2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.3 變換的復(fù)合與矩陣的乘法教案 蘇教版選修4-2.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.3 變換的復(fù)合與矩陣的乘法教案 蘇教版選修4-2 2．3.1矩陣乘法的概念 2．3.2矩陣乘法的簡單性質(zhì) 課標(biāo)解讀 1.熟練掌握兩個(gè)矩陣的乘法法則，并能從變換的角度理解它們． 2．會(huì)從幾何變換的角度求MN的乘積矩陣． 3．通過具體的幾何圖形變換，理解矩陣乘法不滿足交換律. 1．矩陣的乘法 一般地，對(duì)于矩陣M＝，N＝，規(guī)定乘法法則如下： MN＝ ＝. 2．矩陣乘法的幾何意義 (1)變換的復(fù)合：在數(shù)學(xué)中，一一對(duì)應(yīng)的平面幾何變換?？梢钥醋鍪巧靿?、反射、旋轉(zhuǎn)、切變變換的一次或多次復(fù)合，而伸壓、反射、切變等變換通常叫做初等變換；對(duì)應(yīng)的矩陣叫做初等變換矩陣． (2)矩陣乘法的幾何意義： 矩陣乘法MN的幾何意義為：對(duì)向量α＝連續(xù)實(shí)施的兩次幾何變換(先TN后TM)的復(fù)合變換． (3)當(dāng)連續(xù)對(duì)向量實(shí)施(n＞1且n∈N*)次變換TM時(shí)，對(duì)應(yīng)地我們記Mn＝MM…M. 3．矩陣乘法的運(yùn)算性質(zhì) (1)矩陣乘法不滿足交換律 對(duì)于二階矩陣A、B來說，盡管AB、BA均有意義，但可能AB≠BA. (2)矩陣乘法滿足結(jié)合律 設(shè)M、N、P均為二階矩陣， 則一定有(MN)P＝M(NP)． (3)矩陣乘法不滿足消去律 設(shè)A、B、C為二階矩陣，當(dāng)AB＝AC時(shí)，可能B≠C. 1．矩陣的乘法與實(shí)數(shù)的乘法有什么異同？ 【提示】　(1)運(yùn)算條件不同，任何兩個(gè)實(shí)數(shù)均可作乘法，而兩個(gè)矩陣只有當(dāng)前一個(gè)矩陣的列數(shù)與后一個(gè)矩陣的行數(shù)相同時(shí)，才能作乘法． (2)從運(yùn)算律上看，實(shí)數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律及消去律，而矩陣的乘法只滿足結(jié)合律． 2．矩陣的乘法與變換的復(fù)合有什么關(guān)系？簡單變換與復(fù)合變換有什么關(guān)系？ 【提示】　矩陣的乘法對(duì)應(yīng)著變換的復(fù)合，這樣使得若干個(gè)簡單變換可以復(fù)合成較為復(fù)雜的變換；反過來較為復(fù)雜的變換可以分解成若干個(gè)簡單的變換． 3．矩陣乘法MN與NM的幾何意義一致嗎？為什么？ 【提示】　不一致；因?yàn)榍耙粋€(gè)對(duì)應(yīng)著先TN后TM的兩次幾何變換，而后者對(duì)應(yīng)著先TM后TN的兩次幾何變換. 矩陣的乘法運(yùn)算 　(1)已知A＝，B＝，計(jì)算AB. (2)已知A＝，B＝，計(jì)算AB，BA. (3)已知A＝，B＝，計(jì)算A2、B2. 【思路探究】　利用矩陣乘法法則計(jì)算，根據(jù)矩陣乘法的幾何意義說明． 【自主解答】　(1)AB＝ ＝ ＝. (2)AB＝ ＝ ＝， BA＝ ＝ ＝. (3)A2＝＝， B2＝＝. 這些計(jì)算只需利用矩陣的乘法公式即可，但對(duì)揭示矩陣乘法的性質(zhì)卻有著重要的意義．(1)中盡管A、B均為非零矩陣，但它們的乘積卻是零矩陣；(2)中AB≠BA；(3)中盡管B≠C，但有AB＝AC，這與一般數(shù)乘有著本質(zhì)的區(qū)別；(4)中A2＝A，B2＝0，這里0是一個(gè)二階零矩陣． 證明下列等式并從幾何變換的角度給予解釋． ＝ 【解】　∵左＝ ＝， 右＝＝， ∴左＝右． 對(duì)應(yīng)的變換將平面上的點(diǎn)垂直投影到x軸，而x軸上的點(diǎn)沿x軸的切變變換是不動(dòng)點(diǎn).，均為沿x軸的切變變換，自然有等式成立. 矩陣乘法的簡單性質(zhì) 　已知正方形ABCD，點(diǎn)A(1,0)、B(1,1)、C(0,1)、D(0,0)，變換T1所對(duì)應(yīng)的矩陣M＝，變換T2所對(duì)應(yīng)的矩陣N＝，計(jì)算MN、NM，比較它們是否相同，并從幾何變換的角度予以解釋． 