2019-2020年高三數(shù)學大一輪復習 2.4二次函數(shù)與冪函數(shù)教案 理 新人教A版 .doc

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2019-2020年高三數(shù)學大一輪復習 2.4二次函數(shù)與冪函數(shù)教案 理 新人教A版xx高考會這樣考1.求二次函數(shù)的解析式；2.求二次函數(shù)的值域或最值，和一元二次方程、一元二次不等式進行綜合應用；3利用冪函數(shù)的圖象、性質(zhì)解決有關問題復習備考要這樣做1.理解二次函數(shù)三種解析式的特征及應用；2.分析二次函數(shù)要抓住幾個關鍵環(huán)節(jié)：開口方向、對稱軸、頂點，函數(shù)的定義域；3.充分應用數(shù)形結(jié)合思想把握二次函數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì)1 二次函數(shù)的定義與解析式(1)二次函數(shù)的定義形如：f(x)ax2bxc_(a0)的函數(shù)叫做二次函數(shù)(2)二次函數(shù)解析式的三種形式一般式：f(x)ax2bxc_(a0)頂點式：f(x)a(xm)2n(a0)零點式：f(x)a(xx1)(xx2)_(a0)2 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0)圖象定義域(，)(，)值域單調(diào)性在x上單調(diào)遞減；在x上單調(diào)遞增在x上單調(diào)遞增；在x上單調(diào)遞減奇偶性當b0時為偶函數(shù)，b0時為非奇非偶函數(shù)頂點對稱性圖象關于直線x成軸對稱圖形3. 冪函數(shù)形如yx (R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，是常數(shù)4 冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)(1)冪函數(shù)的圖象比較(2)冪函數(shù)的性質(zhì)比較難點正本疑點清源1 二次函數(shù)的三種形式(1)已知三個點的坐標時，宜用一般式(2)已知二次函數(shù)的頂點坐標或與對稱軸有關或與最大(小)值有關時，常使用頂點式(3)已知二次函數(shù)與x軸有兩個交點，且橫坐標已知時，選用零點式求f(x)更方便2 冪函數(shù)的圖象(1)在(0,1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸，在(1，)上冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠離x軸(2)函數(shù)yx，yx2，yx3，yx，yx1可做為研究和學習冪函數(shù)圖象和性質(zhì)的代表1 已知函數(shù)f(x)x22(a1)x2在區(qū)間(，3上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為_答案(，2解析f(x)的圖象的對稱軸為x1a且開口向上，1a3，即a2.2已知函數(shù)yx22x3在閉區(qū)間0，m上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍為_答案1,2解析yx22x3的對稱軸為x1.當m2時，ymaxf(m)m22m33，m0，m2，無解1m2.3 若冪函數(shù)y(m23m3)xm2m2的圖象不經(jīng)過原點，則實數(shù)m的值為_答案1或2解析由，解得m1或2.經(jīng)檢驗m1或2都適合4 (人教A版教材例題改編)如圖中曲線是冪函數(shù)yxn在第一象限的圖象已知n取2，四個值，則相應于曲線C1，C2，C3，C4的n值依次為_答案2，2解析可以根據(jù)函數(shù)圖象是否過原點判斷n的符號，然后根據(jù)函數(shù)凸凹性確定n的值5 函數(shù)f(x)x2mx1的圖象關于直線x1對稱的充要條件是 ()Am2 Bm2Cm1 Dm1答案A解析函數(shù)f(x)x2mx1的圖象的對稱軸為x，且只有一條對稱軸，所以1，即m2.題型一求二次函數(shù)的解析式例1已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，試確定此二次函數(shù)思維啟迪：確定二次函數(shù)采用待定系數(shù)法，有三種形式，可根據(jù)條件靈活運用解方法一設f(x)ax2bxc (a0)，依題意有解之，得所求二次函數(shù)解析式為f(x)4x24x7.方法二設f(x)a(xm)2n，a0.f(2)f(1)，拋物線對稱軸為x.m.又根據(jù)題意函數(shù)有最大值為n8，yf(x)a28.f(2)1，a281，解之，得a4.f(x)4284x24x7.方法三依題意知，f(x)10的兩根為x12，x21，故可設f(x)1a(x2)(x1)，a0.即f(x)ax2ax2a1.又函數(shù)有最大值ymax8，即8，解之，得a4或a0(舍去)函數(shù)解析式為f(x)4x24x7.探究提高二次函數(shù)有三種形式的解析式，要根據(jù)具體情況選用：如和對稱性、最值有關，可選用頂點式；和二次函數(shù)的零點有關，可選用零點式；一般式可作為二次函數(shù)的最終結(jié)果 已知二次函數(shù)f(x)同時滿足條件：(1)f(1x)f(1x)；(2)f(x)的最大值為15；(3)f(x)0的兩根立方和等于17.