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2019-2020年高三數學大一輪復習 13.4數學歸納法教案 理 新人教A版
xx高考會這樣考 1.考查數學歸納法的原理和證題步驟；2.用數學歸納法證明與等式、不等式或數列有關的命題，考查分析問題、解決問題的能力．
復習備考要這樣做 1.理解數學歸納法的歸納遞推思想及其在證題中的應用；2.規(guī)范書寫數學歸納法的證題步驟．
數學歸納法
一般地，證明一個與正整數n有關的命題，可按下列步驟進行：
(1)(歸納奠基)證明當n取第一個值n0 (n0∈N*)時命題成立；
(2)(歸納遞推)假設n＝k (k≥n0，k∈N*)時命題成立，證明當n＝k＋1時命題也成立．
只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立．上述證明方法叫做數學歸納法．
[難點正本 疑點清源]
1．數學歸納法是一種重要的數學思想方法，主要用于解決與正整數有關的數學問題．證明時步驟(1)和(2)缺一不可，步驟(1)是步驟(2)的基礎，步驟(2)是遞推的依據．
2．在用數學歸納法證明時，第(1)步驗算n＝n0的n0不一定為1，而是根據題目要求，選擇合適的起始值．第(2)步，證明n＝k＋1時命題也成立的過程，一定要用到歸納假設，否則就不是數學歸納法．
1． 凸k邊形內角和為f(k)，則凸k＋1邊形的內角和為f(k＋1)＝f(k)＋________.
答案 π
解析 易得f(k＋1)＝f(k)＋π.
2． 用數學歸納法證明：“1＋＋＋…＋
1)”，由n＝k (k>1)不等式成立，推證n＝k＋1時，左邊應增加的項的項數是________．
答案 2k
解析 n＝k時，左邊＝1＋＋…＋，
當n＝k＋1時，
左邊＝1＋＋＋…＋＋…＋.
所以左邊應增加的項的項數為2k.
3． 用數學歸納法證明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N＋)，在驗證n＝1成立時，左邊需計算的項是 ( )
A．1 B．1＋a
C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3
答案 C
解析 觀察等式左邊的特征易知選C.
4． 已知n為正偶數，用數學歸納法證明1－＋－＋…－＝2時，若已假設n＝k(k≥2且k為偶數)時命題為真，則還需要用歸納假設再證 ( )
A．n＝k＋1時等式成立
B．n＝k＋2時等式成立
C．n＝2k＋2時等式成立
D．n＝2(k＋2)時等式成立
答案 B
解析 因為假設n＝k(k≥2且k為偶數)，故下一個偶數為k＋2，故選B.
5． 已知f(n)＝＋＋＋…＋，則 ( )
A．f(n)中共有n項，當n＝2時，f(2)＝＋
B．f(n)中共有n＋1項，當n＝2時，f(2)＝＋＋
C．f(n)中共有n2－n項，當n＝2時，f(2)＝＋
D．f(n)中共有n2－n＋1項，當n＝2時，f(2)＝＋＋
答案 D
解析 從n到n2共有n2－n＋1個數，
所以f(n)中共有n2－n＋1項.
題型一 用數學歸納法證明等式
例1 已知n∈N*，證明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.
思維啟迪：等式的左邊有2n項，右邊有n項，左邊的分母是從1到2n的連續(xù)正整數，末項與n有關，右邊的分母是從n＋1到n＋n的連續(xù)正整數，首、末項都與n有關．
證明 (1)當n＝1時，左邊＝1－＝，
右邊＝，等式成立；
(2)假設當n＝k(k∈N*)時等式成立，即
1－＋－＋…＋－
＝＋＋…＋，
那么當n＝k＋1時，
左邊＝1－＋－＋…＋－＋－
＝＋－
＝＋＋…＋＋＋
＝＋＋…＋＋＝右邊，
所以當n＝k＋1時等式也成立．
綜合(1)(2)知對一切n∈N*，等式都成立．
探究提高 (1)用數學歸納法證明等式問題是常見題型，其關鍵點在于弄清等式兩邊的構成規(guī)律，等式兩邊各有多少項，初始值n0是幾；
(2)由n＝k到n＝k＋1時，除等式兩邊變化的項外還要充分利用n＝k時的式子，即充分利用假設，正確寫出歸納證明的步驟，從而使問題得以證明．
用數學歸納法證明：
對任意的n∈N*，＋＋…＋＝.
