2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第一章 概率與統(tǒng)計(jì)(第4課)離散型隨機(jī)變量的期望與方差(2)教案 湘教版選修2.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第一章 概率與統(tǒng)計(jì)(第4課)離散型隨機(jī)變量的期望與方差(2)教案 湘教版選修2 教學(xué)目的： 1了解離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的意義，會根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出方差或標(biāo)準(zhǔn)差． 2.了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ～Β(n，p)，則Dξ=np(1—p)”，并會應(yīng)用上述公式計(jì)算有關(guān)隨機(jī)變量的方差 教學(xué)重點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差 教學(xué)難點(diǎn)：比較兩個隨機(jī)變量的期望與方差的大小，從而解決實(shí)際問題 授課類型：新授課 課時(shí)安排：2課時(shí) 教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 內(nèi)容分析： 數(shù)學(xué)期望是離散型隨機(jī)變量的一個特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平，表示了隨機(jī)變量在隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中取值的平均值，所以又常稱為隨機(jī)變量的平均數(shù)、均值．今天，我們將對隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度進(jìn)行研究．其實(shí)在初中我們也對一組數(shù)據(jù)的波動情況作過研究，即研究過一組數(shù)據(jù)的方差. 回顧一組數(shù)據(jù)的方差的概念：設(shè)在一組數(shù)據(jù)，，…，中，各數(shù)據(jù)與它們的平均值得差的平方分別是，，…，，那么＋＋…＋ 叫做這組數(shù)據(jù)的方差 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)引入： 1.隨機(jī)變量：如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量隨機(jī)變量常用希臘字母ξ、η等表示 2. 離散型隨機(jī)變量:對于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量 3．連續(xù)型隨機(jī)變量: 對于隨機(jī)變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量 4.離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系: 離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果；但是離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機(jī)變量的結(jié)果不可以一一列出 5. 分布列: ξ x1 x2 … xi … P P1 P2 … Pi … 6. 分布列的兩個性質(zhì)： ⑴Pi≥0，i＝1，2，…； ⑵P1+P2+…=1． 7.二項(xiàng)分布:ξ～B(n，p)，并記＝b(k；n，p)． ξ 0 1 … k … n P … … 8.幾何分布： g(k，p)= ，其中k＝0,1,2,…， ． ξ 1 2 3 … k … P … … 9.數(shù)學(xué)期望: 一般地，若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布為 ξ x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn … 則稱 …… 為ξ的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望． 　　10. 數(shù)學(xué)期望是離散型隨機(jī)變量的一個特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平 11 平均數(shù)、均值:在有限取值離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布中，令…，則有…，…，所以ξ的數(shù)學(xué)期望又稱為平均數(shù)、均值 12. 期望的一個性質(zhì): 13.若ξB（n,p），則Eξ=np 二、講解新課： 1. 方差: 對于離散型隨機(jī)變量ξ，如果它所有可能取的值是，，…，，…，且取這些值的概率分別是，，…，，…，那么, ＝＋＋…＋＋… 稱為隨機(jī)變量ξ的均方差，簡稱為方差，式中的是隨機(jī)變量ξ的期望． 2. 標(biāo)準(zhǔn)差:的算術(shù)平方根叫做隨機(jī)變量ξ的標(biāo)準(zhǔn)差，記作． 3.