【思路探究】　利用具體的幾何變換驗(yàn)證． 【自主解答】　MN＝＝， NM＝ ＝. 故MN≠NM. 從幾何變換的角度來看，矩陣M表示T1為向x軸壓縮為一半的變換，矩陣N表示T2為逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90的變換． 這樣MN表示矩陣ABCD先經(jīng)T2，再經(jīng)T1的變換，變換結(jié)果如圖所示： 而NM表示矩形ABCD先經(jīng)T1，再經(jīng)T2的變換，變換結(jié)果如圖． (2) 從圖(1)以及圖(2)可知，MN和NM表示的不是同一個(gè)變換． 一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換與一個(gè)伸壓變換的乘積一般不滿足交換律．但兩個(gè)旋轉(zhuǎn)變換、兩個(gè)反射變換滿足交換律． 算式＝表示AB＝AC，但A≠0且有B≠C，請(qǐng)通過計(jì)算驗(yàn)證這個(gè)結(jié)果，并從幾何上給予解釋． 【解】　左邊＝＝ 右邊＝＝. ∴左邊＝右邊． 表示先將平面上的點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍，再往x軸上投影． 表示先將平面上的點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)縮短為原來的，再往x軸上投影. 變換的復(fù)合問題 　已知圓C：x2＋y2＝1，先將圓C作關(guān)于矩陣P＝的伸壓變換，再將所得圖形繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，求所得曲線的方程． 【思路探究】　先求出旋轉(zhuǎn)90的矩陣Q，進(jìn)而求QP，再求曲線方程． 【自主解答】　繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90的變換矩陣Q＝， 則M＝QP ＝＝. 4分 設(shè)A(x0，y0)為圓C上的任意一點(diǎn)，在TM變換下變?yōu)榱硪稽c(diǎn)A′(x′0，y′0)， 則＝， 即所以 又因?yàn)辄c(diǎn)A(x0，y0)在曲線x2＋y2＝1上， 所以(y′0)2＋2＝1. 故所得曲線的方程為＋y2＝1. 矩陣的乘法對(duì)應(yīng)著變換的復(fù)合，而兩個(gè)變換的復(fù)合仍是一個(gè)變換，且兩個(gè)變換的復(fù)合過程是有序的，不能顛倒． 若將本例中兩次變換的順序交換，則曲線的方程如何？ 【解】　繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90的變換矩陣 Q＝， 則M＝PQ＝＝. 設(shè)A(x0，y0)為圓C上的任意一點(diǎn)，在TM變換下變?yōu)榱硪稽c(diǎn)A′(x′0，y′0)，則＝， 即所以 又因?yàn)辄c(diǎn)A(x0，y0)在曲線x2＋y2＝1上， 所以2＋(－x′0)2＝1. 故所得曲線的方程為x2＋＝1. 　(教材第47頁習(xí)題2.3第5題)已知△ABC，A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)，對(duì)它先作M＝對(duì)應(yīng)的變換，再作N＝對(duì)應(yīng)的變換，試研究變換作用后的結(jié)果，并用一個(gè)矩陣來表示這兩次變換． 　(xx南京模擬)已知曲線C1：x2＋y2＝1，對(duì)它先作矩陣A＝對(duì)應(yīng)的變換，再作矩陣B＝對(duì)應(yīng)的變換，得到曲線C2：＋y2＝1.求實(shí)數(shù)b的值． 【命題意圖】　本題主要考查圖形在矩陣對(duì)應(yīng)的變換下的變化特點(diǎn)，考查運(yùn)算求解能力． 【解】　從曲線C1變到曲線C2的變換對(duì)應(yīng)的矩陣為BA＝＝. 在曲線C1上任意選一點(diǎn)P(x0，y0)，設(shè)它在矩陣BA對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)镻′(x′，y′)， 則有＝，即＝. 故解得代入曲線C1方程得，y′2＋(x′)2＝1. 