2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 2.4二次函數(shù)與冪函數(shù)教案 理 新人教A版 .doc

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2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 2.4二次函數(shù)與冪函數(shù)教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考　1.求二次函數(shù)的解析式；2.求二次函數(shù)的值域或最值，和一元二次方程、一元二次不等式進(jìn)行綜合應(yīng)用； 3．利用冪函數(shù)的圖象、性質(zhì)解決有關(guān)問題． 復(fù)習(xí)備考要這樣做　1.理解二次函數(shù)三種解析式的特征及應(yīng)用；2.分析二次函數(shù)要抓住幾個關(guān)鍵環(huán)節(jié)：開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)，函數(shù)的定義域；3.充分應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想把握二次函數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì)． 1． 二次函數(shù)的定義與解析式 (1)二次函數(shù)的定義 形如：f(x)＝ax2＋bx＋c_(a≠0)的函數(shù)叫做二次函數(shù)． (2)二次函數(shù)解析式的三種形式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c_(a≠0)． ②頂點(diǎn)式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． ③零點(diǎn)式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)_(a≠0)． 2． 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c (a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c (a<0) 圖象 定義域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 單調(diào)性 在x∈上單調(diào)遞減； 在x∈上單調(diào)遞增 在x∈上單調(diào)遞增； 在x∈上單調(diào)遞減 奇偶性 當(dāng)b＝0時為偶函數(shù)，b≠0時為非奇非偶函數(shù) 頂點(diǎn) 對稱性 圖象關(guān)于直線x＝－成軸對稱圖形 3. 冪函數(shù) 形如y＝xα (α∈R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)． 4． 冪函數(shù)的圖象及性質(zhì) (1)冪函數(shù)的圖象比較 (2)冪函數(shù)的性質(zhì)比較 [難點(diǎn)正本　疑點(diǎn)清源] 1． 二次函數(shù)的三種形式 (1)已知三個點(diǎn)的坐標(biāo)時，宜用一般式． (2)已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對稱軸有關(guān)或與最大(小)值有關(guān)時，常使用頂點(diǎn)式． (3)已知二次函數(shù)與x軸有兩個交點(diǎn)，且橫坐標(biāo)已知時，選用零點(diǎn)式求f(x)更方便． 2． 冪函數(shù)的圖象 (1)在(0,1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸，在(1，＋∞)上冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸． (2)函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1可做為研究和學(xué)習(xí)冪函數(shù)圖象和性質(zhì)的代表． 1． 已知函數(shù)f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在區(qū)間(－∞，3]上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ____________． 答案　(－∞，－2] 解析　f(x)的圖象的對稱軸為x＝1－a且開口向上， ∴1－a≥3，即a≤－2. 2．已知函數(shù)y＝x2－2x＋3在閉區(qū)間[0，m]上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍為________． 答案　[1,2] 解析　y＝x2－2x＋3的對稱軸為x＝1. 當(dāng)m<1時，y＝f(x)在[0，m]上為減函數(shù)． ∴ymax＝f(0)＝3，ymin＝f(m)＝m2－2m＋3＝2. ∴m＝1，無解． 當(dāng)1≤m≤2時，ymin＝f(1)＝12－21＋3＝2， ymax＝f(0)＝3. 當(dāng)m>2時，ymax＝f(m)＝m2－2m＋3＝3， ∴m＝0，m＝2，無解．∴1≤m≤2. 3． 