方差的性質(zhì)：（1）；（2）； （3）若ξ～B(n，p)，則np(1-p) 4.其它： ⑴隨機(jī)變量ξ的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的； ⑵隨機(jī)變量ξ的方差、標(biāo)準(zhǔn)差也是隨機(jī)變量ξ的特征數(shù)，它們都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度； ⑶標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有相同的單位，所以在實(shí)際問題中應(yīng)用更廣泛 三、講解范例： 例1．設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為 ξ 1 2 … n P … 求Dξ 解：（略） 例2．已知離散型隨機(jī)變量的概率分布為 1 2 3 4 5 6 7 P 離散型隨機(jī)變量的概率分布為 3．7 3．8 3．9 4 4．1 4．2 4．3 P 求這兩個隨機(jī)變量期望、均方差與標(biāo)準(zhǔn)差 解：； ； ； =0.04, . 點(diǎn)評：本題中的和都以相等的概率取各個不同的值，但的取值較為分散，的取值較為集中．，，，方差比較清楚地指出了比取值更集中． ＝2，=0.02，可以看出這兩個隨機(jī)變量取值與其期望值的偏差 例3. 甲、乙兩射手在同一條件下進(jìn)行射擊，分布列如下：射手甲擊中環(huán)數(shù)8，9，10的概率分別為0.2,0.6,0.2;射手乙擊中環(huán)數(shù)8，9，10的概率分別為0.4,0.2,0.24用擊中環(huán)數(shù)的期望與方差比較兩名射手的射擊水平 解： +（10-9）； 同理有 由上可知，，所以，在射擊之前，可以預(yù)測甲、乙兩名射手所得的平均環(huán)數(shù)很接近，均在9環(huán)左右，但甲所得環(huán)數(shù)較集中，以9環(huán)居多，而乙得環(huán)數(shù)較分散，得8、10環(huán)地次數(shù)多些． 點(diǎn)評：本題中，和所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情況不同．=9，這時(shí)就通過=0.4和=0.8來比較和的離散程度，即兩名射手成績的穩(wěn)定情況 例4．A、B兩臺機(jī)床同時(shí)加工零件，每生產(chǎn)一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時(shí)，出次品的概率如下表所示： A機(jī)床 B機(jī)床 次品數(shù)ξ1 0 1 2 3 次品數(shù)ξ1 0 1 2 3 概率P 0.7 0.2 0.06 0.04 概率P 0.8 0.06 0.04 0.10 問哪一臺機(jī)床加工質(zhì)量較好 解： Eξ1=00.7+10.2+20.06+30.04=0.44, Eξ2=00.8+10.06+20.04+30.10=0.44. 它們的期望相同，再比較它們的方差 Dξ1=（0-0.44）20.7+（1-0.44）20.2+（2-0.44）2 0.06+（3-0.44）20.04=0.6064, Dξ2=（0-0.44）20.8+（1-0.44）20.06+（2-0.44）2 0.04+（3-0.44）20.10=0.9264. ∴Dξ1< Dξ2 故A機(jī)床加工較穩(wěn)定、質(zhì)量較好. 四、課堂練習(xí)： 1 .已知，則的值分別是（ ） A．；　　B．；　　C．；　　D． 答案：1.D 2. 一盒中裝有零件12個，其中有9個正品，3個次品，從中任取一個，如果每次取出次品就不再放回去，再取一個零件，直到取得正品為止．求在取得正品之前已取出次品數(shù)的期望． 分析：涉及次品率；抽樣是否放回的問題．本例采用不放回抽樣，每次抽樣后次品率將會發(fā)生變化，即各次抽樣是不獨(dú)立的．如果抽樣采用放回抽樣，則各次抽樣的次品率不變，各次抽樣是否抽出次品是完全獨(dú)立的事件． 解：設(shè)取得正品之前已取出的次品數(shù)為ξ，顯然ξ所有可能取的值為0，1，2，3 當(dāng)ξ=0時(shí)，即第一次取得正品，試驗(yàn)停止，則 P（ξ=0）= 當(dāng)ξ=1時(shí)，即第一次取出次品，第二次取得正品，試驗(yàn)停止，則 P（ξ=1）= 當(dāng)ξ=2時(shí)，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，試驗(yàn)停止，則 P（ξ=2）= 當(dāng)ξ=3時(shí)，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，試驗(yàn)停止，則P（ξ=3）= 所以，Eξ= 3. 有一批數(shù)量很大的商品的次品率為1%，從中任意地連續(xù)取出200件商品，設(shè)其中次品數(shù)為ξ，求Eξ，Dξ 分析：涉及產(chǎn)品數(shù)量很大，而且抽查次數(shù)又相對較少的產(chǎn)品抽查問題．由于產(chǎn)品數(shù)量很大，因而抽樣時(shí)抽出次品與否對后面的抽樣的次品率影響很小，所以可以認(rèn)為各次抽查的結(jié)果是彼此獨(dú)立的．