2019-2020年高三數(shù)學大一輪復習 2.4二次函數(shù)與冪函數(shù)教案 理 新人教A版 .doc
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2019-2020年高三數(shù)學大一輪復習 2.4二次函數(shù)與冪函數(shù)教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考 1.求二次函數(shù)的解析式；2.求二次函數(shù)的值域或最值，和一元二次方程、一元二次不等式進行綜合應用； 3．利用冪函數(shù)的圖象、性質解決有關問題． 復習備考要這樣做 1.理解二次函數(shù)三種解析式的特征及應用；2.分析二次函數(shù)要抓住幾個關鍵環(huán)節(jié)：開口方向、對稱軸、頂點，函數(shù)的定義域；3.充分應用數(shù)形結合思想把握二次函數(shù)、冪函數(shù)的性質． 1． 二次函數(shù)的定義與解析式 (1)二次函數(shù)的定義 形如：f(x)＝ax2＋bx＋c_(a≠0)的函數(shù)叫做二次函數(shù)． (2)二次函數(shù)解析式的三種形式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c_(a≠0)． ②頂點式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． ③零點式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)_(a≠0)． 2． 二次函數(shù)的圖象和性質 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c (a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c (a<0) 圖象 定義域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 單調性 在x∈上單調遞減； 在x∈上單調遞增 在x∈上單調遞增； 在x∈上單調遞減 奇偶性 當b＝0時為偶函數(shù)，b≠0時為非奇非偶函數(shù) 頂點 對稱性 圖象關于直線x＝－成軸對稱圖形 3. 冪函數(shù) 形如y＝xα (α∈R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)． 4． 冪函數(shù)的圖象及性質 (1)冪函數(shù)的圖象比較 (2)冪函數(shù)的性質比較 [難點正本 疑點清源] 1． 二次函數(shù)的三種形式 (1)已知三個點的坐標時，宜用一般式． (2)已知二次函數(shù)的頂點坐標或與對稱軸有關或與最大(小)值有關時，常使用頂點式． (3)已知二次函數(shù)與x軸有兩個交點，且橫坐標已知時，選用零點式求f(x)更方便． 2． 冪函數(shù)的圖象 (1)在(0,1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸，在(1，＋∞)上冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠離x軸． (2)函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1可做為研究和學習冪函數(shù)圖象和性質的代表． 1． 已知函數(shù)f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在區(qū)間(－∞，3]上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為 ____________． 答案 (－∞，－2] 解析 f(x)的圖象的對稱軸為x＝1－a且開口向上， ∴1－a≥3，即a≤－2. 2．已知函數(shù)y＝x2－2x＋3在閉區(qū)間[0，m]上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍為________． 答案 [1,2] 解析 y＝x2－2x＋3的對稱軸為x＝1. 當m<1時，y＝f(x)在[0，m]上為減函數(shù)． ∴ymax＝f(0)＝3，ymin＝f(m)＝m2－2m＋3＝2. ∴m＝1，無解． 當1≤m≤2時，ymin＝f(1)＝12－21＋3＝2， ymax＝f(0)＝3. 當m>2時，ymax＝f(m)＝m2－2m＋3＝3， ∴m＝0，m＝2，無解．∴1≤m≤2. 3． 若冪函數(shù)y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的圖象不經過原點，則實數(shù)m的值為________． 答案 1或2 解析 由，解得m＝1或2. 經檢驗m＝1或2都適合． 4． (人教A版教材例題改編) 如圖中曲線是冪函數(shù)y＝xn在第一象限的圖象．已知n取2，四個 值，則相應于曲線C1，C2，C3，C4的n值依次為____________． 答案 2，，－，－2 解析 可以根據(jù)函數(shù)圖象是否過原點判斷n的符號，然后根據(jù)函數(shù)凸凹性確定n的值． 5． 函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋1的圖象關于直線x＝1對稱的充要條件是 ( ) A．m＝－2 B．m＝2 C．m＝－1 D．m＝1 答案 A 解析 函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋1的圖象的對稱軸為x＝－，且只有一條對稱軸，所以－＝ 1，即m＝－2. 題型一 求二次函數(shù)的解析式 例1 已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，試確定此二次函數(shù)． 思維啟迪：確定二次函數(shù)采用待定系數(shù)法，有三種形式，可根據(jù)條件靈活運用． 解 方法一 設f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)， 依題意有解之，得 ∴所求二次函數(shù)解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7. 方法二 設f(x)＝a(x－m)2＋n，a≠0.∵f(2)＝f(－1)， ∴拋物線對稱軸為x＝＝.∴m＝. 又根據(jù)題意函數(shù)有最大值為n＝8， ∴y＝f(x)＝a2＋8. ∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解之，得a＝－4. ∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7. 方法三 依題意知，f(x)＋1＝0的兩根為 x1＝2，x2＝－1，故可設f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，a≠0. 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函數(shù)有最大值ymax＝8，即＝8， 解之，得a＝－4或a＝0(舍去)． ∴函數(shù)解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7. 