即曲線C2方程為：()2x2＋y2＝1. 與已知的曲線C2的方程＋y2＝1比較得(2b)2＝4. 所以b＝1. 1．若A＝，B＝，則AB＝________，BA＝________. 【解析】　AB＝＝ ＝， BA＝ ＝ ＝. 【答案】　　　 2．若A＝，B＝，C＝，則AB＝________，AC＝________. 【解析】　AB＝＝， AC＝＝. 【答案】　　　 3．若A＝，則A2＝________. 【解析】　A2＝＝ ＝. 【答案】　 4．矩陣乘法的幾何意義是________． 【解析】　幾何意義是先施以沿y軸方向的伸壓變換，再施以原點(diǎn)為中心的反射變換． 【答案】　先施以沿y軸方向的伸壓變換，再施以原點(diǎn)為中心的反射變換 1．已知A＝，B＝，C＝，計(jì)算AB、AC. 【解】　AB＝＝， AC＝＝. 2．計(jì)算. 【解】　原式＝ ＝ ＝. 3．已知M＝，W＝，試求滿足MZ＝W的二階矩陣Z. 【解】　設(shè)Z＝，則MZ＝＝.又因?yàn)镸Z＝W，且W＝，所以＝， 所以解得 故Z＝. 4．驗(yàn)證下列等式，并說明其幾何意義(結(jié)合法從右到左進(jìn)行)． (1)＝； (2)＝. 【解】　(1)右邊＝ ＝＝＝左邊．故等式成立． 從幾何變換上說，矩陣把點(diǎn)P(x，y)切變到點(diǎn)P1(y，x＋y)；矩陣把點(diǎn)P1(y，x＋y)切變到點(diǎn)P2(x＋2y，x＋y)；矩陣把點(diǎn)P2(x＋2y，x＋y)垂直于x軸伸長2倍變成點(diǎn)P3(x＋2y,2x＋2y)；矩陣把點(diǎn)P3(x＋2y,2x＋2y)向y軸正向切變到點(diǎn)P4(x＋2y,3x＋4y)．這樣連續(xù)實(shí)施以上四次變換的結(jié)果與用矩陣直接把點(diǎn)P(x，y)變到點(diǎn)P4(x＋2y,3x＋4y)是一致的． (2)右邊＝＝＝左邊．故等式成立．從幾何上看，矩陣把點(diǎn)A(x，y)以直線y＝x為對(duì)稱軸，反射到其點(diǎn)A1(y，x)；而把點(diǎn)A1(y，x)平行于x軸切變到點(diǎn)A2(y＋kx，x)；矩陣把點(diǎn)A2(y＋kx，x)以直線y＝x為對(duì)稱軸，反射到對(duì)稱點(diǎn)A3(x，y＋kx)．這樣連續(xù)三次變換的結(jié)果與用矩陣直接把點(diǎn)A(x，y)沿y軸切變到A3(x，y＋kx)是一致的． 5．試求曲線y＝sin x在矩陣MW變換下的函數(shù)解析式，其中M＝，W＝. 【解】　MW＝ ＝＝. 設(shè)(x′，y′)是曲線y＝sin x上任意一點(diǎn)，變換后曲線上與之對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x，y)， 則有＝，即＝， 所以即 所以y＝sin 2x，即y＝2sin 2x. 故曲線y＝sin x在矩陣MW變換下的函數(shù)解析式為y＝2sin 2x. 6．求曲線2x2－2xy＋1＝0在矩陣MN對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的曲線方程，其中M＝，N＝. 【解】　MN＝＝， 設(shè)P(x′，y′)是曲線2x2－2xy＋1＝0上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P在矩陣MN對(duì)應(yīng)的變換下變?yōu)辄c(diǎn)P′(x，y)， 則有＝＝ 于是x′＝x，y′＝x＋. 代入2x′2－2x′y′＋1＝0得xy＝1， 所以曲線2x2－2xy＋1＝0在MN對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的曲線方程為xy＝1. 7．已知晴天和陰天的轉(zhuǎn)移矩陣A，及表示今天天氣晴、陰的概率α分別為A＝明天，α＝今天 (1)計(jì)算A2、A3，并分別說明A2、A3的實(shí)際意義； (2)請(qǐng)用矩陣A與向量α表示出明天，后天與再后天的天氣晴、陰的概率． 【解】　(1)A2＝，A3＝， 它們分別表示 A2＝后天， A3＝再后天. (2)明天天氣晴、陰概率Aα＝； 后天天氣晴、陰概率A2α＝； 再后天天氣晴、陰概率A3α＝. 教師備選 8．