解答本題，關(guān)鍵是理解清楚：抽200件商品可以看作200次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，即ξB（200，1%），從而可用公式：Eξ=np，Dξ=npq(這里q=1-p)直接進(jìn)行計(jì)算 解：因?yàn)樯唐窋?shù)量相當(dāng)大，抽200件商品可以看作200次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，所以ξB（200，1%）因?yàn)镋ξ=np，Dξ=npq，這里n=200，p=1%，q=99%，所以，Eξ=2001%=2,Dξ=2001%99%=1.98 4. 設(shè)事件A發(fā)生的概率為p，證明事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生次數(shù)ξ的方差不超過1/4 分析：這是一道純數(shù)學(xué)問題．要求學(xué)生熟悉隨機(jī)變量的期望與方差的計(jì)算方法，關(guān)鍵還是掌握隨機(jī)變量的分布列．求出方差Dξ=P(1-P)后，我們知道Dξ是關(guān)于P(P≥0)的二次函數(shù)，這里可用配方法，也可用重要不等式證明結(jié)論 證明：因?yàn)棣嗡锌赡苋〉闹禐?，1且P（ξ=0）=1-p,P(ξ=1)=p, 所以，Eξ=0(1-p)+1p=p 則 Dξ=（0-p）2(1-p)+(1-p) 2p=p(1-p) 5. 有A、B兩種鋼筋，從中取等量樣品檢查它們的抗拉強(qiáng)度，指標(biāo)如下： ξA 110 120 125 130 135 ξB 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 其中ξA、ξB分別表示A、B兩種鋼筋的抗拉強(qiáng)度．在使用時(shí)要求鋼筋的抗拉強(qiáng)度不低于120，試比較A、B兩種鋼筋哪一種質(zhì)量較好 分析： 兩個隨機(jī)變量ξA和ξB&都以相同的概率0．1，0．2，0．4，0．1，0．2取5個不同的數(shù)值．ξA取較為集中的數(shù)值110，120，125，130，135；ξB取較為分散的數(shù)值100，115，125，130，145．直觀上看，猜想A種鋼筋質(zhì)量較好．但猜想不一定正確，需要通過計(jì)算來證明我們猜想的正確性 解：先比較ξA與ξB的期望值，因?yàn)? EξA=1100.1+1200.2+1250.4+1300.1+1350.2=125, EξB=1000.1+1150.2+1250.4十1300.1+1450.2=125. 所以，它們的期望相同．再比較它們的方差．因?yàn)? DξA=(110-125)20.1+(120-125) 2 0.2+(130-125) 20.1+(135-125) 20.2=50， DξB=(100-125)20.1+(110-125) 2 0.2+(130-125) 20.1+(145-125) 20.2=165. 所以，DξA < DξB.因此，A種鋼筋質(zhì)量較好 6. 在有獎摸彩中，一期(發(fā)行10000張彩票為一期)有200個獎品是5元的，20個獎品是25元的，5個獎品是100元的．在不考慮獲利的前提下，一張彩票的合理價(jià)格是多少元？ 分析：這是同學(xué)們身邊常遇到的現(xiàn)實(shí)問題，比如福利彩票、足球彩票、奧運(yùn)彩票等等．一般來說，出臺各種彩票，政府要從中收取一部分資金用于公共福利事業(yè)，同時(shí)也要考慮工作人員的工資等問題．本題的“不考慮獲利”的意思是指：所收資金全部用于獎品方面的費(fèi)用 解：設(shè)一張彩票中獎額為隨機(jī)變量ξ，顯然ξ所有可能取的值為0，5，25，100依題 意，可得ξ的分布列為 ξ 0 5 25 100 P 答：一張彩票的合理價(jià)格是0．2元． 五、小結(jié) ：⑴求離散型隨機(jī)變量ξ的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的步驟：①理解ξ的意義，寫出ξ可能取的全部值；②求ξ取各個值的概率，寫出分布列；③根據(jù)分布列，由期望的定義求出Eξ；④根據(jù)方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義求出、.若ξ～B(n，p)，則不必寫出分布列，直接用公式計(jì)算即可． ⑵對于兩個隨機(jī)變量和，在和相等或很接近時(shí)，比較和 ，可以確定哪個隨機(jī)變量的性質(zhì)更適合生產(chǎn)生活實(shí)際，適合人們的需要 六、課后作業(yè)： 1.設(shè)～B(n、p)且E=12 D=4，求n、p 解：由二次分布的期望與方差性質(zhì)可知E=np D= np（1－p） ∴ ∴ 2.已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布即~B(6、)求b (2；6，) 解：p(=2)=c62()2()4 3.已知甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分為兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量和，已知和 的分布列如下：（注得分越大，水平越高） 1 2 3 p a 0.1 0.6 1 2 3 p 0.3 b 0.3 試分析甲、乙技術(shù)狀況 解：由0.1+0.6+a+1a=0.3 0.3+0.3+b=1a=0.4 ∴E=2.3 , E=2.0 D=0.81 , D=0.6 七、板書設(shè)計(jì)（略） 八、課后記：