《2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 13.4數(shù)學(xué)歸納法教案 理 新人教A版 .DOC》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 13.4數(shù)學(xué)歸納法教案 理 新人教A版 .DOC（13頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 13.4數(shù)學(xué)歸納法教案 理 新人教A版
xx高考會(huì)這樣考 1.考查數(shù)學(xué)歸納法的原理和證題步驟；2.用數(shù)學(xué)歸納法證明與等式、不等式或數(shù)列有關(guān)的命題，考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．
復(fù)習(xí)備考要這樣做 1.理解數(shù)學(xué)歸納法的歸納遞推思想及其在證題中的應(yīng)用；2.規(guī)范書(shū)寫(xiě)數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟．
數(shù)學(xué)歸納法
一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：
(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0 (n0∈N*)時(shí)命題成立；
(2)(歸納遞推)假設(shè)n＝k (k≥n0，k∈N*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立．
只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立．上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法．
[難點(diǎn)正本 疑點(diǎn)清源]
1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題．證明時(shí)步驟(1)和(2)缺一不可，步驟(1)是步驟(2)的基礎(chǔ)，步驟(2)是遞推的依據(jù)．
2．在用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第(1)步驗(yàn)算n＝n0的n0不一定為1，而是根據(jù)題目要求，選擇合適的起始值．第(2)步，證明n＝k＋1時(shí)命題也成立的過(guò)程，一定要用到歸納假設(shè)，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法．
1． 凸k邊形內(nèi)角和為f(k)，則凸k＋1邊形的內(nèi)角和為f(k＋1)＝f(k)＋________.
答案 π
解析 易得f(k＋1)＝f(k)＋π.
2． 用數(shù)學(xué)歸納法證明：“1＋＋＋…＋
1)”，由n＝k (k>1)不等式成立，推證n＝k＋1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是________．
答案 2k
解析 n＝k時(shí)，左邊＝1＋＋…＋，
當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
左邊＝1＋＋＋…＋＋…＋.
所以左邊應(yīng)增加的項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為2k.
3． 用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N＋)，在驗(yàn)證n＝1成立時(shí)，左邊需計(jì)算的項(xiàng)是 ( )
A．1 B．1＋a
C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3
答案 C
解析 觀察等式左邊的特征易知選C.
4． 已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明1－＋－＋…－＝2時(shí)，若已假設(shè)n＝k(k≥2且k為偶數(shù))時(shí)命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證 ( )
A．n＝k＋1時(shí)等式成立
B．n＝k＋2時(shí)等式成立
C．n＝2k＋2時(shí)等式成立
D．n＝2(k＋2)時(shí)等式成立
答案 B
解析 因?yàn)榧僭O(shè)n＝k(k≥2且k為偶數(shù))，故下一個(gè)偶數(shù)為k＋2，故選B.
5． 已知f(n)＝＋＋＋…＋，則 ( )
A．f(n)中共有n項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝＋
B．f(n)中共有n＋1項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝＋＋
C．f(n)中共有n2－n項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝＋
D．f(n)中共有n2－n＋1項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝＋＋
答案 D
解析 從n到n2共有n2－n＋1個(gè)數(shù)，
所以f(n)中共有n2－n＋1項(xiàng).
題型一 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式
例1 已知n∈N*，證明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.
思維啟迪：等式的左邊有2n項(xiàng)，右邊有n項(xiàng)，左邊的分母是從1到2n的連續(xù)正整數(shù)，末項(xiàng)與n有關(guān)，右邊的分母是從n＋1到n＋n的連續(xù)正整數(shù)，首、末項(xiàng)都與n有關(guān)．
證明 (1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1－＝，
右邊＝，等式成立；
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)等式成立，即
1－＋－＋…＋－
＝＋＋…＋，
那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
左邊＝1－＋－＋…＋－＋－
＝＋－
＝＋＋…＋＋＋
＝＋＋…＋＋＝右邊，
所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式也成立．
綜合(1)(2)知對(duì)一切n∈N*，等式都成立．
探究提高 (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問(wèn)題是常見(jiàn)題型，其關(guān)鍵點(diǎn)在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，初始值n0是幾；
(2)由n＝k到n＝k＋1時(shí)，除等式兩邊變化的項(xiàng)外還要充分利用n＝k時(shí)的式子，即充分利用假設(shè)，正確寫(xiě)出歸納證明的步驟，從而使問(wèn)題得以證明．
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
對(duì)任意的n∈N*，＋＋…＋＝.
證明 (1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝＝，
右邊＝＝，左邊＝右邊，所以等式成立．
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)等式成立，即
＋＋…＋＝，
則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
＋＋…＋＋
＝＋＝
＝＝＝，
所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立．
由(1)(2)可知，對(duì)一切n∈N*等式都成立．
題型二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式
例2 用數(shù)學(xué)歸納法證明：
1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n (n∈N*)．
思維啟迪：利用假設(shè)后，要注意不等式的放大和縮?。?
