2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 13.4數(shù)學(xué)歸納法教案 理 新人教A版 .DOC

《2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 13.4數(shù)學(xué)歸納法教案 理 新人教A版 .DOC》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 13.4數(shù)學(xué)歸納法教案 理 新人教A版 .DOC（13頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 13.4數(shù)學(xué)歸納法教案 理 新人教A版xx高考會這樣考1.考查數(shù)學(xué)歸納法的原理和證題步驟；2.用數(shù)學(xué)歸納法證明與等式、不等式或數(shù)列有關(guān)的命題，考查分析問題、解決問題的能力復(fù)習(xí)備考要這樣做1.理解數(shù)學(xué)歸納法的歸納遞推思想及其在證題中的應(yīng)用；2.規(guī)范書寫數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟數(shù)學(xué)歸納法一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0 (n0N*)時(shí)命題成立；(2)(歸納遞推)假設(shè)nk (kn0，kN*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)nk1時(shí)命題也成立只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源1數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題證明時(shí)步驟(1)和(2)缺一不可，步驟(1)是步驟(2)的基礎(chǔ)，步驟(2)是遞推的依據(jù)2在用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第(1)步驗(yàn)算nn0的n0不一定為1，而是根據(jù)題目要求，選擇合適的起始值第(2)步，證明nk1時(shí)命題也成立的過程，一定要用到歸納假設(shè)，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法1 凸k邊形內(nèi)角和為f(k)，則凸k1邊形的內(nèi)角和為f(k1)f(k)_.答案解析易得f(k1)f(k).2 用數(shù)學(xué)歸納法證明：“11)”，由nk (k1)不等式成立，推證nk1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是_答案2k解析nk時(shí)，左邊1，當(dāng)nk1時(shí)，左邊1.所以左邊應(yīng)增加的項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為2k.3 用數(shù)學(xué)歸納法證明1aa2an1(a1，nN)，在驗(yàn)證n1成立時(shí)，左邊需計(jì)算的項(xiàng)是()A1 B1aC1aa2 D1aa2a3答案C解析觀察等式左邊的特征易知選C.4 已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明12時(shí)，若已假設(shè)nk(k2且k為偶數(shù))時(shí)命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證()Ank1時(shí)等式成立Bnk2時(shí)等式成立Cn2k2時(shí)等式成立Dn2(k2)時(shí)等式成立答案B解析因?yàn)榧僭O(shè)nk(k2且k為偶數(shù))，故下一個(gè)偶數(shù)為k2，故選B.5 已知f(n)，則()Af(n)中共有n項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)Bf(n)中共有n1項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)Cf(n)中共有n2n項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)Df(n)中共有n2n1項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)答案D解析從n到n2共有n2n1個(gè)數(shù)，所以f(n)中共有n2n1項(xiàng).題型一用數(shù)學(xué)歸納法證明等式例1已知nN*，證明：1.