2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.2 幾種常見(jiàn)的平面變換教案 蘇教版選修4-2.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.2 幾種常見(jiàn)的平面變換教案 蘇教版選修4-2 2．2.1恒等變換 2．2.2伸壓變換 2．2.3反射變換 課標(biāo)解讀 1.掌握恒等、伸壓、反射變換的特點(diǎn)，熟知常用的恒等、伸壓、反射變換矩陣的特點(diǎn)． 2．了解恒等、伸壓、反射變換的矩陣表示及其幾何意義． 3．能用矩陣變換把平面上的直線變成直線(或點(diǎn)). 1．恒等變換 對(duì)平面上任何一點(diǎn)(向量)或圖形施以矩陣對(duì)應(yīng)的變換，都能把自身變成自身．因此，我們把這種特殊的矩陣稱為恒等變換矩陣或單位矩陣，所實(shí)施的對(duì)應(yīng)變換稱為恒等變換．我們把矩陣稱為恒等變換矩陣或單位矩陣，可記為E. 2．伸壓變換 矩陣M1＝把平面上每一個(gè)點(diǎn)P都向x軸方向垂直壓縮為原來(lái)的一半，只有x軸上的點(diǎn)沒(méi)變； 矩陣M2＝把平面上每一個(gè)點(diǎn)P都沿x軸方向伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，只有y軸上的點(diǎn)沒(méi)變． 像矩陣，這種將平面圖形作沿y軸方向伸長(zhǎng)或壓縮，或作沿x軸方向伸長(zhǎng)或壓縮的變換矩陣，通常稱為沿y軸或x軸的垂直伸壓變換矩陣，對(duì)應(yīng)變換為垂直伸壓變換，簡(jiǎn)稱伸壓變換． 3．反射變換 (1)反射變換的概念 像，，這樣將一個(gè)平面圖形F變?yōu)殛P(guān)于定直線或定點(diǎn)對(duì)稱的平面圖形的變換矩陣，我們稱之為反射變換矩陣，對(duì)應(yīng)的變換叫做反射變換．關(guān)于定直線或定點(diǎn)對(duì)稱的反射又分別稱為軸反射和中心反射，其中定直線稱為反射軸，定點(diǎn)稱做反射點(diǎn)． (2)反射變換的分類 與矩陣M1＝對(duì)應(yīng)的變換是關(guān)于x軸的軸反射變換． 與矩陣M2＝對(duì)應(yīng)的變換是關(guān)于y軸的軸反射變換． 與矩陣M3＝對(duì)應(yīng)的變換是關(guān)于原點(diǎn)的中心反射變換． 與矩陣M4＝對(duì)應(yīng)的變換是關(guān)于直線y＝x的軸反射變換． 4．線性變換 一般地，二階非零矩陣對(duì)應(yīng)的變換把直線變?yōu)橹本€，這種把直線變?yōu)橹本€的變換，通常叫做線性變換． 1．設(shè)單位向量i＝(0,1)，j＝(1,0)，以i，j為鄰邊的正方形稱為單位正方形，則單位矩陣對(duì)單位正方形作用后得到一個(gè)什么樣的圖形？ 【提示】　由于Ei＝＝， Ej＝＝.所以單位矩陣對(duì)單位正方形作用后的圖形仍為單位正方形． 2．如何理解伸壓變換？ 【提示】　伸壓變換是指沿著特定坐標(biāo)軸方向伸長(zhǎng)或者壓縮的變換，我們不能簡(jiǎn)單地把伸壓變換理解為把平面上的點(diǎn)向下壓，或者向上拉伸．以矩陣為例，它所對(duì)應(yīng)的變換是將坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，x軸上方的點(diǎn)垂直向x軸壓縮，縱坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的一半，而x軸下方的點(diǎn)也垂直向x軸壓縮，縱坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的一半，又因?yàn)閤軸上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為0，所以“原地不動(dòng)”． 類似地，對(duì)應(yīng)的變換則是將平面上點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，將y軸左邊的點(diǎn)的橫坐標(biāo)向左拉伸為原來(lái)的2倍，y軸右邊的橫坐標(biāo)向右拉伸為原來(lái)的2倍，而y軸上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)都為0，所以“原地不動(dòng)”． 3．反射變換的作用是什么？ 【提示】　根據(jù)反射變換的定義知，其作用就是把一個(gè)點(diǎn)(向量)或平面圖形變?yōu)樗妮S對(duì)稱或中心對(duì)稱圖形． 伸壓變換的應(yīng)用 　求直線y＝4x在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下所得的圖形． 【思路探究】　矩陣對(duì)應(yīng)的是沿y軸方向的伸壓變換，它使得平面上的點(diǎn)變換前后橫坐標(biāo)保持不變，而縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的一半，從而可用求軌跡方程的代入法(相關(guān)點(diǎn)法)求其軌跡． 【自主解答】　任意選取直線y＝4x上的一點(diǎn)P(x0，y0)，它在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)镻′(x0′，y0′)，則有＝＝. 則有：故 又因?yàn)辄c(diǎn)P在直線y＝4x上， 所以y0＝4x0，即有2y0′＝4x0′. 因此y0′＝2x0′，從而直線y＝4x在矩陣作用下變成直線y＝2x. 