設(shè)TA是繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)且旋轉(zhuǎn)60的旋轉(zhuǎn)變換，TB是以直線x＋y＝0為軸的反射變換，求先進(jìn)行TA變換后進(jìn)行TB變換的復(fù)合變換對(duì)應(yīng)的矩陣． 【解】　若逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，則TA，TB對(duì)應(yīng)的矩陣分別為 A＝＝， B＝， 故所求矩陣為 BA＝＝. 若順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)， 則TA，TB對(duì)應(yīng)的矩陣分別為 A＝＝， B＝，故所求矩陣為 BA＝＝. 綜上所述，所求矩陣為 或.  一、矩陣的乘法運(yùn)算 矩陣與矩陣的乘法運(yùn)算是高考考查本章知識(shí)的一個(gè)重要考點(diǎn)． 　已知二階矩陣M滿足M＝，M＝，求M2. 【解】　設(shè)M＝， 由M＝得＝， 所以a＝1，c＝0. 由M＝得＝， 所以b＝1，d＝2. 所以M＝. 所以M2＝＝. 所以M2＝＝. 二、矩陣的乘法與變換的復(fù)合問題 以矩陣乘法為載體考查矩陣變換的有關(guān)知識(shí)是高考考查的熱點(diǎn)． 　在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB的頂點(diǎn)O(0,0)，A(2,0)，B(1，)，求 △OAB在矩陣MN的作用變換下所得圖形的面積，其中M＝， N＝. 【解】　MN＝ ＝ ＝. 又因?yàn)椋剑? ＝， ＝， 所以O(shè)，A，B三點(diǎn)在矩陣MN的作用變換下所得點(diǎn)分別為O′(0,0)，A′(2,0)，B′(2，－1)， 所以S△O′A′B′＝21＝1. 故△OAB在矩陣MN的作用變換下所得圖形的面積為1. 　已知矩陣A＝，B＝，求拋物線y2＝x經(jīng)過矩陣AB作用下變換得到的曲線方程． 【解】　AB＝＝. 在曲線y2＝x上任取一點(diǎn)P(x，y)，它在矩陣AB對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)镻′(x′，y′)，則有＝，即即代入y2＝x，得y′＝x′2，所以曲線y2＝x經(jīng)過矩陣AB作用下變換得到的曲線方程為y＝x2. 三、數(shù)形結(jié)合思想 我們從平面變換的觀點(diǎn)引入了二階矩陣的乘法，矩陣變換是數(shù)學(xué)中變換的一種方法，利用矩陣的方法實(shí)際上是把某些幾何圖形的變換轉(zhuǎn)化為代數(shù)的運(yùn)算，使具體的問題抽象化，把某些方法進(jìn)行統(tǒng)一．在解決代數(shù)問題時(shí)，矩陣方法主要是對(duì)運(yùn)算過程的一種簡化，也是對(duì)運(yùn)算本質(zhì)的一種提煉．因此本章中始終貫穿數(shù)形結(jié)合的思想． 　已知矩形ABCD，其中A(0,0)、B(2,0)、C(2,1)、D(0,1)，將矩形繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，再將所得圖形作關(guān)于y軸的反射變換． (1)求連續(xù)兩次變換所對(duì)應(yīng)的變換矩陣M； (2)求點(diǎn)A、B、C、D在連續(xù)兩次變換后所得到的結(jié)果； (3)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出兩次對(duì)應(yīng)的幾何圖形，并驗(yàn)證(2)中的結(jié)論． 【解】　(1)繞原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90的變換矩陣為Q＝，而關(guān)于y軸的變換矩陣為P＝，則連續(xù)兩次變換所對(duì)應(yīng)的變換矩陣M由矩陣乘法可得． M＝PQ＝＝. (2)因?yàn)椋?，＝，＝，? 所以點(diǎn)A、B、C、D分別變換成點(diǎn)A″(0,0)、B″(0,2)、C″(1,2)、D″(1,0)．如圖所示． (3)從幾何變換角度，先作繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90的變換T1，再將所得圖形作關(guān)于y軸的軸反射變換T2，所得結(jié)果與(2)一致，如圖所示． 綜合檢測(三) 1．