思維啟迪：等式的左邊有2n項(xiàng)，右邊有n項(xiàng)，左邊的分母是從1到2n的連續(xù)正整數(shù)，末項(xiàng)與n有關(guān)，右邊的分母是從n1到nn的連續(xù)正整數(shù)，首、末項(xiàng)都與n有關(guān)證明(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊，等式成立；(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)等式成立，即1，那么當(dāng)nk1時(shí)，左邊1右邊，所以當(dāng)nk1時(shí)等式也成立綜合(1)(2)知對一切nN*，等式都成立探究提高(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題是常見題型，其關(guān)鍵點(diǎn)在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，初始值n0是幾；(2)由nk到nk1時(shí)，除等式兩邊變化的項(xiàng)外還要充分利用nk時(shí)的式子，即充分利用假設(shè)，正確寫出歸納證明的步驟，從而使問題得以證明用數(shù)學(xué)歸納法證明：對任意的nN*，.證明(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊，右邊，左邊右邊，所以等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)等式成立，即，則當(dāng)nk1時(shí)，所以當(dāng)nk1時(shí)，等式也成立由(1)(2)可知，對一切nN*等式都成立題型二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式例2用數(shù)學(xué)歸納法證明：11n (nN*)思維啟迪：利用假設(shè)后，要注意不等式的放大和縮小證明(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊1，1，即命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk (kN*)時(shí)命題成立，即11k，則當(dāng)nk1時(shí)，112k1.又1均成立證明(1)當(dāng)n2時(shí)，左邊1；右邊.左邊右邊，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2，且kN*)時(shí)不等式成立，即.則當(dāng)nk1時(shí)，.當(dāng)nk1時(shí)，不等式也成立由(1)(2)知，對于一切大于1的自然數(shù)n，不等式都成立題型三用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題例3用數(shù)學(xué)歸納法證明42n13n2能被13整除，其中n為正整數(shù)思維啟迪：當(dāng)nk1時(shí)，把42(k1)13k3配湊成42k13k2的形式是解題的關(guān)鍵證明(1)當(dāng)n1時(shí)，421131291能被13整除(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN)時(shí)，42k13k2能被13整除，則當(dāng)nk1時(shí)，方法一42(k1)13k342k1423k2342k1342k1342k1133(42k13k2)，42k113能被13整除，42k13k2能被13整除42(k1)13k3能被13整除方法二因?yàn)?2(k1)13k33(42k13k2)(42k1423k23)3(42k13k2)42k113，42k113能被13整除，42(k1)13k33(42k13k2)能被13整除，因而42(k1)13k3能被13整除，當(dāng)nk1時(shí)命題也成立，由(1)(2)知，當(dāng)nN時(shí)，42n13n2能被13整除探究提高用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題，P(k)P(k1)的整式變形是個(gè)難點(diǎn)，找出它們之間的差異，然后將P(k1)進(jìn)行分拆、配湊成P(k)的形式，也可運(yùn)用結(jié)論：“P(k)能被p整除且P(k1)P(k)能被p整除P(k1)能被p整除”已知n為正整數(shù)，aZ，用數(shù)學(xué)歸納法證明：an1(a1)2n1能被a2a1整除證明(1)當(dāng)n1時(shí)，an1(a1)2n1a2a1，能被a2a1整除(2)假設(shè)nk(kN)時(shí)，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，那么當(dāng)nk1時(shí)，ak2(a1)2k1(a1)2ak1(a1)2k1ak2ak1(a1)2(a1)2ak1(a1)2k1ak1(a2a1)能被a2a1整除即當(dāng)nk1時(shí)命題也成立根據(jù)(1)(2)可知，對于任意nN，an1(a1)2n1能被a2a1整除歸納、猜想、證明典例：(12分)在各項(xiàng)為正的數(shù)列an中，數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn.(1)求a1，a2，a3；(2)由(1)猜想數(shù)列an的通項(xiàng)公式，并且用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想審題視角(1)數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且Sn，所以可根據(jù)解方程求出a1，a2，a3；(2)觀察a1，a2，a3猜想出an的通項(xiàng)公式an，然后再證明規(guī)范解答解(1)S1a1得a1.an0，a11，1分由S2a1a2，得a2a210，a21.2分又由S3a1a2a3得a2a310，a3.3分(2)猜想an (nN*)5分證明：當(dāng)n1時(shí)，a11，猜想成立6分假設(shè)當(dāng)nk (kN*)時(shí)猜想成立，即ak，則當(dāng)nk1時(shí)，ak1Sk1Sk，即ak1，a2ak110，ak1.