利用伸壓變換解決問(wèn)題的類型及方法： (1)已知曲線C與變換矩陣，求曲線C在變換矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的曲線C′的表達(dá)式，常先轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的對(duì)應(yīng)變換再用代入法(相關(guān)點(diǎn)法)求解． (2)已知曲線C′是曲線C在伸壓變換作用下得到的，求與伸壓變換對(duì)應(yīng)的變換矩陣，常根據(jù)變換前后曲線方程的特點(diǎn)設(shè)出變換矩陣，構(gòu)建方程(組)求解． (1)若將本例變?yōu)椋阂恢本€l在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下變成直線y＝2x，求該直線的方程． (2)若本例變?yōu)椋褐本€y＝4x在二階矩陣M對(duì)應(yīng)的沿y軸方向伸壓變換作用下變成了另一條直線y＝2x，試求矩陣M. 【解】　(1)任意選取直線l上的一點(diǎn)P(x0，y0)，它在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)镻(x0′，y0′)，則有 ＝＝則有. 又因?yàn)辄c(diǎn)P′(x0′，y0′)在直線y＝2x上， 所以y0′＝2x0′，即有y0＝2x0， 因此y0＝4x0，從而求得該直線為y＝4x. ] (2)設(shè)P(x0，y0)為直線y＝4x上的任意一點(diǎn)，P′(x0′，y0′)是P(x0，y0)在矩陣M對(duì)應(yīng)的伸壓變換作用下得到的點(diǎn)，則此點(diǎn)在直線y＝2x上．設(shè)伸壓變換矩陣為(k≠0)， 則有＝＝， 即所以將其代入y＝4x中，得4x0′＝y(tǒng)0′，即y0′＝4kx0′.又y0′＝2x0′，∴4k＝2，得k＝，所以所求矩陣為. 反射變換的應(yīng)用 　求直線y＝6x在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下所得的圖形的表達(dá)式． 【思路探究】　先求出y＝6x上任意一點(diǎn)P(x0，y0)在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)P′(x0′，y0′)的坐標(biāo)，再用代入法求解． 【自主解答】　任意選取直線y＝6x上的一點(diǎn)P(x0，y0)，設(shè)它在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的點(diǎn)為P′(x′0，y′0)， 則有＝， 4分 所以 又因?yàn)辄c(diǎn)P(x0，y0)在直線y＝6x上， 所以y0＝6x0，則有x′0＝6y′0. 所以y′0＝， 8分 從而可知直線y＝6x在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下變成直線y＝. 求曲線C(或點(diǎn))在反射變換下得到的曲線C′的表達(dá)式(或點(diǎn)的坐標(biāo))同伸壓變換，使用代入法(相關(guān)點(diǎn)法)． 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝kx在矩陣對(duì)應(yīng)的變換下得到的直線過(guò)點(diǎn)P(4,1)，求實(shí)數(shù)k的值． 【解】　設(shè)變換T：→，則 ＝＝，即 代入直線y＝kx，得x′＝ky′.將點(diǎn)P(4,1)代入上式，得k＝4. 　(教材第16頁(yè)例2)驗(yàn)證圓C：x2＋y2＝1在矩陣A＝對(duì)應(yīng)的伸壓變換下變?yōu)橐粋€(gè)橢圓，并求此橢圓的方程． 　(xx江蘇百校聯(lián)考)已知圓C：x2＋y2＝1在矩陣A＝(a＞0，b＞0)對(duì)應(yīng)的伸壓變換下變?yōu)闄E圓x2＋＝1，試求a，b的值． 【命題意圖】　本題主要考查求伸壓變換T作用下得到的曲線的方程，同時(shí)考查了函數(shù)方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想． 【解】　設(shè)P(x0，y0)為圓C上的任意一點(diǎn)，在伸壓變換下變?yōu)榱硪粋€(gè)點(diǎn)P′(x′0，y′0)， 則＝， 所以 即 又點(diǎn)P(x0，y0)在圓C：x2＋y2＝1上， 所以x＋y＝1， 所以＋＝1， 即＋＝1. 由已知條件可知，橢圓方程為x2＋＝1. 所以a2＝1，b2＝4.因?yàn)閍＞0，b＞0，所以a＝1，b＝2. 1．恒等變換將直線x＋2y－1＝0變換為________． 【解析】　恒等變換保持原圖形不變． 【答案】　x＋2y－1＝0 2．如圖，把△ABC變成△A′B′C′的變換矩陣可能是________．(其中A(0，－1)，B(1,0)，C(0,1)，A′(0，－1)，B′(2,0)，C′(0,1)) 【解析】　注意到變換后三角形上的每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，而縱坐標(biāo)保持不變，它可能對(duì)應(yīng)的是沿x軸方向的伸壓變換，對(duì)應(yīng)的變換矩陣為M＝. 【答案】　 3．函數(shù)y＝x2在矩陣M＝變換作用下的結(jié)果為________． 【解析】?。剑?代入y＝x2，得：y′＝x′2.把x′，y′換為x，y，即得y＝x2. 【答案】　y＝x2 4．已知雙曲線－＝1，矩陣對(duì)應(yīng)的反射變換把雙曲線變成的曲線是________． 