證明 (1)當n＝1時，左邊＝＝，
右邊＝＝，左邊＝右邊，所以等式成立．
(2)假設當n＝k(k∈N*)時等式成立，即
＋＋…＋＝，
則當n＝k＋1時，
＋＋…＋＋
＝＋＝
＝＝＝，
所以當n＝k＋1時，等式也成立．
由(1)(2)可知，對一切n∈N*等式都成立．
題型二 用數學歸納法證明不等式
例2 用數學歸納法證明：
1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n (n∈N*)．
思維啟迪：利用假設后，要注意不等式的放大和縮?。?
證明 (1)當n＝1時，左邊＝1＋，右邊＝＋1，
∴≤1＋≤，即命題成立．
(2)假設當n＝k (k∈N*)時命題成立，即
1＋≤1＋＋＋…＋≤＋k，
則當n＝k＋1時，
1＋＋＋…＋＋＋＋…＋
>1＋＋2k＝1＋.
又1＋＋＋…＋＋＋＋…＋
<＋k＋2k＝＋(k＋1)，
即n＝k＋1時，命題成立．
由(1)(2)可知，命題對所有n∈N*都成立．
探究提高 (1)用數學歸納法證明與n有關的不等式一般有兩種具體形式：一是直接給出不等式，按要求進行證明；二是給出兩個式子，按要求比較它們的大小，對第二類形式往往要先對n取前幾個值的情況分別驗證比較，以免出現判斷失誤，最后猜出從某個n值開始都成立的結論，常用數學歸納法證明．
(2)用數學歸納法證明不等式的關鍵是由n＝k時成立得n＝k＋1時成立，主要方法有①放縮法；②利用基本不等式法；③作差比較法等．
用數學歸納法證明：對一切大于1的自然數，不等式…>均成立．
證明 (1)當n＝2時，左邊＝1＋＝；右邊＝.
∵左邊>右邊，∴不等式成立．
(2)假設當n＝k(k≥2，且k∈N*)時不等式成立，即…>.
則當n＝k＋1時，
…>＝
＝>
＝＝.
∴當n＝k＋1時，不等式也成立．
由(1)(2)知，對于一切大于1的自然數n，不等式都成立．
題型三 用數學歸納法證明整除性問題
例3 用數學歸納法證明42n＋1＋3n＋2能被13整除，其中n為正整數．
思維啟迪：當n＝k＋1時，把42(k＋1)＋1＋3k＋3配湊成42k＋1＋3k＋2的形式是解題的關鍵．
證明 (1)當n＝1時，421＋1＋31＋2＝91能被13整除．
(2)假設當n＝k(k∈N＋)時，42k＋1＋3k＋2能被13整除，
則當n＝k＋1時，
方法一 42(k＋1)＋1＋3k＋3＝42k＋142＋3k＋23－42k＋13＋42k＋13
＝42k＋113＋3(42k＋1＋3k＋2)，
∵42k＋113能被13整除，42k＋1＋3k＋2能被13整除．
∴42(k＋1)＋1＋3k＋3能被13整除．
方法二 因為[42(k＋1)＋1＋3k＋3]－3(42k＋1＋3k＋2)
＝(42k＋142＋3k＋23)－3(42k＋1＋3k＋2)
＝42k＋113，
∵42k＋113能被13整除，
∴[42(k＋1)＋1＋3k＋3]－3(42k＋1＋3k＋2)能被13整除，因而42(k＋1)＋1＋3k＋3能被13整除，
∴當n＝k＋1時命題也成立，
由(1)(2)知，當n∈N＋時，42n＋1＋3n＋2能被13整除．
探究提高 用數學歸納法證明整除問題，P(k)?P(k＋1)的整式變形是個難點，找出它們之間的差異，然后將P(k＋1)進行分拆、配湊成P(k)的形式，也可運用結論：“P(k)能被p整除且P(k＋1)－P(k)能被p整除?P(k＋1)能被p整除．”
已知n為正整數，a∈Z，用數學歸納法證明：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除．
證明 (1)當n＝1時，an＋1＋(a＋1)2n－1＝a2＋a＋1，能被a2＋a＋1整除．
(2)假設n＝k(k∈N＋)時，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，那么當n＝k＋1時，
ak＋2＋(a＋1)2k＋1
＝(a＋1)2[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋ak＋2－ak＋1(a＋1)2
＝(a＋1)2[ak＋1＋(a＋1)2k－1]－ak＋1(a2＋a＋1)能被a2＋a＋1整除．
即當n＝k＋1時命題也成立．
根據(1)(2)可知，對于任意n∈N＋，an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除．
歸納、猜想、證明
典例：(12分)在各項為正的數列{an}中，數列的前n項和Sn滿足Sn＝.