若冪函數(shù)y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的圖象不經(jīng)過原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為________． 答案　1或2 解析　由，解得m＝1或2. 經(jīng)檢驗(yàn)m＝1或2都適合． 4． (人教A版教材例題改編) 如圖中曲線是冪函數(shù)y＝xn在第一象限的圖象．已知n取2，四個 值，則相應(yīng)于曲線C1，C2，C3，C4的n值依次為____________． 答案　2，，－，－2 解析　可以根據(jù)函數(shù)圖象是否過原點(diǎn)判斷n的符號，然后根據(jù)函數(shù)凸凹性確定n的值． 5． 函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋1的圖象關(guān)于直線x＝1對稱的充要條件是 (　　) A．m＝－2 B．m＝2 C．m＝－1 D．m＝1 答案　A 解析　函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋1的圖象的對稱軸為x＝－，且只有一條對稱軸，所以－＝ 1，即m＝－2. 題型一　求二次函數(shù)的解析式 例1　已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，試確定此二次函數(shù)． 思維啟迪：確定二次函數(shù)采用待定系數(shù)法，有三種形式，可根據(jù)條件靈活運(yùn)用． 解　方法一　設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)， 依題意有解之，得 ∴所求二次函數(shù)解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7. 方法二　設(shè)f(x)＝a(x－m)2＋n，a≠0.∵f(2)＝f(－1)， ∴拋物線對稱軸為x＝＝.∴m＝. 又根據(jù)題意函數(shù)有最大值為n＝8， ∴y＝f(x)＝a2＋8. ∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解之，得a＝－4. ∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7. 方法三　依題意知，f(x)＋1＝0的兩根為 x1＝2，x2＝－1，故可設(shè)f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，a≠0. 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函數(shù)有最大值ymax＝8，即＝8， 解之，得a＝－4或a＝0(舍去)． ∴函數(shù)解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7. 探究提高　二次函數(shù)有三種形式的解析式，要根據(jù)具體情況選用：如和對稱性、最值有 關(guān)，可選用頂點(diǎn)式；和二次函數(shù)的零點(diǎn)有關(guān)，可選用零點(diǎn)式；一般式可作為二次函數(shù)的 最終結(jié)果． 已知二次函數(shù)f(x)同時滿足條件： (1)f(1＋x)＝f(1－x)； (2)f(x)的最大值為15； (3)f(x)＝0的兩根立方和等于17. 求f(x)的解析式． 解　依條件，設(shè)f(x)＝a(x－1)2＋15 (a<0)， 即f(x)＝ax2－2ax＋a＋15. 令f(x)＝0，即ax2－2ax＋a＋15＝0， ∴x1＋x2＝2，x1x2＝1＋. 而x＋x＝(x1＋x2)3－3x1x2(x1＋x2) ＝23－32＝2－， ∴2－＝17，則a＝－6. ∴f(x)＝－6x2＋12x＋9. 題型二　二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 例2　已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]． (1)當(dāng)a＝－2時，求f(x)的最值； (2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使y＝f(x)在區(qū)間[－4,6]上是單調(diào)函數(shù)； (3)當(dāng)a＝1時，求f(|x|)的單調(diào)區(qū)間． 思維啟迪：對于(1)和(2)可根據(jù)對稱軸與區(qū)間的關(guān)系直接求解，對于(3)，應(yīng)先將函數(shù)化為分段函數(shù)，再求單調(diào)區(qū)間，注意函數(shù)定義域的限制作用． 解　(1)當(dāng)a＝－2時，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]， ∴f(x)在[－4,2]上單調(diào)遞減，在[2,6]上單調(diào)遞增， ∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35. (2)由于函數(shù)f(x)的圖象開口向上，對稱軸是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是單調(diào)函 數(shù)，應(yīng)有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4. (3)當(dāng)a＝1時，f(x)＝x2＋2x＋3， ∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此時定義域?yàn)閤∈[－6,6]， 且f(x)＝， ∴f(|x|)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,6]， 單調(diào)遞減區(qū)間是[－6,0]． 