證明 (1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1＋，右邊＝＋1，
∴≤1＋≤，即命題成立．
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k (k∈N*)時(shí)命題成立，即
1＋≤1＋＋＋…＋≤＋k，
則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
1＋＋＋…＋＋＋＋…＋
>1＋＋2k＝1＋.
又1＋＋＋…＋＋＋＋…＋
<＋k＋2k＝＋(k＋1)，
即n＝k＋1時(shí)，命題成立．
由(1)(2)可知，命題對(duì)所有n∈N*都成立．
探究提高 (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明與n有關(guān)的不等式一般有兩種具體形式：一是直接給出不等式，按要求進(jìn)行證明；二是給出兩個(gè)式子，按要求比較它們的大小，對(duì)第二類形式往往要先對(duì)n取前幾個(gè)值的情況分別驗(yàn)證比較，以免出現(xiàn)判斷失誤，最后猜出從某個(gè)n值開(kāi)始都成立的結(jié)論，常用數(shù)學(xué)歸納法證明．
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n＝k時(shí)成立得n＝k＋1時(shí)成立，主要方法有①放縮法；②利用基本不等式法；③作差比較法等．
用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)一切大于1的自然數(shù)，不等式…>均成立．
證明 (1)當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝1＋＝；右邊＝.
∵左邊>右邊，∴不等式成立．
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，且k∈N*)時(shí)不等式成立，即…>.
則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
…>＝
＝>
＝＝.
∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立．
由(1)(2)知，對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n，不等式都成立．
題型三 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問(wèn)題
例3 用數(shù)學(xué)歸納法證明42n＋1＋3n＋2能被13整除，其中n為正整數(shù)．
思維啟迪：當(dāng)n＝k＋1時(shí)，把42(k＋1)＋1＋3k＋3配湊成42k＋1＋3k＋2的形式是解題的關(guān)鍵．
證明 (1)當(dāng)n＝1時(shí)，421＋1＋31＋2＝91能被13整除．
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋)時(shí)，42k＋1＋3k＋2能被13整除，
則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
方法一 42(k＋1)＋1＋3k＋3＝42k＋142＋3k＋23－42k＋13＋42k＋13
＝42k＋113＋3(42k＋1＋3k＋2)，
∵42k＋113能被13整除，42k＋1＋3k＋2能被13整除．
∴42(k＋1)＋1＋3k＋3能被13整除．
方法二 因?yàn)閇42(k＋1)＋1＋3k＋3]－3(42k＋1＋3k＋2)
＝(42k＋142＋3k＋23)－3(42k＋1＋3k＋2)
＝42k＋113，
∵42k＋113能被13整除，
∴[42(k＋1)＋1＋3k＋3]－3(42k＋1＋3k＋2)能被13整除，因而42(k＋1)＋1＋3k＋3能被13整除，
∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立，
由(1)(2)知，當(dāng)n∈N＋時(shí)，42n＋1＋3n＋2能被13整除．
探究提高 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題，P(k)?P(k＋1)的整式變形是個(gè)難點(diǎn)，找出它們之間的差異，然后將P(k＋1)進(jìn)行分拆、配湊成P(k)的形式，也可運(yùn)用結(jié)論：“P(k)能被p整除且P(k＋1)－P(k)能被p整除?P(k＋1)能被p整除．”
已知n為正整數(shù)，a∈Z，用數(shù)學(xué)歸納法證明：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除．
證明 (1)當(dāng)n＝1時(shí)，an＋1＋(a＋1)2n－1＝a2＋a＋1，能被a2＋a＋1整除．
(2)假設(shè)n＝k(k∈N＋)時(shí)，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
ak＋2＋(a＋1)2k＋1
＝(a＋1)2[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋ak＋2－ak＋1(a＋1)2
＝(a＋1)2[ak＋1＋(a＋1)2k－1]－ak＋1(a2＋a＋1)能被a2＋a＋1整除．
即當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立．
根據(jù)(1)(2)可知，對(duì)于任意n∈N＋，an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除．
歸納、猜想、證明
典例：(12分)在各項(xiàng)為正的數(shù)列{an}中，數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＝.
(1)求a1，a2，a3；(2)由(1)猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并且用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．
審題視角 (1)數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且Sn＝，所以可根據(jù)解方程求出a1，a2，a3；(2)觀察a1，a2，a3猜想出{an}的通項(xiàng)公式an，然后再證明．
規(guī)范解答
解 (1)S1＝a1＝得a＝1.