(1)求a1，a2，a3；(2)由(1)猜想數列{an}的通項公式，并且用數學歸納法證明你的猜想．
審題視角 (1)數列{an}的各項均為正數，且Sn＝，所以可根據解方程求出a1，a2，a3；(2)觀察a1，a2，a3猜想出{an}的通項公式an，然后再證明．
規(guī)范解答
解 (1)S1＝a1＝得a＝1.
∵an>0，∴a1＝1，[1分]
由S2＝a1＋a2＝，
得a＋2a2－1＝0，∴a2＝－1.[2分]
又由S3＝a1＋a2＋a3＝
得a＋2a3－1＝0，∴a3＝－.[3分]
(2)猜想an＝－ (n∈N*)[5分]
證明：①當n＝1時，a1＝1＝－，猜想成立．[6分]
②假設當n＝k (k∈N*)時猜想成立，
即ak＝－，
則當n＝k＋1時，ak＋1＝Sk＋1－Sk
＝－，
即ak＋1＝－
＝－，
∴a＋2ak＋1－1＝0，∴ak＋1＝－.
即n＝k＋1時猜想成立．[11分]
由①②知，an＝－ (n∈N*)．[12分]
溫馨提醒 (1)本題運用了從特殊到一般的探索、歸納、猜想及證明的思維方式去探索和發(fā)現問題，并證明所得結論的正確性，這是非常重要的一種思維能力．
(2)本題易錯原因是，第(1)問求a1，a2，a3的值時，易計算錯誤或歸納不出an的一般表達式．第(2)問想不到再次利用解方程的方法求解，找不到解決問題的突破口.
方法與技巧
1． 在數學歸納法中，歸納奠基和歸納遞推缺一不可．在較復雜的式子中，注意由n＝k到n＝k＋1時，式子中項數的變化，應仔細分析，觀察通項．同時還應注意，不用假設的證法不是數學歸納法．
2． 對于證明等式問題，在證n＝k＋1等式也成立時，應及時把結論和推導過程對比，以減少計算時的復雜程度；對于整除性問題，關鍵是湊假設；證明不等式時，一般要運用放縮法．
3． 歸納—猜想—證明屬于探索性問題的一種，一般經過計算、觀察、歸納，然后猜想出結論，再用數學歸納法證明．由于“猜想”是“證明”的前提和“對象”，務必保證猜想的正確性，同時必須注意數學歸納法步驟的書寫．
失誤與防范
1． 數學歸納法僅適用于與正整數有關的數學命題．
2． 嚴格按照數學歸納法的三個步驟書寫，特別是對初始值的驗證不可省略，有時要取兩個
(或兩個以上)初始值進行驗證；初始值的驗證是歸納假設的基礎．
3． 注意n＝k＋1時命題的正確性．
4． 在進行n＝k＋1命題證明時，一定要用n＝k時的命題，沒有用到該命題而推理證明的方法不是數學歸納法．
A組 專項基礎訓練
(時間：35分鐘，滿分：57分)
一、選擇題(每小題5分，共20分)
1． 用數學歸納法證明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，在驗證n＝1時，左邊計算所得的式子為 ( )
A．1 B．1＋2
C．1＋2＋22 D．1＋2＋22＋23
答案 D
解析 左邊的指數從0開始，依次加1，直到n＋2，所以當n＝1時，應加到23，故選D.
2． 用數學歸納法證明“2n>n2＋1對于n≥n0的正整數n都成立”時，第一步證明中的起始值n0應取 ( )
A．2 B．3 C．5 D．6
答案 C
解析 令n0分別取2,3,5,6，依次驗證即得．
3． 用數學歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝，則當n＝k＋1時左端應在n＝k的基礎上加上 ( )
A．k2＋1
B．(k＋1)2
C.
D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2
答案 D
解析 當n＝k時，左端＝1＋2＋3＋…＋k2.
當n＝k＋1時，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，
故當n＝k＋1時，左端應在n＝k的基礎上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.故應選D.