探究提高　(1)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動區(qū)間定、 軸定區(qū)間動，不論哪種類型，解決的關(guān)鍵是考查對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，當(dāng)含有參數(shù)時， 要依據(jù)對稱軸與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類討論；(2)二次函數(shù)的單調(diào)性問題則主要依據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱軸進(jìn)行分析討論求解． 若函數(shù)f(x)＝2x2＋mx－1在區(qū)間[－1，＋∞)上遞增，則f(－1)的取值范圍是 ____________． 答案　(－∞，－3] 解析　∵拋物線開口向上，對稱軸為x＝－， ∴－≤－1，∴m≥4. 又f(－1)＝1－m≤－3，∴f(－1)∈(－∞，－3]． 題型三　二次函數(shù)的綜合應(yīng)用 例3　(xx淮安模擬)若二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)滿足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式； (2)若在區(qū)間[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 思維啟迪：對于(1)，由f(0)＝1可得c，利用f(x＋1)－f(x)＝2x恒成立，可求出a，b，進(jìn)而確定f(x)的解析式．對于(2)，可利用函數(shù)思想求得． 解　(1)由f(0)＝1得，c＝1.∴f(x)＝ax2＋bx＋1. 又f(x＋1)－f(x)＝2x， ∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x， 即2ax＋a＋b＝2x，∴∴ 因此，f(x)＝x2－x＋1. (2)f(x)>2x＋m等價于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函數(shù)g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可． ∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上單調(diào)遞減， ∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－1>0得，m<－1. 因此滿足條件的實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，－1)． 探究提高　二次函數(shù)、二次方程與二次不等式統(tǒng)稱“三個二次”，它們常結(jié)合在一起， 而二次函數(shù)又是“三個二次”的核心，通過二次函數(shù)的圖象貫穿為一體．因此，有關(guān)二 次函數(shù)的問題，數(shù)形結(jié)合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法．用函數(shù)思想研究 方程、不等式(尤其是恒成立)問題是高考命題的熱點(diǎn)． (xx蘇州模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋n的圖象過點(diǎn)(1,3)，且f(－1＋x)＝ f(－1－x)對任意實(shí)數(shù)都成立，函數(shù)y＝g(x)與y＝f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱． (1)求f(x)與g(x)的解析式； (2)若F(x)＝g(x)－λf(x)在(－1,1]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍． 解　(1)∵f(x)＝x2＋mx＋n， ∴f(－1＋x)＝(－1＋x)2＋m(－1＋x)＋n ＝x2－2x＋1＋mx＋n－m ＝x2＋(m－2)x＋n－m＋1， f(－1－x)＝(－1－x)2＋m(－1－x)＋n ＝x2＋2x＋1－mx－m＋n ＝x2＋(2－m)x＋n－m＋1. 又f(－1＋x)＝f(－1－x)，∴m－2＝2－m，即m＝2. 又f(x)的圖象過點(diǎn)(1,3)， ∴3＝12＋m＋n，即m＋n＝2， ∴n＝0，∴f(x)＝x2＋2x， 又y＝g(x)與y＝f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱， ∴－g(x)＝(－x)2＋2(－x)， ∴g(x)＝－x2＋2x. (2)∵F(x)＝g(x)－λf(x)＝－(1＋λ)x2＋(2－2λ)x， 當(dāng)λ＋1≠0時，F(xiàn)(x)的對稱軸為x＝＝， 又∵F(x)在(－1,1]上是增函數(shù)． ∴或. ∴λ<－1或－1<λ≤0. 當(dāng)λ＋1＝0，即λ＝－1時，F(xiàn)(x)＝4x顯然在(－1,1]上是增函數(shù)． 綜上所述，λ的取值范圍為(－∞，0]． 