∵an>0，∴a1＝1，[1分]
由S2＝a1＋a2＝，
得a＋2a2－1＝0，∴a2＝－1.[2分]
又由S3＝a1＋a2＋a3＝
得a＋2a3－1＝0，∴a3＝－.[3分]
(2)猜想an＝－ (n∈N*)[5分]
證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1＝－，猜想成立．[6分]
②假設(shè)當(dāng)n＝k (k∈N*)時(shí)猜想成立，
即ak＝－，
則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋1＝Sk＋1－Sk
＝－，
即ak＋1＝－
＝－，
∴a＋2ak＋1－1＝0，∴ak＋1＝－.
即n＝k＋1時(shí)猜想成立．[11分]
由①②知，an＝－ (n∈N*)．[12分]
溫馨提醒 (1)本題運(yùn)用了從特殊到一般的探索、歸納、猜想及證明的思維方式去探索和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，并證明所得結(jié)論的正確性，這是非常重要的一種思維能力．
(2)本題易錯(cuò)原因是，第(1)問(wèn)求a1，a2，a3的值時(shí)，易計(jì)算錯(cuò)誤或歸納不出an的一般表達(dá)式．第(2)問(wèn)想不到再次利用解方程的方法求解，找不到解決問(wèn)題的突破口.
方法與技巧
1． 在數(shù)學(xué)歸納法中，歸納奠基和歸納遞推缺一不可．在較復(fù)雜的式子中，注意由n＝k到n＝k＋1時(shí)，式子中項(xiàng)數(shù)的變化，應(yīng)仔細(xì)分析，觀察通項(xiàng)．同時(shí)還應(yīng)注意，不用假設(shè)的證法不是數(shù)學(xué)歸納法．
2． 對(duì)于證明等式問(wèn)題，在證n＝k＋1等式也成立時(shí)，應(yīng)及時(shí)把結(jié)論和推導(dǎo)過(guò)程對(duì)比，以減少計(jì)算時(shí)的復(fù)雜程度；對(duì)于整除性問(wèn)題，關(guān)鍵是湊假設(shè)；證明不等式時(shí)，一般要運(yùn)用放縮法．
3． 歸納—猜想—證明屬于探索性問(wèn)題的一種，一般經(jīng)過(guò)計(jì)算、觀察、歸納，然后猜想出結(jié)論，再用數(shù)學(xué)歸納法證明．由于“猜想”是“證明”的前提和“對(duì)象”，務(wù)必保證猜想的正確性，同時(shí)必須注意數(shù)學(xué)歸納法步驟的書(shū)寫(xiě)．
失誤與防范
1． 數(shù)學(xué)歸納法僅適用于與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題．
2． 嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)歸納法的三個(gè)步驟書(shū)寫(xiě)，特別是對(duì)初始值的驗(yàn)證不可省略，有時(shí)要取兩個(gè)
(或兩個(gè)以上)初始值進(jìn)行驗(yàn)證；初始值的驗(yàn)證是歸納假設(shè)的基礎(chǔ)．
3． 注意n＝k＋1時(shí)命題的正確性．
4． 在進(jìn)行n＝k＋1命題證明時(shí)，一定要用n＝k時(shí)的命題，沒(méi)有用到該命題而推理證明的方法不是數(shù)學(xué)歸納法．
A組 專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練
(時(shí)間：35分鐘，滿分：57分)
一、選擇題(每小題5分，共20分)
1． 用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，在驗(yàn)證n＝1時(shí)，左邊計(jì)算所得的式子為 ( )
A．1 B．1＋2
C．1＋2＋22 D．1＋2＋22＋23
答案 D
解析 左邊的指數(shù)從0開(kāi)始，依次加1，直到n＋2，所以當(dāng)n＝1時(shí)，應(yīng)加到23，故選D.
2． 用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n>n2＋1對(duì)于n≥n0的正整數(shù)n都成立”時(shí)，第一步證明中的起始值n0應(yīng)取 ( )
A．2 B．3 C．5 D．6
答案 C
解析 令n0分別取2,3,5,6，依次驗(yàn)證即得．
3． 用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上 ( )
A．k2＋1
B．(k＋1)2
C.
D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2
答案 D
解析 當(dāng)n＝k時(shí)，左端＝1＋2＋3＋…＋k2.
當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，
故當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.故應(yīng)選D.
4． 用數(shù)學(xué)歸納法證明：“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n13…(2n－1)”，從“k到k＋1”左端需增乘的代數(shù)式為 ( )
A．2k＋1 B．2(2k＋1)
C. D.
答案 B
解析 n＝k＋1時(shí)，左端為
(k＋2)(k＋3)…[(k＋1)＋(k－1)][(k＋1)＋k][(k＋1)＋(k＋1)]＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)
＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)[2(2k＋1)]，∴應(yīng)乘2(2k＋1)．
二、填空題(每小題5分，共15分)
5． 用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N＋)”時(shí)，第一步驗(yàn)證為_(kāi)_______．
答案 當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝4≥右邊，不等式成立
解析 由n∈N＋可知初始值為1.