【解析】　設(shè)雙曲線上任意一點(diǎn)P(x，y)在反射變換下對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′(x′，y′)， 則＝＝， ∴∴ 代入雙曲線方程，得－＝1， ∴雙曲線－＝1在矩陣對(duì)應(yīng)的反射變換下所得圖形仍是它本身． 【答案】?。? 1．試討論矩陣對(duì)應(yīng)的變換將直線y＝3x＋2變成了什么圖形，并說(shuō)明該變換是什么變換？ 【解】　設(shè)直線y＝3x＋2上的任意一點(diǎn)(x，y)在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下變成點(diǎn)(x′，y′)，則有＝，所以 將其代入y＝3x＋2中， 得y′＝3x′＋2，從而可知矩陣對(duì)應(yīng)的變換將直線y＝3x＋2仍變成了同一條直線． 矩陣對(duì)應(yīng)的變換是恒等變換． 2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)橢圓4x2＋y2＝1在矩陣A＝對(duì)應(yīng)的變換下得到曲線F，求F的方程． 【解】　設(shè)P(x，y)是橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P(x，y)在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換下變?yōu)辄c(diǎn)P′(x′，y′)，則有 ＝，即所以 又4x2＋y2＝1， 所以x′2＋y′2＝1. 所以曲線F的方程為x2＋y2＝1. 3．求曲線C：x2＋y2＝9在矩陣M＝對(duì)應(yīng)的反射變換作用下得到的圖形的周長(zhǎng)． 【解】　法一　設(shè)曲線C：x2＋y2＝9上任意一點(diǎn)P(x，y)在矩陣M＝對(duì)應(yīng)的反射變換作用下得到的點(diǎn)為P′(x′，y′)，則＝， 所以所以將其代入x2＋y2＝9中，得x′＋y′＝9，從而可知曲線C在矩陣M對(duì)應(yīng)的反射變換作用下得到的圖形的周長(zhǎng)為6π. 法二　矩陣確定的變換是關(guān)于直線y＝x的軸反射變換，又反射變換前后圖形的形狀和大小都不變，所以所求圖形的周長(zhǎng)和原圖形的周長(zhǎng)一樣，又原圖形的周長(zhǎng)為6π，所以所求圖形的周長(zhǎng)是6π. 4．計(jì)算下列矩陣與平面列向量的乘法，并說(shuō)明其幾何意義． (1)；(2)； (3)(k＞0)． 【解】　(1)＝； (2)＝； (3)＝(k＞0)． 對(duì)應(yīng)的變換將平面上點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)拉伸為原來(lái)的2倍.對(duì)應(yīng)的變換將平面上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的一半． 矩陣(k＞0)的幾何意義在于其對(duì)應(yīng)的變換將平面上的任一向量變成，變換前后，橫坐標(biāo)保持不變，而縱坐標(biāo)為原來(lái)的k倍．當(dāng)k＞1時(shí)，矩陣(k＞0)對(duì)應(yīng)的是沿y軸方向的伸長(zhǎng)變換；當(dāng)0＜k＜1時(shí)，矩陣(k＞0)對(duì)應(yīng)的是沿y軸方向的壓縮變換；當(dāng)k＝1時(shí)，則矩陣對(duì)應(yīng)的是恒等變換． 5．(xx蘇錫常鎮(zhèn)四市模擬)設(shè)a，b∈R，若矩陣A＝把直線l：y＝2x－4變換為直線l′：y＝x－12，求a，b的值． 【解】　在直線l上取兩點(diǎn)(2,0)，(0，－4)，則 ＝，＝. 由題意，知點(diǎn)(2a，－2)，(0，－4b)在直線l′上，從而 解得 6．已知a、b∈R，若M＝所對(duì)應(yīng)的變換TM把直線l：3x－2y＝1變換為自身，試求實(shí)數(shù)a、b的值． 【解】　在直線l上任取一點(diǎn)P(x，y)，設(shè)點(diǎn)P在TM的變換下變?yōu)辄c(diǎn)P′(x′，y′)， 則＝∴ 所以點(diǎn)P′(－x＋ay，bx＋3y)， ∵點(diǎn)P′在直線l上，∴3(－x＋ay)－2(bx＋3y)＝1，即(－3－2b)x＋(3a－6)y＝1， ∵方程(－3－2b)x＋(3a－6)y＝1即為直線l的方程3x－2y＝1， ∴解得 7．已知矩陣M1＝，M2＝，研究圓x2＋y2＝1先在矩陣M1對(duì)應(yīng)的變換作用下，再在矩陣M2對(duì)應(yīng)的變換作用下，所得的曲線的方程． 【解】　由題意，即求圓x2＋y2＝1在矩陣M3＝對(duì)應(yīng)的變換作用下，所得曲線的方程． 設(shè)P(x，y)是圓x2＋y2＝1上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P在矩陣M3對(duì)應(yīng)的變換作用下，得點(diǎn)P′(x′，y′)，則有 ＝，即或 代入x2＋y2＝1， 得＋4y′2＝1. 故所求曲線方程為＋4y2＝1. 教師備選 8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線x＋y＋2＝0在矩陣M＝對(duì)應(yīng)的變換作用下得到直線m：x－y－4＝0，求實(shí)數(shù)a，b的值． 【解】　在直線l：x＋y＋2＝0上取兩點(diǎn)A(－2,0)，B(0，－2)， A，B在矩陣M對(duì)應(yīng)的變換作用下分別對(duì)應(yīng)于點(diǎn)A′，B′， 因?yàn)椋?，所以A′的坐標(biāo)為(－2，－2b)． ＝， 所以B′的坐標(biāo)為(－2a，－8)． 由題意A′，B′在直線m：x－y－4＝0上， 所以 解得a＝2，b＝3. 