2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第2章 圓錐曲線與方程 7橢圓及其標準方程課時作業(yè) 新人教A版選修2-1.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第2章 圓錐曲線與方程 7橢圓及其標準方程課時作業(yè) 新人教A版選修2-1 1．橢圓＋＝1的焦點坐標為(　　) A．(－4,0)和(4,0)　B．(0，－)和(0，) C．(－3,0)和(3,0) D．(0，－9)和(0,9) 解析：由已知橢圓的焦點在x軸上，且a2＝16，b2＝7， ∴c2＝9，c＝3. ∴橢圓的焦點坐標為(－3,0)和(3,0)． 答案：C 2．設(shè)F1、F2是橢圓＋＝1的焦點，P是橢圓上的點，則△PF1F2的周長是(　　) A．16　　　B．18　　　C．20　　　D．不確定 解析：由方程＋＝1知a＝5，b＝3，∴c＝4， ∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，|F1F2|＝2c＝8， ∴△PF1F2的周長為18.故選B. 答案：B 3．“m＞n＞0”是方程mx2＋ny2＝1表示焦點在y軸上的橢圓的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：將方程mx2＋ny2＝1轉(zhuǎn)化為＋＝1，要使焦點在y軸上必須滿足＞＞0，即m＞n＞0，反之亦成立，故選C. 答案：C 4．以兩條坐標軸為對稱軸的橢圓過點P和Q，則此橢圓的方程是(　　) A.＋x2＝1 B.＋y2＝1 C.＋y2＝1或x2＋＝1 D．以上都不對 解析：設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，則解得 ∴橢圓方程為x2＋＝1.故選A. 答案：A 5．橢圓＋＝1的一個焦點為F1，點P在橢圓上，如果線段PF1的中點M在y軸上，那么點M的縱坐標為(　　) A． B． C． D． 解析：如圖，當(dāng)P在x軸上方時，OM為△PF1F2的中位線，所以P，所以M.同理，P在x軸下方時M，故選D. 答案：D 6．已知橢圓的方程為＋＝1(a＞5)，它的兩個焦點分別為F1、F2，且|F1F2|＝8，弦AB過F1，則△ABF2的周長為(　　) A．10 B．20 C．2 D．4 解析：由已知得a2＝25＋16＝41，∴△ABF2的周長是4a＝4. 答案：D 7．以橢圓9x2＋5y2＝45的焦點為焦點，且經(jīng)過點M(2，)的橢圓的標準方程為__________． 解析：9x2＋5y2＝45化為標準方程形式為＋＝1，焦點為(0，2)，∴c＝2，設(shè)所求方程為＋＝1， 代入(2，)，解得a2＝12.∴方程為＋＝1. 答案：＋＝1 8．已知F1、F2是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的兩個焦點，P為橢圓C上一點，且⊥.若△PF1F2的面積為9，則b＝________. 解析：由題意，得 解得a2－c2＝9，即b2＝9，所以b＝3. 答案：3 9．已知橢圓＋＝1的上、下兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P為該橢圓上一點，若|PF1|，|PF2|為方程x2＋2mx＋5＝0的兩根，則m＝________. 解析：由已知|PF1|＋|PF2|＝2a＝6. 又∵|PF1|，|PF2|為方程x2＋2mx＋5＝0的兩根， ∴|PF1|＋|PF2|＝－2m，∴m＝－3. 經(jīng)檢驗，m＝－3滿足題意． 答案：－3 10．設(shè)F1、F2分別是橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，當(dāng)a＝2b時，點P在橢圓上，且PF1⊥PF2，|PF1||PF2|＝2，求橢圓方程． 解：∵a＝2b，b2＋c2＝a2，∴c2＝3b2. 又PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝12b2. 由橢圓定義可知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4b，(|PF1|＋|PF2|)2＝12b2＋4＝16b2，∴b2＝1，a2＝4. ∴橢圓方程為＋y2＝1. B組　能力提升 11．已知橢圓的焦點是F1，F(xiàn)2，P是橢圓上的一個動點，如果延長F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么動點Q的軌跡是(　　) A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．無法確定 解析：由題意得|PF1|＋|PF2|＝2a(a為大于零的常數(shù)，且2a＞|F1F2|)，|PQ|＝|PF2|， ∴|PF1|＋|PF2|＝|PF1|＋|PQ|＝2a， 即|F1Q|＝2a. ∴動點Q到定點F1的距離等于定長2a，故動點Q的軌跡是圓． 答案：A 12．已知橢圓＋＝1上一點M到左焦點F1的距離為6，N是MF1的中點，則|ON|＝________. 解析：設(shè)右焦點為F2，連接F2M， ∵O為F1F2的中點，N是MF1的中點， ∴|ON|＝|MF2|. 又∵|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，|MF1|＝6， ∴|MF2|＝4，∴|ON|＝2. 答案：2 13．在直線l：x－y＋9＝0上取一點P，過點P以橢圓＋＝1的焦點為焦點作橢圓． (1)P點在何處時，所求橢圓長軸最短； (2)求長軸最短時的橢圓方程． 解：(1)由題意知橢圓兩焦點坐標分別為F1(－3,0)、F2(3,0)． 設(shè)點F1(－3,0)關(guān)于直線l的對稱點F′1的坐標為(x0，y0)， 則解之得 ∴F′1(－9,6)． 則過F′1和F2的直線方程為＝， 整理得x＋2y－3＝0 聯(lián)立解之得 即P點坐標為(－5,4) (2)由(1)知2a＝|F′1F|＝， ∴a2＝45. ∵c＝3，∴b2＝a2－c2＝36. ∴所求橢圓的方程為＋＝1. 14．已知P是橢圓＋y2＝1上的一點，F(xiàn)1、F2是橢圓的兩個焦點． (1)當(dāng)∠F1PF2＝60時，求△F1PF2的面積； (2)當(dāng)∠F1PF2為鈍角時，求點P橫坐標的取值范圍． 解：(1)如圖，由橢圓的定義，得|PF1|＋|PF2|＝4，且F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)．?、? 在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60.　② 由①②得|PF1||PF2|＝. 所以＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝. (2)設(shè)點P(x，y)，由已知∠F1PF2為鈍角，得＜0，即(x＋，y)(x－，y)＜0，又y2＝1－， 所以x2＜2，解得－＜x＜， 所以點P橫坐標的取值范圍是. 15．如圖，已知點P(3,4)是橢圓＋＝1(a＞b＞0)上一點，F(xiàn)1、F2是橢圓的兩個焦點，若＝0. (1)求橢圓的方程； (2)求△PF1F2的面積． 解析： (1)∵＝0，∴△PF1F2是直角三角形，∴|OP|＝|F1F2|＝c. 又|OP|＝＝5，∴c＝5. ∴橢圓方程為＋＝1. 又P(3,4)在橢圓上，∴＋＝1， ∴a2＝45或a2＝5. 又a＞c，∴a2＝5舍去． 故所求橢圓方程為＋＝1. (2)由橢圓定義知：|PF1|＋|PF2|＝6，① 又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，② 由①2－②得2|PF1||PF2|＝80， ∴＝|PF1||PF2|＝40＝20.