即nk1時(shí)猜想成立11分由知，an (nN*)12分溫馨提醒(1)本題運(yùn)用了從特殊到一般的探索、歸納、猜想及證明的思維方式去探索和發(fā)現(xiàn)問題，并證明所得結(jié)論的正確性，這是非常重要的一種思維能力(2)本題易錯(cuò)原因是，第(1)問求a1，a2，a3的值時(shí)，易計(jì)算錯(cuò)誤或歸納不出an的一般表達(dá)式第(2)問想不到再次利用解方程的方法求解，找不到解決問題的突破口.方法與技巧1 在數(shù)學(xué)歸納法中，歸納奠基和歸納遞推缺一不可在較復(fù)雜的式子中，注意由nk到nk1時(shí)，式子中項(xiàng)數(shù)的變化，應(yīng)仔細(xì)分析，觀察通項(xiàng)同時(shí)還應(yīng)注意，不用假設(shè)的證法不是數(shù)學(xué)歸納法2 對于證明等式問題，在證nk1等式也成立時(shí)，應(yīng)及時(shí)把結(jié)論和推導(dǎo)過程對比，以減少計(jì)算時(shí)的復(fù)雜程度；對于整除性問題，關(guān)鍵是湊假設(shè)；證明不等式時(shí)，一般要運(yùn)用放縮法3 歸納猜想證明屬于探索性問題的一種，一般經(jīng)過計(jì)算、觀察、歸納，然后猜想出結(jié)論，再用數(shù)學(xué)歸納法證明由于“猜想”是“證明”的前提和“對象”，務(wù)必保證猜想的正確性，同時(shí)必須注意數(shù)學(xué)歸納法步驟的書寫失誤與防范1 數(shù)學(xué)歸納法僅適用于與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題2 嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)歸納法的三個(gè)步驟書寫，特別是對初始值的驗(yàn)證不可省略，有時(shí)要取兩個(gè)(或兩個(gè)以上)初始值進(jìn)行驗(yàn)證；初始值的驗(yàn)證是歸納假設(shè)的基礎(chǔ)3 注意nk1時(shí)命題的正確性4 在進(jìn)行nk1命題證明時(shí)，一定要用nk時(shí)的命題，沒有用到該命題而推理證明的方法不是數(shù)學(xué)歸納法A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1 用數(shù)學(xué)歸納法證明“12222n22n31”，在驗(yàn)證n1時(shí)，左邊計(jì)算所得的式子為 ()A1 B12C1222 D122223答案D解析左邊的指數(shù)從0開始，依次加1，直到n2，所以當(dāng)n1時(shí)，應(yīng)加到23，故選D.2 用數(shù)學(xué)歸納法證明“2nn21對于nn0的正整數(shù)n都成立”時(shí)，第一步證明中的起始值n0應(yīng)取()A2 B3 C5 D6答案C解析令n0分別取2,3,5,6，依次驗(yàn)證即得3 用數(shù)學(xué)歸納法證明123n2，則當(dāng)nk1時(shí)左端應(yīng)在nk的基礎(chǔ)上加上 ()Ak21B(k1)2C.D(k21)(k22)(k1)2答案D解析當(dāng)nk時(shí)，左端123k2.當(dāng)nk1時(shí)，左端123k2(k21)(k22)(k1)2，故當(dāng)nk1時(shí)，左端應(yīng)在nk的基礎(chǔ)上加上(k21)(k22)(k1)2.故應(yīng)選D.4 用數(shù)學(xué)歸納法證明：“(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)”，從“k到k1”左端需增乘的代數(shù)式為 ()A2k1 B2(2k1)C. D.答案B解析nk1時(shí)，左端為(k2)(k3)(k1)(k1)(k1)k(k1)(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)(k1)(k2)(kk)2(2k1)，應(yīng)乘2(2k1)二、填空題(每小題5分，共15分)5 用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n1n2n2(nN)”時(shí)，第一步驗(yàn)證為_答案當(dāng)n1時(shí)，左邊4右邊，不等式成立解析由nN可知初始值為1.6 若f(n)122232(2n)2，則f(k1)與f(k)的遞推關(guān)系式是_答案f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2解析f(k)1222(2k)2，f(k1)1222(2k)2(2k1)2(2k2)2；f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2.7 用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xnyn能被xy整除”，當(dāng)?shù)诙郊僭O(shè)n2k1(kN)命題為真時(shí)，進(jìn)而需證n_時(shí)，命題亦真答案2k1解析因?yàn)閚為正奇數(shù)，所以與2k1相鄰的下一個(gè)奇數(shù)是2k1.