2．2.4旋轉(zhuǎn)變換 2．2.5投影變換 2．2.6切變變換 課標(biāo)解讀 1.掌握旋轉(zhuǎn)、投影、切變變換的特點(diǎn)，熟知常用的這三種變換矩陣的特點(diǎn)． 2．了解旋轉(zhuǎn)、投影、切變變換的矩陣表示及其幾何意義. 1．旋轉(zhuǎn)變換 (1)旋轉(zhuǎn)變換的定義：將一個(gè)圖形F繞某個(gè)定點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)角度θ所得圖形F′的變換稱為旋轉(zhuǎn)變換，其中點(diǎn)O稱為旋轉(zhuǎn)中心，角度θ稱為旋轉(zhuǎn)角． (2)旋轉(zhuǎn)變換矩陣：當(dāng)旋轉(zhuǎn)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O且逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角時(shí)，旋轉(zhuǎn)變換的矩陣為，像這樣的矩陣稱為旋轉(zhuǎn)變換矩陣． (3)旋轉(zhuǎn)變換的特點(diǎn)： ①旋轉(zhuǎn)變換只改變幾何圖形的相對(duì)位置，不改變幾何圖形的形狀． ②旋轉(zhuǎn)中心在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中保持不變． ③圖形的旋轉(zhuǎn)由旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)的角度共同決定． ④繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180的變換相當(dāng)于關(guān)于定點(diǎn)的中心反射變換． 2．投影變換 (1)定義：將平面圖形投影到某條直線(或點(diǎn))的變換，稱為投影變換． (2)投影變換矩陣：像，這類將平面內(nèi)圖形投影到某條直線(或某個(gè)點(diǎn))上的矩陣，稱為投影變換矩陣． (3)投影變換的特點(diǎn)：投影變換是線性變換，是映射，但不是一一映射． 3．切變變換 (1)定義：保持圖形的面積大小不變，而點(diǎn)間距離和線間夾角可以改變，且點(diǎn)沿坐標(biāo)軸運(yùn)動(dòng)的變換叫做切變變換． (2)切變變換矩陣 一般地，在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，將任一點(diǎn)P(x，y)沿著x(或y軸)方向平移|ky|(或 |kx|)個(gè)單位變成點(diǎn)P′(x′，y′)，(其中k是非零常數(shù))，對(duì)應(yīng)的變換矩陣或(k∈R，k≠0)，稱為切變變換矩陣． (3)切變變換的矩陣表示及其幾何意義 ①矩陣(k∈R，k≠0)把平面上的點(diǎn)P(x，y)沿x軸方向平移|ky|個(gè)單位：當(dāng)ky＞0時(shí)，沿x軸正方向移動(dòng)；當(dāng)ky＜0時(shí)，沿x軸負(fù)方向移動(dòng)；當(dāng)ky＝0時(shí)，位置不變．在此變換作用下，x軸上的點(diǎn)為不動(dòng)點(diǎn)． ②矩陣(k∈R，k≠0)把平面上的點(diǎn)P(x，y)沿y軸方向平移|kx|個(gè)單位：當(dāng)kx＞0時(shí)，沿y軸正方向移動(dòng)；當(dāng)kx＜0時(shí)，沿y軸負(fù)方向移動(dòng)；當(dāng)kx＝0時(shí)，位置不變．在此變換作用下，y軸上的點(diǎn)為不動(dòng)點(diǎn)． 1．如何理解旋轉(zhuǎn)變換的矩陣表示及其幾何意義？ 【提示】　旋轉(zhuǎn)變換所對(duì)應(yīng)的矩陣表示為 ，這里θ為一個(gè)實(shí)數(shù)，叫做旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)中心一般取作原點(diǎn)．當(dāng)θ＞0時(shí)，旋轉(zhuǎn)的方向是逆時(shí)針；當(dāng)θ＜0時(shí)，旋轉(zhuǎn)的方向則是順時(shí)針，我們一般只討論逆時(shí)針?lè)较颍? 2．線性變換對(duì)單位正方形表示的區(qū)域有哪些作用？ 【提示】　(1)恒等變換，關(guān)于x軸、y軸的反射變換以及旋轉(zhuǎn)變換，變換前后正方形區(qū)域的形狀都未發(fā)生改變，只是位置發(fā)生了變化． (2)切變變換把原來(lái)的正方形區(qū)域變成了一邊不動(dòng)，另一邊平移了的平行四邊形． (3)投影變換把正方形區(qū)域變成了線段． 旋轉(zhuǎn)變換及其應(yīng)用 　已知曲線xy＝1，將它繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后會(huì)得到什么曲線？曲線方程是什么？ 【思路探究】　根據(jù)題設(shè)條件找到旋轉(zhuǎn)角θ，求出旋轉(zhuǎn)變換矩陣，從而求出曲線方程，判斷曲線類型． 【自主解答】　將曲線xy＝1繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，相當(dāng)于逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)270， 故旋轉(zhuǎn)變換矩陣為 M＝ ＝， 設(shè)P(x0，y0)為曲線xy＝1上任意一點(diǎn)，在矩陣M作用下對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P′(x0′，y0′)則 ＝＝， 所以 故x0′y0′＝－x0y0＝－1. 