2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 8.3空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系教案 理 新人教A版 .DOC

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2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 8.3空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系教案 理 新人教A版xx高考會(huì)這樣考1.考查點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，考查邏輯推理能力與空間想象能力；2.考查公理、定理的應(yīng)用，證明點(diǎn)共線、線共點(diǎn)、線共面的問(wèn)題；3.運(yùn)用公理、定理和結(jié)論證明或判斷一些空間圖形的位置關(guān)系復(fù)習(xí)備考要這樣做1.理解、熟記平面的性質(zhì)公理，靈活運(yùn)用并判斷直線與平面的位置關(guān)系；2.異面直線位置關(guān)系的判定是本節(jié)難點(diǎn)，可以結(jié)合實(shí)物、圖形思考1 平面的基本性質(zhì)公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)公理2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線2 直線與直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類(2)異面直線所成的角定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線aa，bb，把a(bǔ)與b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a，b所成的角(或夾角)范圍：.3 直線與平面的位置關(guān)系有平行、相交、在平面內(nèi)三種情況4 平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況5 公理4平行于同一條直線的兩條直線互相平行6 定理空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源1 公理的作用公理1的作用是判斷直線是否在某個(gè)平面內(nèi)；公理2及其推論給出了確定一個(gè)平面或判斷“直線共面”的方法；公理3的作用是如何尋找兩相交平面的交線以及證明“線共點(diǎn)”的理論依據(jù)；公理4是對(duì)初中平行線的傳遞性在空間中的推廣2 正確理解異面直線的定義：異面直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)不能錯(cuò)誤地理解為不在某一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線就是異面直線1 在下列命題中，所有正確命題的序號(hào)是_平面與平面相交，它們只有有限個(gè)公共點(diǎn)；經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面；如果兩個(gè)平面有三個(gè)不共線的公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合；四邊形確定一個(gè)平面答案2 正方體各面所在平面將空間分成_部分答案27解析如圖，上下底面所在平面把空間分成三部分；左右兩個(gè)側(cè)面所在平面將上面的每一部分再分成三個(gè)部分；前后兩個(gè)側(cè)面再將第二步得到的9部分的一部分分成三部分，共9327部分3 空間四邊形ABCD中，各邊長(zhǎng)均為1，若BD1，則AC的取值范圍是 _答案(0，)解析如圖所示，ABD與BCD均為邊長(zhǎng)為1的正三角形，當(dāng)ABD與CBD重合時(shí)，AC0，將ABD以BD為軸轉(zhuǎn)動(dòng)，到A，B，C，D四點(diǎn)再共面時(shí)，AC，故AC的取值范圍是0AC.4 已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b()A一定是異面直線 B一定是相交直線C不可能是平行直線 D不可能是相交直線答案C解析由已知得直線c與b可能為異面直線也可能為相交直線，但不可能為平行直線，若bc，則ab，與已知a、b為異面直線相矛盾5 已知A、B表示不同的點(diǎn)，l表示直線，、表示不同的平面，則下列推理錯(cuò)誤的是()AAl，A，Bl，BlBA，A，B，BABCl，AlADA，Al，llA答案C題型一平面基本性質(zhì)的應(yīng)用例1在正方體ABCDA1B1C1D1中，對(duì)角線A1C與平面BDC1交于點(diǎn)O，AC，BD交于點(diǎn)M，求證：點(diǎn)C1，O，M共線思維啟迪：證明三點(diǎn)共線常用方法是取其中兩點(diǎn)確定一直線，再證明其余點(diǎn)也在該直線上證明如圖所示，A1AC1C，A1A，C1C確定平面A1C.A1C平面A1C，OA1C，O平面A1C，而O平面BDC1線A1C，O平面BDC1，O在平面BDC1與平面A1C的交線上ACBDM，M平面BDC1且M平面A1C，平面BDC1平面A1CC1M，OC1M，即C1，O，M三點(diǎn)共線探究提高(1)證明若干點(diǎn)共線也可以公理3為依據(jù)，找出兩個(gè)平面的交線，然后證明各個(gè)點(diǎn)都是這兩平面的公共點(diǎn)(2)利用類似方法也可證明線共點(diǎn)問(wèn)題 如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是AB和AA1的中點(diǎn)求證：(1)E、C、D1、F四點(diǎn)共面；(2)CE、D1F、DA三線共點(diǎn)證明(1)連接EF，CD1，A1B.E、F分別是AB、AA1的中點(diǎn)，EFBA1.