求f(x)的解析式解依條件，設f(x)a(x1)215 (a2xm恒成立，求實數(shù)m的取值范圍思維啟迪：對于(1)，由f(0)1可得c，利用f(x1)f(x)2x恒成立，可求出a，b，進而確定f(x)的解析式對于(2)，可利用函數(shù)思想求得解(1)由f(0)1得，c1.f(x)ax2bx1.又f(x1)f(x)2x，a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x，即2axab2x，因此，f(x)x2x1.(2)f(x)2xm等價于x2x12xm，即x23x1m0，要使此不等式在1,1上恒成立，只需使函數(shù)g(x)x23x1m在1,1上的最小值大于0即可g(x)x23x1m在1,1上單調(diào)遞減，g(x)ming(1)m1，由m10得，m1.因此滿足條件的實數(shù)m的取值范圍是(，1)探究提高二次函數(shù)、二次方程與二次不等式統(tǒng)稱“三個二次”，它們常結(jié)合在一起，而二次函數(shù)又是“三個二次”的核心，通過二次函數(shù)的圖象貫穿為一體因此，有關二次函數(shù)的問題，數(shù)形結(jié)合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法用函數(shù)思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)問題是高考命題的熱點 (xx蘇州模擬)已知函數(shù)f(x)x2mxn的圖象過點(1,3)，且f(1x)f(1x)對任意實數(shù)都成立，函數(shù)yg(x)與yf(x)的圖象關于原點對稱(1)求f(x)與g(x)的解析式；(2)若F(x)g(x)f(x)在(1,1上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍解(1)f(x)x2mxn，f(1x)(1x)2m(1x)nx22x1mxnmx2(m2)xnm1，f(1x)(1x)2m(1x)nx22x1mxmnx2(2m)xnm1.又f(1x)f(1x)，m22m，即m2.又f(x)的圖象過點(1,3)，312mn，即mn2，n0，f(x)x22x，又yg(x)與yf(x)的圖象關于原點對稱，g(x)(x)22(x)，g(x)x22x.(2)F(x)g(x)f(x)(1)x2(22)x，當10時，F(xiàn)(x)的對稱軸為x，又F(x)在(1,1上是增函數(shù)或.1或10.當10，即1時，F(xiàn)(x)4x顯然在(1,1上是增函數(shù)綜上所述，的取值范圍為(，0題型四冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)例4已知冪函數(shù)f(x)xm22m3 (mN*)的圖象關于y軸對稱，且在(0，)上是減函數(shù)，求滿足(a1)(32a)的a的取值范圍思維啟迪：由冪函數(shù)的性質(zhì)可得到冪指數(shù)m22m30，再結(jié)合m是整數(shù)，及冪函數(shù)是偶函數(shù)可得m的值解函數(shù)在(0，)上遞減，m22m30，解得1m3.mN*，m1,2.又函數(shù)的圖象關于y軸對稱，m22m3是偶數(shù)，而222233為奇數(shù)，122134為偶數(shù)，m1.而f(x)x在(，0)，(0，)上均為減函數(shù)，(a1)32a0或0a132a或a1032a.解得a1或af(a1)的實數(shù)a的取值范圍解(1)m2mm(m1)，mN*，而m與m1中必有一個為偶數(shù)，m(m1)為偶數(shù)函數(shù)f(x)x(m2m)1(mN*)的定義域為0，)，并且在定義域上為增函數(shù)(2)函數(shù)f(x)經(jīng)過點(2，)，2(m2m)1，即22(m2m)1.m2m2.解得m1或m2.又mN*，m1.由f(2a)f(a1)得解得1a0，即a0，由a21知a1，因此，a的取值范圍為(，13分(2)記f(x)的最小值為g(a)，則有f(x)2x2(xa)|xa|5分()當a0時，f(a)2a2，由知f(x)2a2，此時g(a)2a2.7分()當aa，則由知f(x)a2.若xa，由知f(x)2a2a2.此時g(a)a2，綜上，得g(a).10分(3)()當a時，解集為(a，)；()當a時，解集為；()當a時，解集為.14分溫馨提醒分類討論的思想是高考重點考查的數(shù)學思想方法之一本題充分體現(xiàn)了分類討論的思想方法在解答本題時有兩點容易造成失分：一是求實數(shù)a的值時，討論的過程中沒注意a自身的取值范圍，易出錯；二是求函數(shù)最值時，分類討論的結(jié)果不能寫在一起，不能得出最后的結(jié)論除此外，解決函數(shù)問題時，以下幾點容易造成失分：1含絕對值的問題，去絕對值符號，易出現(xiàn)計算錯誤；2分段函數(shù)求最值時要分段求，最后寫在一起時，沒有比較大小或不會比較大小；3解一元二次不等式時，不能與一元二次函數(shù)、一元二次方程聯(lián)系在一起，思路受阻.