因此曲線xy＝1在矩陣M的作用下變成曲線 xy＝－1，如圖所示． 求旋轉(zhuǎn)變換下曲線的方程的關(guān)鍵是搞清旋轉(zhuǎn)方向，找準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)角，求出旋轉(zhuǎn)變換矩陣，進(jìn)而用代入法(相關(guān)點(diǎn)法)求出曲線方程． 若將本例中“旋轉(zhuǎn)90”變成“旋轉(zhuǎn)45”情況如何？ 【解】　由題意得旋轉(zhuǎn)變換矩陣為 M＝ ＝. 在曲線xy＝1上任取一點(diǎn)P(x，y)，設(shè)其在此旋轉(zhuǎn)變換作用下得到點(diǎn)P′(x′，y′)，則 ＝， 即 所以 將其代入xy＝1中得：＝1. 推理得－＝1， 因此曲線xy＝1，在矩陣的作用下變成曲線－＝1. 投影變換及其應(yīng)用 　設(shè)一個(gè)投影變換把直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)的任意一點(diǎn)沿平行于直線y＝x的方向投影到x軸上．試求： (1)點(diǎn)A(3,2)在這個(gè)投影變換作用下得到的點(diǎn)A′的坐標(biāo)； (2)這個(gè)投影變換對(duì)應(yīng)的變換矩陣． 【思路探究】　根據(jù)題設(shè)條件畫出圖形，數(shù)形結(jié)合求解． 【自主解答】　 (1)如圖所示，點(diǎn)A(3,2)在這個(gè)投影變換作用下得到的點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(1,0)． (2)設(shè)點(diǎn)(x，y)是平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)的任意一點(diǎn)，則它在這個(gè)投影變換作用下得到的點(diǎn)為(x－y,0)，即→， 從而可知所求的變換矩陣為. 1．矩陣確定的投影變換，將坐標(biāo)平面上的所有點(diǎn)垂直投影到x軸上，即(x，y)―→(x,0)；矩陣確定的投影變換，將坐標(biāo)平面上的所有點(diǎn)沿垂直于x軸方向投影到直線y＝x上，即(x，y)―→(x，x)；矩陣確定的投影變換，將坐標(biāo)平面上的所有點(diǎn)垂直投影到y(tǒng)軸上，即(x，y)―→(0，y)． 2．求解該類問(wèn)題常用數(shù)形結(jié)合思想求解． (1)矩陣，，，對(duì)應(yīng)的變換的幾何意義是什么？ (2)矩陣，對(duì)應(yīng)的變換的幾何意義是什么？ 【解】　(1)對(duì)應(yīng)變換的幾何意義在于其將平面上的點(diǎn)沿垂直于x軸的方向投影到x軸上． 對(duì)應(yīng)變換的幾何意義在于其將平面上的點(diǎn)沿平行于直線x＋y＝0的方向投影到x軸上． 對(duì)應(yīng)變換的幾何意義在于其將平面上的點(diǎn)沿垂直于x軸的方向投影到直線y＝x上． 對(duì)應(yīng)變換的幾何意義在于其將平面上的點(diǎn)沿垂直于y軸的方向投影到y(tǒng)軸上． (2)對(duì)應(yīng)變換的幾何意義在于其將平面上的點(diǎn)沿垂直于直線x＋y＝0的方向投影到直線x＋y＝0上． 對(duì)應(yīng)變換的幾何意義在于其將平面上的點(diǎn)沿垂直于直線y＝x的方向投影到直線y＝x上. 切變變換及其應(yīng)用 　如圖所示，已知矩形ABCD，試求在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下的圖形，并指出矩形區(qū)域ABCD在變換過(guò)程中的不變線段． 【思路探究】　由于本變換對(duì)應(yīng)的是線性變換，只需研究矩形的端點(diǎn)的變換情況，從而得解． 【自主解答】　因?yàn)榫仃噷?duì)應(yīng)的是線性變換，只需研究矩形的端點(diǎn)的變換情況即可，而 ＝，＝， ＝， ＝. 從而矩形ABCD在矩陣作用下變成了平行四邊形A′B′C′D′.這里A′(－2，－1)、B′(4,1)、C′(1,1)、D′(－5，－1)，即原圖形上任意一點(diǎn)(x，y)沿x軸方向平移|3y|個(gè)單位，而縱坐標(biāo)不變．如圖所示，線段EF為該切變變換下的不變線段． 矩陣(k∈R，k≠0)確定的變換為沿x軸方向平移|ky|個(gè)單位的切變變換；而(k∈R，k≠0)．確定的變換為沿y軸方向平移|kx|個(gè)單位的切變變換，不要將二者混淆． 如圖(1)、(2)所示，已知正方形ABCD在變換T作用下變成平行四邊形A′B′C′D′，試求變換T對(duì)應(yīng)的矩陣M. 【解】　由圖知，A(0,0)變換為A′(0,0)，B(1,0)變換為B′(1,1)，C(1,1)變換為C′(1,2)，D(0,1)變換為D′(0,1)，從而可知變換T是沿y軸正方向平移1個(gè)單位的切變變換，在此變換下，y軸上的點(diǎn)為不動(dòng)點(diǎn)，故可得M＝. 　(教材第34頁(yè)習(xí)題2.2第8題)已知曲線xy＝1，將它繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后，會(huì)得到什么曲線？曲線方程是什么？ 　(xx蘇州模擬)已知橢圓Γ：x2＋＝1，試求該曲線繞逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90后所得到的曲線，畫出示意圖． 【命題意圖】　本題主要考查旋轉(zhuǎn)變換，同時(shí)考查了函數(shù)方程思想及運(yùn)算求解能力． 