又A1BD1C，EFCD1，E、C、D1、F四點(diǎn)共面(2)EFCD1，EFCD1，CE與D1F必相交，設(shè)交點(diǎn)為P，則由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直線DA.CE、D1F、DA三線共點(diǎn)題型二異面直線的判定例2如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別是A1B1、B1C1的中點(diǎn)問(wèn)：(1)AM和CN是否是異面直線？說(shuō)明理由；(2)D1B和CC1是否是異面直線？說(shuō)明理由思維啟迪：第(1)問(wèn)，連接MN，AC，證MNAC，即AM與CN共面；第(2)問(wèn)可采用反證法解(1)不是異面直線理由如下：連接MN、A1C1、AC.M、N分別是A1B1、B1C1的中點(diǎn)，MNA1C1.又A1A綊C1C，A1ACC1為平行四邊形，A1C1AC，MNAC，A、M、N、C在同一平面內(nèi)，故AM和CN不是異面直線(2)是異面直線證明如下：ABCDA1B1C1D1是正方體，B、C、C1、D1不共面假設(shè)D1B與CC1不是異面直線，則存在平面，使D1B平面，CC1平面，D1、B、C、C1，與ABCDA1B1C1D1是正方體矛盾假設(shè)不成立，即D1B與CC1是異面直線探究提高(1)證明直線異面通常用反證法；(2)證明直線相交，通常用平面的基本性質(zhì)，平面圖形的性質(zhì)等 已知空間四邊形ABCD中，E、H分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是邊BC、CD的中點(diǎn)求證：(1)BC與AD是異面直線；(2)EG與FH相交證明(1)假設(shè)BC與AD共面，不妨設(shè)它們所共平面為，則B、C、A、D.四邊形ABCD為平面圖形，這與四邊形ABCD為空間四邊形相矛盾BC與AD是異面直線(2)如圖，連接AC，BD，則EFAC，HGAC，因此EFHG；同理EHFG，則EFGH為平行四邊形又EG、FH是EFGH的對(duì)角線，EG與FH相交題型三異面直線所成的角例3正方體ABCDA1B1C1D1中，(1)求AC與A1D所成角的大??；(2)若E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，求A1C1與EF所成角的大小思維啟迪：(1)平移A1D到B1C，找出AC與A1D所成的角，再計(jì)算(2)可證A1C1與EF垂直解(1)如圖所示，連接B1C，由ABCDA1B1C1D1是正方體，易知A1DB1C，從而B(niǎo)1C與AC所成的角就是AC與A1D所成的角AB1ACB1C，B1CA60.即A1D與AC所成的角為60.(2)如圖所示，連接AC、BD，在正方體ABCDA1B1C1D1中，ACBD，ACA1C1，E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，EFBD，EFAC.EFA1C1.即A1C1與EF所成的角為90.探究提高求異面直線所成的角常采用“平移線段法”，平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移；補(bǔ)形平移計(jì)算異面直線所成的角通常放在三角形中進(jìn)行. 直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于 ()A30 B45C60 D90答案C解析如圖，可補(bǔ)成一個(gè)正方體，AC1BD1.BA1與AC1所成角的大小為A1BD1.又易知A1BD1為正三角形，A1BD160.即BA1與AC1成60的角點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系考慮不全面致誤典例：(5分)l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是()Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共點(diǎn)l1，l2，l3共面易錯(cuò)分析由于空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系是在空間考慮，這與在平面上考慮點(diǎn)、線的位置關(guān)系相比復(fù)雜了很多，特別是當(dāng)直線和平面的個(gè)數(shù)較多時(shí)，各種位置關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜、相互交織，如果考慮不全面就會(huì)導(dǎo)致一些錯(cuò)誤的判斷解析當(dāng)l1l2，l2l3時(shí)，l1與l3也可能相交或異面，故A不正確；當(dāng)l1l2l3時(shí)，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三條側(cè)棱，故C不正確；l1，l2，l3共點(diǎn)時(shí)，l1，l2，l3未必共面，如正方體中從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱，故D不正確答案B溫馨