(a+1)20， f(-1)=(a-1)20， f(0)=1-a20，所以f(x)在區(qū)間（-1，0）和（0，1）上各有一根即方程的正根比1小，負(fù)根比-1大6定義在區(qū)間上的二次函數(shù)的最值例6 當(dāng)x取何值時(shí)，函數(shù)y=取最小值？求出這個(gè)最小值【解】 y=1-，令u，則0u1y=5u2-u+1=5，且當(dāng)即x=3時(shí)，ymin=.例7 設(shè)變量x滿足x2+bx-x(b-1)，并且x2+bx的最小值是，求b的值【解】 由x2+bx-x(b-(b+1)，即b-2時(shí)，x2+bx在0，-(b+1)上是減函數(shù)，所以x2+bx的最小值為b+1，b+1=-，b=-.綜上，b=-.7.一元二次不等式問(wèn)題的解法例8 已知不等式組 的整數(shù)解恰好有兩個(gè)，求a的取值范圍【解】 因?yàn)榉匠蘹2-x+a-a2=0的兩根為x1=a， x2=1-a，若a0，則x1x2.的解集為ax1-2a.因?yàn)?-2a1-a，所以a0，所以不等式組無(wú)解若a0，）當(dāng)0a時(shí)，x1x2，的解集為ax1-a.因?yàn)?ax1-a時(shí)，a1-a，由得x1-2a，所以不等式組的解集為1-ax1且a-(1-a)3，所以1a2，并且當(dāng)1a2時(shí)，不等式組恰有兩個(gè)整數(shù)解0，1綜上，a的取值范圍是10，=(B-A-C)2(y-z)2-4AC(y-z)20恒成立，所以(B-A-C)2-4AC0，即A2+B2+C22(AB+BC+CA)同理有B0，C0，所以必要性成立再證充分性，若A0，B0，C0且A2+B2+C22(AB+BC+CA)，1）若A=0，則由B2+C22BC得(B-C)20，所以B=C，所以=0，所以成立，成立2）若A0，則由知0，所以成立，所以成立綜上，充分性得證9常用結(jié)論定理1 若a， bR， |a|-|b|a+b|a|+|b|.【證明】 因?yàn)?|a|a|a|，-|b|b|b|，所以-(|a|+|b|)a+b|a|+|b|，所以|a+b|a|+|b|（注：若m0，則-mxm等價(jià)于|x|m）.又|a|=|a+b-b|a+b|+|-b|，即|a|-|b|a+b|.綜上定理1得證定理2 若a，bR， 則a2+b22ab；若x，yR+，則x+y(證略)注 定理2可以推廣到n個(gè)正數(shù)的情況，在不等式證明一章中詳細(xì)論證三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題1下列四個(gè)命題中屬于真命題的是_，“若x+y=0，則x、y互為相反數(shù)”的逆命題；“兩個(gè)全等三角形的面積相等”的否命題；“若q1，則x2+x+q=0有實(shí)根”的逆否命題；“不等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角相等”的逆否命題2由上列各組命題構(gòu)成“p或q”，“p且q”，“非p”形式的復(fù)合命題中，p或q為真，p且q為假，非p為真的是_.p；3是偶數(shù)，q：4是奇數(shù)；p:3+2=6，q:p:a(a，b)，q:aa，b; p: QR， q: N=Z.3. 當(dāng)|x-2|a時(shí)，不等式|x2-4|0的解是1x2，則a， b的值是_.5. x1且x2是x-1的_條件，而-2m0且0n1是關(guān)于x的方程x2+mx+n=0有兩個(gè)小于1的正根的_條件.6.命題“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的逆命題是_.7.若S=x|mx2+5x+2=0的子集至多有2個(gè)，則m的取值范圍是_.8. R為全集，A=x|3-x4， B=， 則(CRA)B=_.9. 設(shè)a， b是整數(shù)，集合A=(x，y)|(x-a)2+3b6y，點(diǎn)（2，1）A，但點(diǎn)（1，0）A，（3，2）A則a，b的值是_.10設(shè)集合A=x|x|0，則集合x(chóng)|xA且xAB=_.11. 求使不等式ax2+4x-1-2x2-a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立的a的取值范圍12對(duì)任意x0，1，有 成立，求k的取值范圍四、高考水平訓(xùn)練題1若不等式|x-a|0當(dāng)|a|1時(shí)恒成立的x的取值范圍是_.3若不等式-x2+kx-410， B=x|x-5|0和a2x2+b2x+c20解集分別為M和N，那么“”是“M=N”的_條件6若下列三個(gè)方程x2+4ax-4a+3=0， x2+(a-1)x+a2=0， x2+2ax-2a=0中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.7已知p， q都是r的必要條件，s是r的充分條件，q是s的充分條件，則r是q的_條件8已知p: |1-|2， q: x2-2x+1-m20(m0)，若非p是非q的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_.9已知a0，f(x)=ax2+bx+c，對(duì)任意xR有f(x+2)=f(2-x)，若f(1-2x2)0且|x|1時(shí)，g(x)最大值為2，求f(x).11.設(shè)實(shí)數(shù)a，b，c，m滿足條件：=0，且a0，m0，求證：方程ax2+bx+c=0有一根x0滿足0x01.五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題1不等式|x|3-2x2-4|x|+30，當(dāng)函數(shù)的最小值取最大值時(shí)，a+b2+c3=_.4. 已知f(x)=|1-2x|， x0，1，方程f(f(f)(x)=x有_個(gè)實(shí)根5若關(guān)于x的方程4x2-4x+m=0在-1，1上至少有一個(gè)實(shí)根，則m取值范圍是_.6若f(x)=x4+px3+qx2+x對(duì)一切xR都有f(x)x且f(1)=1，則p+q2=_.7. 對(duì)一切xR，f(x)=ax2+bx+c(a、=、）9若abc100，試問(wèn)滿足|f(x)|50的整數(shù)x最多有幾個(gè)？2設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+8x+3(a1)，使得存在tR，只要x1， m就有f(x+t)x.7.求證：方程3ax2+2bx-(a+b)=0(b0)在(0，1)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根8設(shè)a，b，A，BR+， aA， bB，若n個(gè)正數(shù)a1， a2，an位于a與A之間，n個(gè)正數(shù)b1， b2，bn位于b與B之間，求證：9設(shè)a，b，c為實(shí)數(shù)，g(x)=ax2+bx+c， |x|1，求使下列條件同時(shí)滿足的a， b， c的值：（）=381;（）g(x)max=444;（）g(x)min=364.