【解】　設(shè)橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為A(－1,0)，B(0，－)，C(1,0)，D(0，)(如圖)． 因?yàn)槔@原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90的變換所對(duì)應(yīng)的矩陣為 M＝＝. 這樣＝， ＝， ＝， ＝. 點(diǎn)A、B、C、D在旋轉(zhuǎn)變換M的作用下分別變?yōu)辄c(diǎn)A′(0，－1)、B′(，0)、C′(0,1)、D′(－，0)，從而橢圓曲線Γ：x2＋＝1在逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后所成的曲線為橢圓曲線?！洌海珁2＝1. 1．旋轉(zhuǎn)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)且逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)變換的變換矩陣為________． 【解析】　矩陣為 ＝. 【答案】　 2．已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)，矩陣對(duì)應(yīng)的投影變換把橢圓變成________． 【解析】　設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)P(x，y)在投影變換下對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′(x′，y′)， 則＝＝， ∴橢圓＋＝1中，－b≤y≤b， ∴投影后的曲線方程為x＝0(－b≤y≤b)，為一條線段． 【答案】　線段 3．直線y＝3x在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下所得的幾何圖形的方程為________． 【解析】　在直線上任取一點(diǎn)P(x，y)，求得其對(duì)應(yīng)的像的坐標(biāo)(x′，y′)，再代入． 設(shè)直線y＝3x上任意一點(diǎn)為P(x，y)，在線性變換下的像為P′(x′，y′)， 則＝＝， 即 ∴代入y＝3x，得x′＝3y′，即y′＝x′， ∴變換后的圖形為直線y＝x. 【答案】　y＝x 4．在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下，點(diǎn)(2,1)將會(huì)變?yōu)開_______，這是一種________變換． 【解析】　由＝可知點(diǎn)(2,1)在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下，變?yōu)辄c(diǎn)(4,1)，從而可知該變換為切變變換． 【答案】　點(diǎn)(4,1)　切變 1．求出△ABC在矩陣作用下得到的圖形，并畫出示意圖，其中A(0,0)，B(1，)，C(0,2)． 【解】　因?yàn)椋剑? ＝， ＝， 所以△ABC在矩陣作用下變換得到圖形為△A′B′C′，其中A′(0,0)，B′(－1，)，C′(－，1)，這是一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換，示意圖如圖所示． 2．(1)直線x＋y＝3在矩陣作用下變成什么圖形？ (2)正方形ABCD在矩陣M＝作用下變成什么圖形？這里A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1,1)，D(－1,1)． 【解】　(1)直線x＋y＝3在矩陣作用下變成直線x＝3. (2)在矩陣M＝對(duì)應(yīng)變換下，A→A′(－2，－1)，B→B′(0，－1)，C→C′(2,1)，D→D′(0,1)，則變換所成圖形為平行四邊形A′B′C′D′，如圖． 3．橢圓＋y2＝1在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到什么圖形？ 【解】　設(shè)(x，y)為橢圓＋y2＝1上的任意一點(diǎn)，則有x2≤9.因?yàn)椋?，所以矩陣使得橢圓上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)?，所以橢圓＋y2＝1在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的圖形是線段y＝0(－3≤x≤3)，即橢圓長(zhǎng)軸． 4．在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)有一點(diǎn)P(2,3)，將該點(diǎn)沿平行于直線x＋2y＝0的方向投影到x軸上，求P(2,3)在此投影變換下得到的點(diǎn)P′的坐標(biāo)． 【解】　設(shè)P(2,3)在此投影變換下得到的點(diǎn)為P′(x′，y′)，則由題意知即→＝，從而可知此投影變換對(duì)應(yīng)的矩陣為，由＝，可知點(diǎn)P′的坐標(biāo)為(8,0)． 5．如圖所示，已知△ABC在變換T的作用下變成△A′B′C′，試求變換T對(duì)應(yīng)的矩陣M. 【解】　從△ABC到△A′B′C′對(duì)應(yīng)的是x軸方向上的切變變換，因?yàn)锳、B在x軸上，原地不變，注意到C(－1,1)→C′(1,1)，由此可知這個(gè)變換對(duì)應(yīng)的矩陣為. 6．如圖所示，已知矩形ABCD在變換T的作用下變成圖形A′B′C′D′，試求變換T對(duì)應(yīng)的矩陣M. 【解】　從圖可以看出，T是一個(gè)切變變換，且 T：→＝. 故T對(duì)應(yīng)的變換矩陣為 M＝. 我們可以進(jìn)行如下驗(yàn)證： ＝，＝， ＝，＝. 