題型四　冪函數(shù)的圖象和性質(zhì) 例4　已知冪函數(shù)f(x)＝xm2－2m－3 (m∈N*)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在(0，＋∞)上是減函 數(shù)，求滿足(a＋1)－<(3－2a)－的a的取值范圍． 思維啟迪：由冪函數(shù)的性質(zhì)可得到冪指數(shù)m2－2m－3<0，再結(jié)合m是整數(shù)，及冪函數(shù)是偶函數(shù)可得m的值． 解　∵函數(shù)在(0，＋∞)上遞減， ∴m2－2m－3<0，解得－13－2a>0或0>a＋1>3－2a或a＋1<0<3－2a. 解得a<－1或f(a－1)的實(shí)數(shù)a 的取值范圍． 解　(1)m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*， 而m與m＋1中必有一個為偶數(shù)，∴m(m＋1)為偶數(shù)． ∴函數(shù)f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)的定義域?yàn)閇0，＋∞)，并且在定義域上為增函數(shù)． (2)∵函數(shù)f(x)經(jīng)過點(diǎn)(2，)， ∴＝2(m2＋m)－1，即2＝2(m2＋m)－1. ∴m2＋m＝2.解得m＝1或m＝－2. 又∵m∈N*，∴m＝1. 由f(2－a)>f(a－1)得 解得1≤a<. ∴a的取值范圍為[1，)． 　　　　　　　　　2.分類討論思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用 典例：(14分)設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|. (1)若f(0)≥1，求a的取值范圍； (2)求f(x)的最小值； (3)設(shè)函數(shù)h(x)＝f(x)，x∈(a，＋∞)，直接寫出(不需給出演算步驟)不等式h(x)≥1的解集． 審題視角　(1)求a的取值范圍，是尋求關(guān)于a的不等式，解不等式即可；(2)求f(x)的最 小值，由于f(x)可化為分段函數(shù)，分段函數(shù)的最值分段求，然后綜合在一起；(3)對a討 論時，要找到恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)． 規(guī)范解答 解　(1)因?yàn)閒(0)＝－a|－a|≥1，所以－a>0， 即a<0，由a2≥1知a≤－1， 因此，a的取值范圍為(－∞，－1]．[3分] (2)記f(x)的最小值為g(a)，則有 f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a| ＝[5分] (ⅰ)當(dāng)a≥0時，f(－a)＝－2a2， 由①②知f(x)≥－2a2，此時g(a)＝－2a2.[7分] (ⅱ)當(dāng)a<0時，f＝a2， 若x>a，則由①知f(x)≥a2. 若x≤a，由②知f(x)≥2a2>a2.此時g(a)＝a2， 綜上，得g(a)＝.[10分] (3)(ⅰ)當(dāng)a∈∪時，解集為(a，＋∞)； (ⅱ)當(dāng)a∈時，解集為； (ⅲ)當(dāng)a∈時，解集為 ∪.[14分] 溫馨提醒　分類討論的思想是高考重點(diǎn)考查的數(shù)學(xué)思想方法之一．本題充分體現(xiàn)了分類討論 的思想方法． 在解答本題時有兩點(diǎn)容易造成失分： 一是求實(shí)數(shù)a的值時，討論的過程中沒注意a自身的取值范圍，易出錯；二是求函數(shù)最 值時，分類討論的結(jié)果不能寫在一起，不能得出最后的結(jié)論． 除此外，解決函數(shù)問題時，以下幾點(diǎn)容易造成失分： 1．含絕對值的問題，去絕對值符號，易出現(xiàn)計算錯誤； 2．分段函數(shù)求最值時要分段求，最后寫在一起時，沒有比較大小或不會比較大??； 3．解一元二次不等式時，不能與一元二次函數(shù)、一元二次方程聯(lián)系在一起，思路受阻. 方法與技巧 1． 二次函數(shù)、二次方程、二次不等式間相互轉(zhuǎn)化的一般規(guī)律 (1)在研究一元二次方程根的分布問題時，常借助于二次函數(shù)的圖象數(shù)形結(jié)合來解，一般從①開口方向；②對稱軸位置；③判別式；④端點(diǎn)函數(shù)值符號四個方面分析． (2)在研究一元二次不等式的有關(guān)問題時，一般需借助于二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解． 2． 與二次函數(shù)有關(guān)的不等式恒成立問題 (1)ax2＋bx＋c>0，a≠0恒成立的充要條件是. (2)ax2＋bx＋c<0，a≠0恒成立的充要條件是. 3． 冪函數(shù)y＝xα(α∈R)，其中α為常數(shù)，其本質(zhì)特征是以冪的底x為自變量，指數(shù)α為常數(shù)． 失誤與防范 1． 對于函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，要認(rèn)為它是二次函數(shù)，就必須滿足a≠0，當(dāng)題目條件中未說 明a≠0時，就要討論a＝0和a≠0兩種情況． 2． 