探究提高 二次函數(shù)有三種形式的解析式，要根據(jù)具體情況選用：如和對稱性、最值有 關，可選用頂點式；和二次函數(shù)的零點有關，可選用零點式；一般式可作為二次函數(shù)的 最終結果． 已知二次函數(shù)f(x)同時滿足條件： (1)f(1＋x)＝f(1－x)； (2)f(x)的最大值為15； (3)f(x)＝0的兩根立方和等于17. 求f(x)的解析式． 解 依條件，設f(x)＝a(x－1)2＋15 (a<0)， 即f(x)＝ax2－2ax＋a＋15. 令f(x)＝0，即ax2－2ax＋a＋15＝0， ∴x1＋x2＝2，x1x2＝1＋. 而x＋x＝(x1＋x2)3－3x1x2(x1＋x2) ＝23－32＝2－， ∴2－＝17，則a＝－6. ∴f(x)＝－6x2＋12x＋9. 題型二 二次函數(shù)的圖象與性質 例2 已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]． (1)當a＝－2時，求f(x)的最值； (2)求實數(shù)a的取值范圍，使y＝f(x)在區(qū)間[－4,6]上是單調函數(shù)； (3)當a＝1時，求f(|x|)的單調區(qū)間． 思維啟迪：對于(1)和(2)可根據(jù)對稱軸與區(qū)間的關系直接求解，對于(3)，應先將函數(shù)化為分段函數(shù)，再求單調區(qū)間，注意函數(shù)定義域的限制作用． 解 (1)當a＝－2時，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]， ∴f(x)在[－4,2]上單調遞減，在[2,6]上單調遞增， ∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35. (2)由于函數(shù)f(x)的圖象開口向上，對稱軸是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是單調函 數(shù)，應有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4. (3)當a＝1時，f(x)＝x2＋2x＋3， ∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此時定義域為x∈[－6,6]， 且f(x)＝， ∴f(|x|)的單調遞增區(qū)間是(0,6]， 單調遞減區(qū)間是[－6,0]． 探究提高 (1)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動區(qū)間定、 軸定區(qū)間動，不論哪種類型，解決的關鍵是考查對稱軸與區(qū)間的關系，當含有參數(shù)時， 要依據(jù)對稱軸與區(qū)間的關系進行分類討論；(2)二次函數(shù)的單調性問題則主要依據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱軸進行分析討論求解． 若函數(shù)f(x)＝2x2＋mx－1在區(qū)間[－1，＋∞)上遞增，則f(－1)的取值范圍是 ____________． 答案 (－∞，－3] 解析 ∵拋物線開口向上，對稱軸為x＝－， ∴－≤－1，∴m≥4. 又f(－1)＝1－m≤－3，∴f(－1)∈(－∞，－3]． 題型三 二次函數(shù)的綜合應用 例3 (xx淮安模擬)若二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)滿足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式； (2)若在區(qū)間[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍． 思維啟迪：對于(1)，由f(0)＝1可得c，利用f(x＋1)－f(x)＝2x恒成立，可求出a，b，進而確定f(x)的解析式．對于(2)，可利用函數(shù)思想求得． 解 (1)由f(0)＝1得，c＝1.∴f(x)＝ax2＋bx＋1. 又f(x＋1)－f(x)＝2x， ∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x， 即2ax＋a＋b＝2x，∴∴ 因此，f(x)＝x2－x＋1. (2)f(x)>2x＋m等價于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函數(shù)g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可． ∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上單調遞減， ∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－1>0得，m<－1. 因此滿足條件的實數(shù)m的取值范圍是(－∞，－1)． 探究提高 二次函數(shù)、二次方程與二次不等式統(tǒng)稱“三個二次”，它們常結合在一起， 而二次函數(shù)又是“三個二次”的核心，通過二次函數(shù)的圖象貫穿為一體．因此，有關二 次函數(shù)的問題，數(shù)形結合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法．用函數(shù)思想研究 方程、不等式(尤其是恒成立)問題是高考命題的熱點． (xx蘇州模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋n的圖象過點(1,3)，且f(－1＋x)＝ f(－1－x)對任意實數(shù)都成立，函數(shù)y＝g(x)與y＝f(x)的圖象關于原點對稱． (1)求f(x)與g(x)的解析式； (2)若F(x)＝g(x)－λf(x)在(－1,1]上是增函數(shù)，求實數(shù)λ的取值范圍． 解 (1)∵f(x)＝x2＋mx＋n， ∴f(－1＋x)＝(－1＋x)2＋m(－1＋x)＋n ＝x2－2x＋1＋mx＋n－m ＝x2＋(m－2)x＋n－m＋1， f(－1－x)＝(－1－x)2＋m(－1－x)＋n ＝x2＋2x＋1－mx－m＋n ＝x2＋(2－m)x＋n－m＋1. 又f(－1＋x)＝f(－1－x)，∴m－2＝2－m，即m＝2. 又f(x)的圖象過點(1,3)， ∴3＝12＋m＋n，即m＋n＝2， ∴n＝0，∴f(x)＝x2＋2x， 又y＝g(x)與y＝f(x)的圖象關于原點對稱， ∴－g(x)＝(－x)2＋2(－x)， ∴g(x)＝－x2＋2x. (2)∵F(x)＝g(x)－λf(x)＝－(1＋λ)x2＋(2－2λ)x， 當λ＋1≠0時，F(xiàn)(x)的對稱軸為x＝＝， 又∵F(x)在(－1,1]上是增函數(shù)． ∴或. ∴λ<－1或－1<λ≤0. 當λ＋1＝0，即λ＝－1時，F(xiàn)(x)＝4x顯然在(－1,1]上是增函數(shù)． 綜上所述，λ的取值范圍為(－∞，0]． 題型四 冪函數(shù)的圖象和性質 例4 已知冪函數(shù)f(x)＝xm2－2m－3 (m∈N*)的圖象關于y軸對稱，且在(0，＋∞)上是減函 數(shù)，求滿足(a＋1)－<(3－2a)－的a的取值范圍． 思維啟迪：由冪函數(shù)的性質可得到冪指數(shù)m2－2m－3<0，再結合m是整數(shù)，及冪函數(shù)是偶函數(shù)可得m的值． 解 ∵函數(shù)在(0，＋∞)上遞減， ∴m2－2m－3<0，解得－1
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