三、解答題(共22分)8 (10分)若n為大于1的自然數(shù)，求證：.證明(1)當(dāng)n2時(shí)，.(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN)時(shí)不等式成立，即，那么當(dāng)nk1時(shí)，.這就是說，當(dāng)nk1時(shí)，不等式也成立由(1)(2)可知，原不等式對任意大于1的自然數(shù)都成立9 (12分)已知點(diǎn)Pn(an，bn)滿足an1anbn1，bn1(nN*)且點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(1，1)(1)求過點(diǎn)P1，P2的直線l的方程；(2)試用數(shù)學(xué)歸納法證明：對于nN*，點(diǎn)Pn都在(1)中的直線l上(1)解由P1的坐標(biāo)為(1，1)知a11，b11.b2.a2a1b2.點(diǎn)P2的坐標(biāo)為，直線l的方程為2xy1.(2)證明當(dāng)n1時(shí)，2a1b121(1)1成立假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)，2akbk1成立，則當(dāng)nk1時(shí)，2ak1bk12akbk1bk1(2ak1)1，當(dāng)nk1時(shí)，命題也成立由知，對于nN*，都有2anbn1，即點(diǎn)Pn在直線l上B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1 對于不等式n1(nN*)，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明的過程如下：(1)當(dāng)n1時(shí)，11，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)，不等式成立，即k1，則當(dāng)nk1時(shí)，(k1)1，當(dāng)nk1時(shí)，不等式成立，則上述證法()A過程全部正確Bn1驗(yàn)得不正確C歸納假設(shè)不正確D從nk到nk1的推理不正確答案D解析在nk1時(shí)，沒有應(yīng)用nk時(shí)的假設(shè)，不是數(shù)學(xué)歸納法2 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 (nN*)成立，其初始值至少應(yīng)取()A7 B8 C9 D10答案B解析左邊12，代入驗(yàn)證可知n的最小值是8.二、填空題(每小題5分，共15分)4 平面上有n條直線，它們?nèi)魏蝺蓷l不平行，任何三條不共點(diǎn)，設(shè)k條這樣的直線把平面分成f(k)個(gè)區(qū)域，則k1條直線把平面分成的區(qū)域數(shù)f(k1)f(k)_.答案k1解析當(dāng)nk1時(shí)，第k1條直線被前k條直線分成(k1)段，而每一段將它們所在區(qū)域一分為二，故增加了k1個(gè)區(qū)域5 用數(shù)學(xué)歸納法證明 (k1)，則當(dāng)nk1時(shí)，左端應(yīng)乘上_，這個(gè)乘上去的代數(shù)式共有因式的個(gè)數(shù)是_答案2k1解析因?yàn)榉帜傅墓顬?，所以乘上去的第一個(gè)因式是，最后一個(gè)是，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式可求得共有12k2k12k1項(xiàng)6 在數(shù)列an中，a1且Snn(2n1)an，通過計(jì)算a2，a3，a4，猜想an的表達(dá)式是_答案an解析當(dāng)n2時(shí)，a1a26a2，即a2a1；當(dāng)n3時(shí)，a1a2a315a3，即a3(a1a2)；當(dāng)n4時(shí)，a1a2a3a428a4，即a4(a1a2a3).a1，a2，a3，a4，故猜想an.三、解答題7 (13分)已知函數(shù)f(x)axx2的最大值不大于，又當(dāng)x時(shí)，f(x).(1)求a的值；(2)設(shè)0a1，an1f(an)，nN*，證明：an.(1)解由題意，知f(x)axx22.又f(x)max，所以f.所以a21.又當(dāng)x時(shí)，f(x)，所以即解得a1.又因?yàn)閍21，所以a1.(2)證明用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時(shí)，0a1，顯然結(jié)論成立因?yàn)楫?dāng)x時(shí)，0f(x)，所以0a2f(a1).故n2時(shí)，原不等式也成立假設(shè)當(dāng)nk(k2，kN*)時(shí)，不等式0ak成立因?yàn)閒(x)axx2的對稱軸為直線x，所以當(dāng)x時(shí)，f(x)為增函數(shù)所以由0ak，得0f(ak)f.于是，0ak1f(ak).所以當(dāng)nk1時(shí)，原不等式也成立根據(jù)，知對任何nN*，不等式an成立