提醒(1)平面幾何中的一些定理和結(jié)論在空間中不一定成立，如“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”在空間中不成立，所以在用一些平面幾何中的定理和結(jié)論時(shí)，必須說(shuō)明涉及的元素都在某個(gè)平面內(nèi)(2)解決點(diǎn)、線、面位置關(guān)系問(wèn)題的基本思路：一是逐個(gè)判斷，利用空間線面關(guān)系證明正確的結(jié)論，尋找反例否定錯(cuò)誤的結(jié)論；二是結(jié)合長(zhǎng)方體模型或?qū)嶋H空間位置(如課桌、教室)作出判斷，但要注意定理應(yīng)用要準(zhǔn)確、考慮問(wèn)題要全面細(xì)致構(gòu)造襯托平面研究直線相交問(wèn)題典例：(4分)在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點(diǎn)，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線有_條審題視角找三條異面直線都相交的直線，可以轉(zhuǎn)化成在一個(gè)平面內(nèi)，作與三條直線都相交的直線因而可考慮過(guò)一條直線及另外一條直線上的一點(diǎn)作平面進(jìn)而研究公共交線問(wèn)題解析方法一在EF上任意取一點(diǎn)M，直線A1D1與M確定一個(gè)平面，這個(gè)平面與CD有且僅有1個(gè)交點(diǎn)N，當(dāng)M取不同的位置時(shí)就確定不同的平面，從而與CD有不同的交點(diǎn)N，而直線MN與這3條異面直線都有交點(diǎn)如圖所示方法二在A1D1上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P與直線EF作一個(gè)平面，因CD與平面不平行，所以它們相交，設(shè)它們交于點(diǎn)Q，連接PQ，則PQ與EF必然相交，即PQ為所求直線由點(diǎn)P的任意性，知有無(wú)數(shù)條直線與三條直線A1D1，EF，CD都相交答案無(wú)數(shù)溫馨提醒(1)本題難度不大，但比較靈活對(duì)平面的基本性質(zhì)、空間兩條直線的位置關(guān)系的考查，難度一般都不會(huì)太大(2)誤區(qū)警示：本題解法較多，但關(guān)鍵在于構(gòu)造平面，但不少學(xué)生不會(huì)構(gòu)造平面，因此失分較多這說(shuō)明學(xué)生還是缺少空間想象能力，缺少對(duì)空間直線位置關(guān)系的理解.方法與技巧1 主要題型的解題方法(1)要證明“線共面”或“點(diǎn)共面”可先由部分直線或點(diǎn)確定一個(gè)平面，再證其余直線或點(diǎn)也在這個(gè)平面內(nèi)(即“納入法”)(2)要證明“點(diǎn)共線”可將線看作兩個(gè)平面的交線，只要證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，根據(jù)公理3可知這些點(diǎn)在交線上，因此共線2 判定空間兩條直線是異面直線的方法(1)判定定理：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)B的直線是異面直線(2)反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩線異面3 求兩條異面直線所成角的大小，一般方法是通過(guò)平行移動(dòng)直線，把異面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為共面問(wèn)題來(lái)解決根據(jù)空間等角定理及推論可知，異面直線所成角的大小與頂點(diǎn)位置無(wú)關(guān)，往往可以選在其中一條直線上(線面的端點(diǎn)或中點(diǎn))利用三角形求解失誤與防范1全面考慮點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的情形，可以借助常見(jiàn)幾何模型2異面直線所成的角范圍是(0，90A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1 若空間中有兩條直線，則“這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)”的()A充分非必要條件 B必要非充分條件C充分必要條件 D既非充分又非必要條件答案A解析若兩條直線無(wú)公共點(diǎn)，則兩條直線可能異面，也可能平行若兩條直線是異面直線，則兩條直線必?zé)o公共點(diǎn)2 下列命題正確的個(gè)數(shù)為 ()經(jīng)過(guò)三點(diǎn)確定一個(gè)平面梯形可以確定一個(gè)平面兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合A0 B1 C2 D3答案C解析經(jīng)過(guò)不共線的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，不正確；兩條平行線可以確定一個(gè)平面，正確；兩兩相交的三條直線可以確定一個(gè)或三個(gè)平面，正確；命題中沒(méi)有說(shuō)清三個(gè)點(diǎn)是否共線，不正確3 設(shè)P表示一個(gè)點(diǎn)，a、b表示兩條直線，、表示兩個(gè)平面，給出下列四個(gè)命題，其中正確的命題是 ()Pa，PaabP，baab，a，Pb，Pbb，P，PPbA B C D答案D解析當(dāng)aP時(shí)，Pa，P，但a，錯(cuò)；aP時(shí)，錯(cuò)；如圖，ab，Pb，Pa，由直線a與點(diǎn)P確定唯一平面，又ab，由a與b確定唯一平面，但經(jīng)過(guò)直線a與點(diǎn)P，與重合，b，故正確；兩個(gè)平面的公共點(diǎn)必在其交線上，故正確4. 