方法與技巧1 二次函數(shù)、二次方程、二次不等式間相互轉(zhuǎn)化的一般規(guī)律(1)在研究一元二次方程根的分布問題時，常借助于二次函數(shù)的圖象數(shù)形結(jié)合來解，一般從開口方向；對稱軸位置；判別式；端點函數(shù)值符號四個方面分析(2)在研究一元二次不等式的有關問題時，一般需借助于二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解2 與二次函數(shù)有關的不等式恒成立問題(1)ax2bxc0，a0恒成立的充要條件是.(2)ax2bxc0時，f()24，得2.4或2.2 已知函數(shù)f(x)x22x2的定義域和值域均為1，b，則b等于 ()A3 B2或3 C2 D1或2答案C解析函數(shù)f(x)x22x2在1，b上遞增，由已知條件即解得b2.3 設abc0，二次函數(shù)f(x)ax2bxc的圖象可能是 ()答案D解析由A，C，D知，f(0)c0，ab0，知A，C錯誤，D符合要求由B知f(0)c0，ab0，x0，B錯誤4 設二次函數(shù)f(x)ax22axc在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減，且f(m)f(0)，則實數(shù)m的取值范圍是 ()A(，0 B2，)C(，02，) D0,2答案D解析二次函數(shù)f(x)ax22axc在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減，則a0，f(x)2a(x1)0，即函數(shù)圖象的開口向上，對稱軸是直線x1.所以f(0)f(2)，則當f(m)f(0)時，有0m2.二、填空題(每小題5分，共15分)5 二次函數(shù)的圖象過點(0,1)，對稱軸為x2，最小值為1，則它的解析式為_答案y(x2)216 已知函數(shù)f(x)x22(a1)x2在區(qū)間(，3上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為_答案(，2解析f(x)的圖象的對稱軸為x1a且開口向上，1a3，即a2.7 當時，冪函數(shù)yx的圖象不可能經(jīng)過第_象限答案二、四解析當1、1、3時，yx的圖象經(jīng)過第一、三象限；當時，yx的圖象經(jīng)過第一象限三、解答題(共25分)8 (12分)已知二次函數(shù)f(x)的二次項系數(shù)為a，且f(x)2x的解集為x|1x3，方程f(x)6a0有兩相等實根，求f(x)的解析式解設f(x)2xa(x1)(x3) (a0)，則f(x)ax24ax3a2x，f(x)6aax2(4a2)x9a，(4a2)236a20,16a216a436a20，20a216a40,5a24a10，(5a1)(a1)0，解得a或a1(舍去)因此f(x)的解析式為f(x)(x1)(x3)9 (13分)(xx玉林調(diào)研)是否存在實數(shù)a，使函數(shù)f(x)x22axa的定義域為1,1時，值域為2,2？若存在，求a的值；若不存在，說明理由解f(x)(xa)2aa2.當a1時，f(x)在1,1上為增函數(shù)，a1(舍去)；當1a0時，a1；當01時，f(x)在1,1上為減函數(shù)，a不存在綜上可得a1.B組專項能力提升一、選擇題(每小題5分，共15分)1 (xx合肥調(diào)研)已知冪函數(shù)f(x)x的圖象經(jīng)過點，則f(4)的值等于()A16 B.C2 D.答案D解析將點代入得：2，所以，故f(4).2 (xx溫州十校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)2mx22(4m)x1，g(x)mx，若對于任一實數(shù)x，f(x)與g(x)的值至少有一個為正數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是 ()A(0,2) B(0,8)C(2,8) D(，0)答案B解析當m0時，顯然不合題意；當m0時，f(0)10，若對稱軸0，即0m4，結(jié)論顯然成立；若對稱軸4，只要4(4m)28m4(m8)(m2)0即可，即4m8，綜上，0m8，選B.3 已知二次函數(shù)yx22ax1在區(qū)間(2,3)內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是()Aa2或a3 B2a3Ca3或a2 D3a2答案A解析由函數(shù)圖象知，(2,3)在對稱軸xa的左側(cè)或右側(cè)，a3或a2.二、填空題(每小題4分，共12分)4 已知二次函數(shù)yf(x)的頂點坐標為，且方程f(x)0的兩個實根之差等于7，則此二次函數(shù)的解析式是_答案f(x)4x212x40解析設二次函數(shù)的解析式為f(x)a249 (a0)，方程a(x)2490的兩個根分別為x1，x2，則|x1x2|27，a4，故f(x)4x212x40.5 若方程x211x30a0的兩根均大于5，則實數(shù)a的取值范圍是_答案0a解析令yx211x30a，結(jié)合圖象有0a.6 已知f(x)ax2bx3ab是偶函數(shù)，且其定義域為a1,2a，則yf(x)的值域為_答案解析f(x)ax2bx3ab是偶函數(shù)，其定義域a1,2a關于原點對稱，即a12a，a，f(x)ax2bx3ab是偶函數(shù)，即f(x)f(x)，b0，f(x)x21，x，其值域為.三、解答題(13分)7 已知函數(shù)f(x)x22ax1a在x0,1時有最大值2，求a的值解f(x)(xa)2a2a1，當a1時，ymaxa；當0a1時，ymaxa2a1；當a0時，ymax1a.根據(jù)已知條件：或或解得a2或a1.