4． 用數學歸納法證明：“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n13…(2n－1)”，從“k到k＋1”左端需增乘的代數式為 ( )
A．2k＋1 B．2(2k＋1)
C. D.
答案 B
解析 n＝k＋1時，左端為
(k＋2)(k＋3)…[(k＋1)＋(k－1)][(k＋1)＋k][(k＋1)＋(k＋1)]＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)
＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)[2(2k＋1)]，∴應乘2(2k＋1)．
二、填空題(每小題5分，共15分)
5． 用數學歸納法證明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N＋)”時，第一步驗證為________．
答案 當n＝1時，左邊＝4≥右邊，不等式成立
解析 由n∈N＋可知初始值為1.
6． 若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，則f(k＋1)與f(k)的遞推關系式是__________．
答案 f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2
解析 ∵f(k)＝12＋22＋…＋(2k)2，
∴f(k＋1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2；
∴f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.
7． 用數學歸納法證明“當n為正奇數時，xn＋yn能被x＋y整除”，當第二步假設n＝2k－1(k∈N＋)命題為真時，進而需證n＝________時，命題亦真．
答案 2k＋1
解析 因為n為正奇數，所以與2k－1相鄰的下一個奇數是2k＋1.
三、解答題(共22分)
8． (10分)若n為大于1的自然數，求證：
＋＋…＋>.
證明 (1)當n＝2時，＋＝>.
(2)假設當n＝k(k∈N＋)時不等式成立，
即＋＋…＋>，
那么當n＝k＋1時，
＋＋…＋
＝＋＋…＋＋＋＋－
＝＋＋－
>＋＋－＝＋－
＝＋>.
這就是說，當n＝k＋1時，不等式也成立．
由(1)(2)可知，原不等式對任意大于1的自然數都成立．
9． (12分)已知點Pn(an，bn)滿足an＋1＝anbn＋1，bn＋1＝(n∈N*)且點P1的坐標為
(1，－1)．
(1)求過點P1，P2的直線l的方程；
(2)試用數學歸納法證明：對于n∈N*，點Pn都在(1)中的直線l上．
(1)解 由P1的坐標為(1，－1)知a1＝1，b1＝－1.
∴b2＝＝.a2＝a1b2＝.
∴點P2的坐標為，∴直線l的方程為2x＋y＝1.
(2)證明 ①當n＝1時，2a1＋b1＝21＋(－1)＝1成立．
②假設當n＝k(k∈N*)時，2ak＋bk＝1成立，
則當n＝k＋1時，2ak＋1＋bk＋1＝2akbk＋1＋bk＋1
＝(2ak＋1)＝＝＝1，
∴當n＝k＋1時，命題也成立．
由①②知，對于n∈N*，都有2an＋bn＝1，
即點Pn在直線l上．
B組 專項能力提升
(時間：25分鐘，滿分：43分)
一、選擇題(每小題5分，共15分)
1． 對于不等式 (n∈N*)成立，其初始值至少應取
( )
A．7 B．8 C．9 D．10
答案 B
解析 左邊＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入驗證可知n的最小值是8.
二、填空題(每小題5分，共15分)
4． 平面上有n條直線，它們任何兩條不平行，任何三條不共點，設k條這樣的直線把平面分成f(k)個區(qū)域，則k＋1條直線把平面分成的區(qū)域數f(k＋1)＝f(k)＋________.
答案 k＋1
解析 當n＝k＋1時，第k＋1條直線被前k條直線分成(k＋1)段，而每一段將它們所在區(qū)域一分為二，故增加了k＋1個區(qū)域．
5． 用數學歸納法證明…> (k>1)，則當n＝k＋1時，左端應乘上____________________________，這個乘上去的代數式共有因式的個數是__________．
答案 … 2k－1
解析 因為分母的公差為2，所以乘上去的第一個因式是，最后一個是，根據等差數列通項公式可求得共有＋1＝2k－2k－1＝2k－1項．
6． 在數列{an}中，a1＝且Sn＝n(2n－1)an，通過計算a2，a3，a4，猜想an的表達式是________．
答案 an＝
解析 當n＝2時，a1＋a2＝6a2，即a2＝a1＝；
當n＝3時，a1＋a2＋a3＝15a3，
即a3＝(a1＋a2)＝；
當n＝4時，a1＋a2＋a3＋a4＝28a4，
即a4＝(a1＋a2＋a3)＝.
∴a1＝＝，a2＝＝，a3＝＝，a4＝，
故猜想an＝.
三、解答題
7． (13分)已知函數f(x)＝ax－x2的最大值不大于，又當x∈時，f(x)≥.
(1)求a的值；
(2)設0
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13.4數學歸納法教案
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