所以矩形ABCD在矩陣的作用下變成了平行四邊形A′B′C′D′. 7．試分析平面上的變換將平面上的點(diǎn)沿垂直于直線y＝x的方向投影到直線y＝x上的矩陣表示． 【解】　不妨設(shè)P(x，y)是平面上的任意一點(diǎn)，則它關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的點(diǎn)P′的坐標(biāo)為P′(y，x)，PP′的連線一定垂直于直線y＝x，且交點(diǎn)為Q，如圖所示．根據(jù)題意，該變換即為 →＝＝. 因此，將平面上的點(diǎn)沿垂直于直線y＝x的方向投影到直線y＝x上的變換的矩陣表示為. 教師備選 8．運(yùn)用旋轉(zhuǎn)矩陣對(duì)應(yīng)變換，求解下列問(wèn)題： (1)求曲線x＝y(tǒng)2逆時(shí)針?lè)较蚶@原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90所成的曲線方程． (2)求圓x2＋y2＝1繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的曲線方程． 【解】　(1)旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：＝設(shè)x＝y(tǒng)2上任意一點(diǎn)(x0，y0)旋轉(zhuǎn)變換后 為(x′0，y′0)， 則＝＝， 所以 故y′0＝(－x′0)2，即旋轉(zhuǎn)所成的曲線方程為y＝x2. (2)設(shè)x2＋y2＝1上動(dòng)點(diǎn)P(x，y)經(jīng)過(guò)變換后得新曲線上點(diǎn)為P′(x′，y′)． 則有＝ ＝， 故 從而 代入x2＋y2＝1得 (x′cos ＋y′sin )2＋(－x′sin ＋y′cos )2＝1，即x′2＋y′2＝1. 故所求曲線方程為x2＋y2＝1. 　 本章在高考中主要考查對(duì)六種特殊變換的理解，以及在六種變換前后的點(diǎn)的坐標(biāo)及曲線方程的求法，掌握六種特殊變換的特點(diǎn)． 一、求在某種變換作用下得到的圖形(表達(dá)式) 求在某種變換作用下所得到的圖形(表達(dá)式)是考查變換知識(shí)的熱點(diǎn)題型，通常用代入法(相關(guān)點(diǎn)法)求解． 　下列所給的矩陣將給定的圖形變成了什么圖形？畫圖并指出該變換是什么變換？ (1)，點(diǎn)A(2,1)； (2)，直線y＝2x＋2. 【解】　(1)矩陣對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)變換公式為把A(2,1)代入即得A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′(1，－2)，該變換把向量＝按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90.故該變換為旋轉(zhuǎn)變換，如圖所示． (2)設(shè)直線y＝2x＋2上任意一點(diǎn)P(x，y)按矩陣所表示的坐標(biāo)變換對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為P′(x′，y′)， 則＝＝，即 ∴代入y＝2x＋2， 得－y′＝2x′＋2，即直線y＝2x＋2經(jīng)過(guò)變換得到的圖形為直線y＝－2x－2，如圖所示，此變換為關(guān)于x軸的反射變換． 二、求變換矩陣 根據(jù)變換的結(jié)果求變換矩陣的一般方法：找到前后點(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)系，由點(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)系即可求出變換矩陣． 　求把△ABC變換成△A′B′C′的變換對(duì)應(yīng)的矩陣，其中A(－2,1)，B(0,1)，C(0，－1)；A′(－2，－3)，B′(0,1)，C′(0，－1)． 【解】　設(shè)變換對(duì)應(yīng)的矩陣為， 由已知，得＝， ＝， ＝， 即 即 ∴變換對(duì)應(yīng)的矩陣為. 三、函數(shù)方程思想 本章求矩陣變換下曲線的方程廣泛應(yīng)用了函數(shù)方程思想． 　試討論下列矩陣將所給圖形變成了什么圖形，并指出該變換是什么變換． (1)，圖形的方程為：x2＋y2＝4； (2)，圖形的方程為：y＝－2x＋6. 【解】　(1)所給方程表示的是以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓．設(shè)A(x，y)為曲線上的任意一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)變換后的點(diǎn)為A1(x1，y1)，則＝＝， ∴2x＝x1，y＝y(tǒng)1，即x＝，y＝y(tǒng)1 將其代入x2＋y2＝4可得到方程＋y＝4，此方程表示橢圓． 所給方程表示的是圓，該變換是伸壓變換． (2)所給方程表示的是一條直線．設(shè)A(x，y)為直線上的任意一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)變換后的點(diǎn)為A1(x1，y1)． ∵＝＝， ∴x1＝0，y1＝2x＋y. 又由y＝－2x＋6得2x＋y＝6， ∴A1(0,6)為定點(diǎn)． 通過(guò)變換將一條直線變?yōu)橐稽c(diǎn)，該變換是投影變換． 　如圖所示，對(duì)反比例函數(shù)圖象C：y＝經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)變換將其方程改寫為標(biāo)準(zhǔn)形式． 