6． 若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，則f(k＋1)與f(k)的遞推關(guān)系式是__________．
答案 f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2
解析 ∵f(k)＝12＋22＋…＋(2k)2，
∴f(k＋1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2；
∴f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.
7． 用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xn＋yn能被x＋y整除”，當(dāng)?shù)诙郊僭O(shè)n＝2k－1(k∈N＋)命題為真時(shí)，進(jìn)而需證n＝________時(shí)，命題亦真．
答案 2k＋1
解析 因?yàn)閚為正奇數(shù)，所以與2k－1相鄰的下一個(gè)奇數(shù)是2k＋1.
三、解答題(共22分)
8． (10分)若n為大于1的自然數(shù)，求證：
＋＋…＋>.
證明 (1)當(dāng)n＝2時(shí)，＋＝>.
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋)時(shí)不等式成立，
即＋＋…＋>，
那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
＋＋…＋
＝＋＋…＋＋＋＋－
＝＋＋－
>＋＋－＝＋－
＝＋>.
這就是說(shuō)，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立．
由(1)(2)可知，原不等式對(duì)任意大于1的自然數(shù)都成立．
9． (12分)已知點(diǎn)Pn(an，bn)滿足an＋1＝anbn＋1，bn＋1＝(n∈N*)且點(diǎn)P1的坐標(biāo)為
(1，－1)．
(1)求過(guò)點(diǎn)P1，P2的直線l的方程；
(2)試用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)于n∈N*，點(diǎn)Pn都在(1)中的直線l上．
(1)解 由P1的坐標(biāo)為(1，－1)知a1＝1，b1＝－1.
∴b2＝＝.a2＝a1b2＝.
∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為，∴直線l的方程為2x＋y＝1.
(2)證明 ①當(dāng)n＝1時(shí)，2a1＋b1＝21＋(－1)＝1成立．
②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)，2ak＋bk＝1成立，
則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，2ak＋1＋bk＋1＝2akbk＋1＋bk＋1
＝(2ak＋1)＝＝＝1，
∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題也成立．
由①②知，對(duì)于n∈N*，都有2an＋bn＝1，
即點(diǎn)Pn在直線l上．
B組 專項(xiàng)能力提升
(時(shí)間：25分鐘，滿分：43分)
一、選擇題(每小題5分，共15分)
1． 對(duì)于不等式 (n∈N*)成立，其初始值至少應(yīng)取
( )
A．7 B．8 C．9 D．10
答案 B
解析 左邊＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入驗(yàn)證可知n的最小值是8.
二、填空題(每小題5分，共15分)
4． 平面上有n條直線，它們?nèi)魏蝺蓷l不平行，任何三條不共點(diǎn)，設(shè)k條這樣的直線把平面分成f(k)個(gè)區(qū)域，則k＋1條直線把平面分成的區(qū)域數(shù)f(k＋1)＝f(k)＋________.
答案 k＋1
解析 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，第k＋1條直線被前k條直線分成(k＋1)段，而每一段將它們所在區(qū)域一分為二，故增加了k＋1個(gè)區(qū)域．
5． 用數(shù)學(xué)歸納法證明…> (k>1)，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左端應(yīng)乘上____________________________，這個(gè)乘上去的代數(shù)式共有因式的個(gè)數(shù)是__________．
答案 … 2k－1
解析 因?yàn)榉帜傅墓顬?，所以乘上去的第一個(gè)因式是，最后一個(gè)是，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式可求得共有＋1＝2k－2k－1＝2k－1項(xiàng)．
6． 在數(shù)列{an}中，a1＝且Sn＝n(2n－1)an，通過(guò)計(jì)算a2，a3，a4，猜想an的表達(dá)式是________．
答案 an＝
解析 當(dāng)n＝2時(shí)，a1＋a2＝6a2，即a2＝a1＝；
當(dāng)n＝3時(shí)，a1＋a2＋a3＝15a3，
即a3＝(a1＋a2)＝；
當(dāng)n＝4時(shí)，a1＋a2＋a3＋a4＝28a4，
即a4＝(a1＋a2＋a3)＝.
∴a1＝＝，a2＝＝，a3＝＝，a4＝，
故猜想an＝.
三、解答題
7． (13分)已知函數(shù)f(x)＝ax－x2的最大值不大于，又當(dāng)x∈時(shí)，f(x)≥.
(1)求a的值；
(2)設(shè)0
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13.4數(shù)學(xué)歸納法教案
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數(shù)學(xué)
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13.4
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