計(jì)算： (1)； (2). 【解】　(1) ＝ ＝. (2)＝ ＝. 2．已知A＝，B＝，計(jì)算AB，并從變換的角度解釋． 【解】　AB＝ ＝. AB所對(duì)應(yīng)的變換為復(fù)合變換，即由旋轉(zhuǎn)變換和切變變換連續(xù)變換得到的． 3．已知M＝，A＝，且MN＝A，求二階矩陣N. 【解】　設(shè)N＝，則 ＝＝， ∴ 解得 ∴N＝. 4．設(shè)E為二階單位矩陣，試證明對(duì)于任意二階矩陣M，ME＝EM＝M. 【證明】　設(shè)M＝，a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，則 ME＝＝＝M， EM＝ ＝＝M. 所以等式得證． 5．已知A＝，試求A2，A3，并據(jù)此猜想An(n∈N*)． 【解】　因?yàn)锳＝， 所以A2＝＝ ＝， A3＝ ＝， 所以據(jù)此猜想An＝. 6．根據(jù)如圖所示的變換，你能將其分解為已知的一些變換嗎？ 【解】　(1)先施以矩陣對(duì)應(yīng)的關(guān)于原點(diǎn)的中心反射變換，再往以矩陣對(duì)應(yīng)的伸壓變換得到． (2)先施以矩陣對(duì)應(yīng)的伸壓變換，再施以矩陣對(duì)應(yīng)的伸壓變換得到． 7．已知矩陣A＝，B＝. (1)計(jì)算AB，BA； (2)設(shè)M＝AB，N＝BA，若矩陣M，N分別把直線l：x＋y＋2＝0變?yōu)橹本€l1，l2，求直線l1，l2的方程． 【解】　(1)AB＝ ＝ ＝， BA＝ ＝ ＝. (2)任取直線l上一點(diǎn)P(x，y)經(jīng)矩陣M變換后為點(diǎn)P′(x′，y′)， 則＝＝， ∴，即， 把上式代入x＋y＋2＝0得： x′＋y′＋x′＋y′＋2＝0， 即x′＋y′＋2＝0， ∴直線l1的方程為x＋y＋2＝0， 同理可求l2的方程為3x＋7y＋10＝0. 8．在直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(0,0)，B(1,1)，C(0,2)，求△ABC在矩陣MN作用下變換所得到的圖形的面積，這里矩陣M＝，N＝. 【解】　由題設(shè)得MN＝＝. 由＝，＝， ＝， 可知A，B，C三點(diǎn)在矩陣MN作用下變換所得到的點(diǎn)分別是A′(0,0)，B′(1，－1)，C′(0，－2)．計(jì)算得△A′B′C′的面積為1. 所以△ABC在矩陣MN作用下變換所得到的圖形的面積為1. 9．已知矩陣M＝，N＝， 且MN＝. (1)求實(shí)數(shù)a，b，c，d的值； (2)求直線y＝3x在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下的象． 【解】　由題設(shè)得，解得：. (2)設(shè)直線y＝3x上的任意點(diǎn)(x，y)，在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下的象是點(diǎn)(x′，y′)， 由＝＝＝得y′＝－x′，即點(diǎn)(x′，y′)必在直線y＝－x上．由(x，y)的任意性可知，直線y＝3x在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下的象的方程為y＝－x. 10．假設(shè)我們收集到蘋果和香蕉在兩個(gè)不同商店的價(jià)格，每個(gè)男性與女性分別對(duì)這兩種水果的日需求量以及兩個(gè)不同公司中男性與女性人員數(shù)量，并用矩陣表示如下： 　　　　價(jià)格　　　　　　日需求量 A＝，B＝， 　　　人員數(shù)量 C＝. 利用A，B，C，按下列要求求出矩陣乘積： (1)計(jì)算乘積BA，并說明該乘積矩陣表示的是什么量表； (2)哪兩個(gè)矩陣的乘積可以表示兩個(gè)不同公司對(duì)兩種不同水果的日需求量？并計(jì)算出這個(gè)量表． 【解】　(1)BA＝＝. 由于7.1＝11.5＋22.8，表示男性每日在A店買蘋果和香蕉共需消費(fèi)7.1元；10.1＝31.5＋22.8，表示女性每日在A店買蘋果和香蕉共需消費(fèi)10.1元．故BA表示男、女在A，B兩店每日需消費(fèi)的金額，用量表表示如下： BA＝. (2)C與B的乘積可以表示兩個(gè)不同公司對(duì)兩種不同水果的日需求量： CB＝ ＝， 故量表為 D＝.