2019-2020年高中數學 第一章 概率與統(tǒng)計(第4課)離散型隨機變量的期望與方差(2)教案 湘教版選修2.doc

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2019-2020年高中數學 第一章 概率與統(tǒng)計(第4課)離散型隨機變量的期望與方差(2)教案 湘教版選修2 教學目的： 1了解離散型隨機變量的方差、標準差的意義，會根據離散型隨機變量的分布列求出方差或標準差． 2.了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ～Β(n，p)，則Dξ=np(1—p)”，并會應用上述公式計算有關隨機變量的方差 教學重點：離散型隨機變量的方差、標準差 教學難點：比較兩個隨機變量的期望與方差的大小，從而解決實際問題 授課類型：新授課 課時安排：2課時 教 具：多媒體、實物投影儀 內容分析： 數學期望是離散型隨機變量的一個特征數，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平，表示了隨機變量在隨機實驗中取值的平均值，所以又常稱為隨機變量的平均數、均值．今天，我們將對隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度進行研究．其實在初中我們也對一組數據的波動情況作過研究，即研究過一組數據的方差. 回顧一組數據的方差的概念：設在一組數據，，…，中，各數據與它們的平均值得差的平方分別是，，…，，那么＋＋…＋ 叫做這組數據的方差 教學過程： 一、復習引入： 1.隨機變量：如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量隨機變量常用希臘字母ξ、η等表示 2. 離散型隨機變量:對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量 3．連續(xù)型隨機變量: 對于隨機變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機變量 4.離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量的區(qū)別與聯(lián)系: 離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量都是用變量表示隨機試驗的結果；但是離散型隨機變量的結果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機變量的結果不可以一一列出 5. 分布列: ξ x1 x2 … xi … P P1 P2 … Pi … 6. 分布列的兩個性質： ⑴Pi≥0，i＝1，2，…； ⑵P1+P2+…=1． 7.二項分布:ξ～B(n，p)，并記＝b(k；n，p)． ξ 0 1 … k … n P … … 8.幾何分布： g(k，p)= ，其中k＝0,1,2,…， ． ξ 1 2 3 … k … P … … 9.數學期望: 一般地，若離散型隨機變量ξ的概率分布為 ξ x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn … 則稱 …… 為ξ的數學期望，簡稱期望． 　　10. 數學期望是離散型隨機變量的一個特征數，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平 11 平均數、均值:在有限取值離散型隨機變量ξ的概率分布中，令…，則有…，…，所以ξ的數學期望又稱為平均數、均值 12. 期望的一個性質: 13.若ξB（n,p），則Eξ=np 二、講解新課： 1. 方差: 對于離散型隨機變量ξ，如果它所有可能取的值是，，…，，…，且取這些值的概率分別是，，…，，…，那么, ＝＋＋…＋＋… 稱為隨機變量ξ的均方差，簡稱為方差，式中的是隨機變量ξ的期望． 2. 標準差:的算術平方根叫做隨機變量ξ的標準差，記作． 3.方差的性質：（1）；（2）； （3）若ξ～B(n，p)，則np(1-p) 4.