【解】　設(shè)P(x，y)為曲線C上任意一點(diǎn)，它在變換T作用下的象P′(x′，y′)， 其中變換矩陣為 ＝， 則解得 故xy＝＝4，y′2－x′2＝8， 因此旋轉(zhuǎn)后的方程為－＝1. 綜合檢測(cè)(二) 1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)橢圓4x2＋y2＝1在矩陣A＝對(duì)應(yīng)的變換下得到曲線F，求F的方程． 【解】　設(shè)P(x0，y0)是橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P(x0，y0)在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換下變?yōu)辄c(diǎn)P′(x′0，y′0)， 則＝＝， 即∴ 又∵點(diǎn)P在橢圓上，代入得 ＋y′＝1， 即x2＋y2＝1. ∴曲線F的方程為x2＋y2＝1. 2．若點(diǎn)A在矩陣M＝對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)為B(1,0)，求α的值． 【解】　由題意知＝， 所以 解得 從而可知，α＝2kπ－，(k∈Z)． 3．已知直線l與直線3x＋5y＋6＝0平行，且過(guò)點(diǎn)(5,6)，求矩陣將直線l變成了什么圖形？并寫出方程． 【解】　由已知得直線l的方程為3x＋5y－45＝0，設(shè)P(x，y)為l上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P在矩陣對(duì)應(yīng)的變換下對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′(x′，y′)． 則＝＝， ∴∴代入3x＋5y－45＝0， 得3x′＋25y′－45＝0， ∴直線l變換成直線3x＋25y－45＝0. 4．求直線y＝2x在矩陣確定的變換作用下得到的圖形的表達(dá)式． 【解】　設(shè)點(diǎn)(x，y)為直線y＝2x上的任意一點(diǎn)，其在矩陣確定的變換作用下得到的點(diǎn)為(x′，y′)，則→＝＝，即所以將其代入y＝2x，并整理得2x′－7y′＝0，所以直線y＝2x在矩陣確定的變換作用下得到的圖形的表達(dá)式是2x－7y＝0. 5．切變變換矩陣把直線x＋y＝1變成什么幾何圖形？ 【解】　設(shè)P(x，y)在該變換下的象為P′(x′，y′)，則 ＝＝＝，故所以切變變換矩陣把直線x＋y＝1變成與y軸平行的直線x＝1. 6．若曲線x2＋4xy＋2y2＝1在矩陣M＝的作用下變換成曲線x2－2y2＝1，求a、b的值． 【解】　設(shè)(x，y)為曲線x2＋4xy＋2y2＝1上的任意一點(diǎn)，其在矩陣M的作用下變換成點(diǎn)(x′，y′)，則(x′，y′)在曲線x2－2y2＝1上，＝＝，即將其代入x2－2y2＝1，并整理，得(1－2b2)x2＋(2a－4b)xy＋(a2－2)y2＝1，比較系數(shù)得解得 7．點(diǎn)(2,2x)在旋轉(zhuǎn)變換矩陣的作用下得到點(diǎn)(y,4)，求x，y，m，n. 【解】　因?yàn)榫仃囀切D(zhuǎn)變換矩陣， 所以m＝－，n＝. 由題意知＝， 所以解得 8．二階矩陣M對(duì)應(yīng)的變換T將點(diǎn)(1，－1)，(－2,1)均變?yōu)辄c(diǎn)(1,1)． (1)求矩陣M； (2)直線l：2x＋3y＋1＝0在變換T作用下得到什么圖形？說(shuō)明理由． 【解】　(1)設(shè)M＝，則由題設(shè)得 ＝，且＝， 即解得 所以M＝. (2)設(shè)P(x，y)是l：2x＋3y＋1＝0上任一點(diǎn)P′(x′，y′)是對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，則由 ＝＝， 得即2x＋3y＝－x′＝－y′. 又2x＋3y＋1＝0，所以x′＝y(tǒng)′＝1. 故在l在變換T作用下變?yōu)辄c(diǎn)(1,1)． 9．求直線y＝－2x＋1繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45后所得的直線方程． 【解】　＝. 設(shè)直線y＝－2x＋1上任意一點(diǎn)為(x0，y0)，其在旋轉(zhuǎn)變換作用下得到點(diǎn)(x′0，y′0)，則＝， 即 解得 因?yàn)辄c(diǎn)(x0，y0)在直線y＝－2x＋1上，所以2x0＋y0－1＝0，所以2(x′0＋y′0)－(x′0－y′0)－1＝0，整理得x′0＋y′0－1＝0. 所以直線y＝－2x＋1繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45后所得的直線的方程是x＋y－1＝0. 10．如圖所示的是一個(gè)含有60角的菱形ABCD，要使只變換其四個(gè)頂點(diǎn)中的兩個(gè)頂點(diǎn)后，菱形變?yōu)檎叫危蟠俗儞Q對(duì)應(yīng)的變換矩陣M.該變換矩陣惟一嗎？若不惟一，寫出所有滿足條件的變換矩陣． 【解】　由題設(shè)知AC∶BD＝∶1.若只變換A，C兩個(gè)頂點(diǎn)，則應(yīng)把A，C兩個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，于是變換矩陣為M＝；若只變換B，D兩個(gè)頂點(diǎn)，則應(yīng)把B，D兩個(gè)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍，橫坐標(biāo)不變，于是變換矩陣為M＝.所以滿足條件的變換矩陣M為或.