冪函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會出現(xiàn)在第四象限，至于是否出現(xiàn)在第 二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性；冪函數(shù)的圖象最多只能同時出現(xiàn)在兩個象限內(nèi)；如 果冪函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn)． (時間：60分鐘) A組　專項基礎(chǔ)訓(xùn)練 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1． (xx浙江)設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(α)＝4，則實(shí)數(shù)α等于 (　　) A．－4或－2 B．－4或2 C．－2或4 D．－2或2 答案　B 解析　當(dāng)α≤0時，f(α)＝－α＝4，得α＝－4； 當(dāng)α>0時，f(α)＝α2＝4，得α＝2.∴α＝－4或α＝2. 2． 已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋2的定義域和值域均為[1，b]，則b等于 (　　) A．3 B．2或3 C．2 D．1或2 答案　C 解析　函數(shù)f(x)＝x2－2x＋2在[1，b]上遞增， 由已知條件即解得b＝2. 3． 設(shè)abc>0，二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象可能是 (　　) 答案　D 解析　由A，C，D知，f(0)＝c<0. ∵abc>0，∴ab<0，∴對稱軸x＝－>0， 知A，C錯誤，D符合要求． 由B知f(0)＝c>0，∴ab>0，∴x＝－<0，B錯誤． 4． 設(shè)二次函數(shù)f(x)＝ax2－2ax＋c在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減，且f(m)≤f(0)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 (　　) A．(－∞，0] B．[2，＋∞) C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．[0,2] 答案　D 解析　二次函數(shù)f(x)＝ax2－2ax＋c在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減，則a≠0，f′(x)＝2a(x－1)<0， x∈[0,1]， 所以a>0，即函數(shù)圖象的開口向上，對稱軸Δ是直線x＝1. 所以f(0)＝f(2)，則當(dāng)f(m)≤f(0)時，有0≤m≤2. 二、填空題(每小題5分，共15分) 5． 二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(0,1)，對稱軸為x＝2，最小值為－1，則它的解析式為____________． 答案　y＝(x－2)2－1 6． 已知函數(shù)f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在區(qū)間(－∞，3]上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ____________． 答案　(－∞，－2] 解析　f(x)的圖象的對稱軸為x＝1－a且開口向上， ∴1－a≥3，即a≤－2. 7． 當(dāng)α∈時，冪函數(shù)y＝xα的圖象不可能經(jīng)過第________象限． 答案　二、四 解析　當(dāng)α＝－1、1、3時，y＝xα的圖象經(jīng)過第一、三象限；當(dāng)α＝時，y＝xα的圖象 經(jīng)過第一象限． 三、解答題(共25分) 8． (12分)已知二次函數(shù)f(x)的二次項系數(shù)為a，且f(x)>－2x的解集為{x|11時，f(x)在[－1,1]上為減函數(shù)， ∴?a不存在． 綜上可得a＝－1. B組　專項能力提升 一、選擇題(每小題5分，共15分) 1． (xx合肥調(diào)研)已知冪函數(shù)f(x)＝xα的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則f(4)的值等于 (　　) A．16 B. C．2 D. 答案　D 解析　將點(diǎn)代入得：2α＝，所以α＝－， 故f(4)＝. 2． (xx溫州十校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝2mx2－2(4－m)x＋1，g(x)＝mx，若對于任一實(shí)數(shù)x， f(x)與g(x)的值至少有一個為正數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 (　　) A．(0,2) B．(0,8) C．(2,8) D．(－∞，0) 答案　B 解析　當(dāng)m≤0時，顯然不合題意；當(dāng)m>0時，f(0)＝1>0，①若對稱軸≥0，即04，只要Δ＝4(4－m)2－8m＝4(m－8)(m－2)<0即可，即4

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2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 2.4二次函數(shù)與冪函數(shù)教案 新人教A版 2019 2020 年高 數(shù)學(xué) 一輪 復(fù)習(xí) 2.4 二次 函數(shù) 教案 新人

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