其它： ⑴隨機變量ξ的方差的定義與一組數據的方差的定義式是相同的； ⑵隨機變量ξ的方差、標準差也是隨機變量ξ的特征數，它們都反映了隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度； ⑶標準差與隨機變量本身有相同的單位，所以在實際問題中應用更廣泛 三、講解范例： 例1．設隨機變量ξ的分布列為 ξ 1 2 … n P … 求Dξ 解：（略） 例2．已知離散型隨機變量的概率分布為 1 2 3 4 5 6 7 P 離散型隨機變量的概率分布為 3．7 3．8 3．9 4 4．1 4．2 4．3 P 求這兩個隨機變量期望、均方差與標準差 解：； ； ； =0.04, . 點評：本題中的和都以相等的概率取各個不同的值，但的取值較為分散，的取值較為集中．，，，方差比較清楚地指出了比取值更集中． ＝2，=0.02，可以看出這兩個隨機變量取值與其期望值的偏差 例3. 甲、乙兩射手在同一條件下進行射擊，分布列如下：射手甲擊中環(huán)數8，9，10的概率分別為0.2,0.6,0.2;射手乙擊中環(huán)數8，9，10的概率分別為0.4,0.2,0.24用擊中環(huán)數的期望與方差比較兩名射手的射擊水平 解： +（10-9）； 同理有 由上可知，，所以，在射擊之前，可以預測甲、乙兩名射手所得的平均環(huán)數很接近，均在9環(huán)左右，但甲所得環(huán)數較集中，以9環(huán)居多，而乙得環(huán)數較分散，得8、10環(huán)地次數多些． 點評：本題中，和所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情況不同．=9，這時就通過=0.4和=0.8來比較和的離散程度，即兩名射手成績的穩(wěn)定情況 例4．A、B兩臺機床同時加工零件，每生產一批數量較大的產品時，出次品的概率如下表所示： A機床 B機床 次品數ξ1 0 1 2 3 次品數ξ1 0 1 2 3 概率P 0.7 0.2 0.06 0.04 概率P 0.8 0.06 0.04 0.10 問哪一臺機床加工質量較好 解： Eξ1=00.7+10.2+20.06+30.04=0.44, Eξ2=00.8+10.06+20.04+30.10=0.44. 它們的期望相同，再比較它們的方差 Dξ1=（0-0.44）20.7+（1-0.44）20.2+（2-0.44）2 0.06+（3-0.44）20.04=0.6064, Dξ2=（0-0.44）20.8+（1-0.44）20.06+（2-0.44）2 0.04+（3-0.44）20.10=0.9264. ∴Dξ1< Dξ2 故A機床加工較穩(wěn)定、質量較好. 四、課堂練習： 1 .已知，則的值分別是（ ） A．；　　B．；　　C．；　　D． 答案：1.D 2. 一盒中裝有零件12個，其中有9個正品，3個次品，從中任取一個，如果每次取出次品就不再放回去，再取一個零件，直到取得正品為止．求在取得正品之前已取出次品數的期望． 分析：涉及次品率；抽樣是否放回的問題．本例采用不放回抽樣，每次抽樣后次品率將會發(fā)生變化，即各次抽樣是不獨立的．如果抽樣采用放回抽樣，則各次抽樣的次品率不變，各次抽樣是否抽出次品是完全獨立的事件． 解：設取得正品之前已取出的次品數為ξ，顯然ξ所有可能取的值為0，1，2，3 當ξ=0時，即第一次取得正品，試驗停止，則 P（ξ=0）= 當ξ=1時，即第一次取出次品，第二次取得正品，試驗停止，則 P（ξ=1）= 當ξ=2時，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，試驗停止，則 P（ξ=2）= 當ξ=3時，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，試驗停止，則P（ξ=3）= 所以，Eξ= 3. 有一批數量很大的商品的次品率為1%，從中任意地連續(xù)取出200件商品，設其中次品數為ξ，求Eξ，Dξ 分析：涉及產品數量很大，而且抽查次數又相對較少的產品抽查問題．由于產品數量很大，因而抽樣時抽出次品與否對后面的抽樣的次品率影響很小，所以可以認為各次抽查的結果是彼此獨立的．解答本題，關鍵是理解清楚：抽200件商品可以看作200次獨立重復試驗，即ξB（200，1%），從而可用公式：Eξ=np，Dξ=npq(這里q=1-p)直接進行計算 解：因為商品數量相當大，抽200件商品可以看作200次獨立重復試驗，所以ξB（200，1%）因為Eξ=np，Dξ=npq，這里n=200，p=1%，q=99%，所以，Eξ=2001%=2,Dξ=2001%99%=1.98 4. 設事件A發(fā)生的概率為p，證明事件A在一次試驗中發(fā)生次數ξ的方差不超過1/4 分析：這是一道純數學問題．要求學生熟悉隨機變量的期望與方差的計算方法，關鍵還是掌握隨機變量的分布列．求出方差Dξ=P(1-P)后，我們知道Dξ是關于P(P≥0)的二次函數，這里可用配方法，也可用重要不等式證明結論 證明：因為ξ所有可能取的值為0，1且P（ξ=0）=1-p,P(ξ=1)=p, 所以，Eξ=0(1-p)+1p=p 則 Dξ=（0-p）2(1-p)+(1-p) 2p=p(1-p) 5. 有A、B兩種鋼筋，從中取等量樣品檢查它們的抗拉強度，指標如下： ξA 110 120 125 130 135 ξB 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 其中ξA、ξB分別表示A、B兩種鋼筋的抗拉強度．在使用時要求鋼筋的抗拉強度不低于120，試比較A、B兩種鋼筋哪一種質量較好 分析： 兩個隨機變量ξA和ξB&都以相同的概率0．1，0．2，0．4，0．1，0．2取5個不同的數值．ξA取較為集中的數值110，120，125，130，135；ξB取較為分散的數值100，115，125，130，145．直觀上看，猜想A種鋼筋質量較好．但猜想不一定正確，需要通過計算來證明我們猜想的正確性 解：先比較ξA與ξB的期望值，因為 EξA=1100.1+1200.2+1250.4+1300.1+1350.2=125, EξB=1000.1+1150.2+1250.4十1300.1+1450.2=125. 所以，它們的期望相同．再比較它們的方差．因為 DξA=(110-125)20.1+(120-125) 2 0.2+(130-125) 20.1+(135-125) 20.2=50， DξB=(100-125)20.1+(110-125) 2 0.2+(130-125) 20.1+(145-125) 20.2=165. 所以，DξA < DξB.因此，A種鋼筋質量較好 6. 在有獎摸彩中，一期(發(fā)行10000張彩票為一期)有200個獎品是5元的，20個獎品是25元的，5個獎品是100元的．在不考慮獲利的前提下，一張彩票的合理價格是多少元？ 分析：這是同學們身邊常遇到的現實問題，比如福利彩票、足球彩票、奧運彩票等等．一般來說，出臺各種彩票，政府要從中收取一部分資金用于公共福利事業(yè)，同時也要考慮工作人員的工資等問題．本題的“不考慮獲利”的意思是指：所收資金全部用于獎品方面的費用 解：設一張彩票中獎額為隨機變量ξ，顯然ξ所有可能取的值為0，5，25，100依題 意，可得ξ的分布列為 ξ 0 5 25 100 P 答：一張彩票的合理價格是0．2元． 五、小結 ：⑴求離散型隨機變量ξ的方差、標準差的步驟：①理解ξ的意義，寫出ξ可能取的全部值；②求ξ取各個值的概率，寫出分布列；③根據分布列，由期望的定義求出Eξ；④根據方差、標準差的定義求出、.若ξ～B(n，p)，則不必寫出分布列，直接用公式計算即可． ⑵對于兩個隨機變量和，在和相等或很接近時，比較和 ，可以確定哪個隨機變量的性質更適合生產生活實際，適合人們的需要 六、課后作業(yè)： 1.設～B(n、p)且E=12 D=4，求n、p 解：由二次分布的期望與方差性質可知E=np D= np（1－p） ∴ ∴ 2.已知隨機變量服從二項分布即~B(6、)求b (2；6，) 解：p(=2)=c62()2()4 3.已知甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分為兩個相互獨立的隨機變量和，已知和 的分布列如下：（注得分越大，水平越高） 1 2 3 p a 0.1 0.6 1 2 3 p 0.3 b 0.3 試分析甲、乙技術狀況 解：由0.1+0.6+a+1a=0.3 0.3+0.3+b=1a=0.4 ∴E=2.3 , E=2.0 D=0.81 , D=0.6 七、板書設計（略） 八、課后記：