在正方體ABCDA1B1C1D1中，過(guò)頂點(diǎn)A1與正方體其他頂點(diǎn)的連線與直線BC1成60角的條數(shù)為()A1 B2C3 D4答案B解析有2條：A1B和A1C1.二、填空題(每小題5分，共15分)5 平面、相交，在、內(nèi)各取兩點(diǎn)，這四點(diǎn)都不在交線上，這四點(diǎn)能確定_個(gè)平面答案1或4解析若過(guò)四點(diǎn)中任意兩點(diǎn)的連線與另外兩點(diǎn)的連線相交或平行，則確定一個(gè)平面；否則確定四個(gè)平面6 下列命題中不正確的是_(填序號(hào))沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線；分別和兩條異面直線都相交的兩直線異面；一條直線和兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條直線不可能平行；一條直線和兩條異面直線都相交，則它們可以確定兩個(gè)平面答案解析沒(méi)有公共點(diǎn)的兩直線平行或異面，故錯(cuò)；命題錯(cuò)，此時(shí)兩直線有可能相交；命題正確，因?yàn)槿糁本€a和b異面，ca，則c與b不可能平行，用反證法證明如下：若cb，又ca，則ab，這與a，b異面矛盾，故cDb；命題也正確，若c與兩異面直線a，b都相交，由公理2可知，a，c可確定一個(gè)平面，b，c也可確定一個(gè)平面，這樣，a，b，c共確定兩個(gè)平面7 (xx大綱全國(guó))已知正方體ABCDA1 B1 C1 D1中，E為C1D1的中點(diǎn)，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為_(kāi)答案解析取A1B1的中點(diǎn)F，連接EF，AF.在正方體ABCDA1B1C1D1中，EFB1C1，B1C1BC，EFBC，AEF即為異面直線AE與BC所成的角設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則AFa，EFa.EF平面ABB1A1，EFAF，AEa.cos AEF.三、解答題(共22分)8 (10分) 如圖所示，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BC綊AD，BE綊FA，G、H分別為FA、FD的中點(diǎn)(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C、D、F、E四點(diǎn)是否共面？為什么？(1)證明由已知FGGA，F(xiàn)HHD，可得GH綊AD.又BC綊AD，GH綊BC，四邊形BCHG為平行四邊形(2)解方法一由BE綊AF，G為FA的中點(diǎn)知，BE綊FG，四邊形BEFG為平行四邊形，EFBG.由(1)知BG綊CH，EFCH，EF與CH共面又DFH，C、D、F、E四點(diǎn)共面方法二如圖所示，延長(zhǎng)FE，DC分別與AB交于點(diǎn)M，M，BE綊AF，B為MA的中點(diǎn)BC綊AD，B為MA的中點(diǎn)，M與M重合，即FE與DC交于點(diǎn)M(M)，C、D、F、E四點(diǎn)共面9 (12分)如圖，在四面體ABCD中作截面PQR，若PQ、CB的延長(zhǎng)線交于M，RQ、DB的延長(zhǎng)線交于N，RP、DC的延長(zhǎng)線交于K，求證：M、N、K三點(diǎn)共線證明MPQ，直線PQ面PQR，MBC，直線BC面BCD，M是平面PQR與平面BCD的一個(gè)公共點(diǎn)，即M在面PQR與面BCD的交線l上同理可證N、K也在l上M、N、K三點(diǎn)共線B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1. 如圖，l，A、B，C，且Cl，直線ABlM，過(guò)A，B，C三點(diǎn)的平面記作，則與的交線必通過(guò) ()A點(diǎn)AB點(diǎn)BC點(diǎn)C但不過(guò)點(diǎn)MD點(diǎn)C和點(diǎn)M答案D解析AB，MAB，M.又l，Ml，M.根據(jù)公理3可知，M在與的交線上同理可知，點(diǎn)C也在與的交線上2 已知空間中有三條線段AB、BC和CD，且ABCBCD，那么直線AB與CD的位置關(guān)系是 ()AABCDBAB與CD異面CAB與CD相交DABCD或AB與CD異面或AB與CD相交答案D解析若三條線段共面，如果AB、BC、CD構(gòu)成等腰三角形，則直線AB與CD相交，否則直線AB與CD平行；若不共面，則直線AB與CD是異面直線，故選D.3 以下四個(gè)命題中不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線；若點(diǎn)A、B、C、D共面，點(diǎn)A、B、C、E共面，則點(diǎn)A、B、C、D、E共面；若直線a、b共面，直線a、c共面，則直線b、c共面；依次首尾相接的四條線段必共面正確命題的個(gè)數(shù)是()A0 B1 C2 D3答案B解析假設(shè)其中有三點(diǎn)共線，則該直線和直線外的另一點(diǎn)確定一個(gè)平面這與四點(diǎn)不共面矛盾，故其中任意三點(diǎn)不共線，所以正確從條件看出兩平面有三個(gè)公共點(diǎn)A、B、C，但是若A、B、C共線，則結(jié)論不正確；不正確；不正確，因?yàn)榇藭r(shí)所得的四邊形的四條邊可以不在一個(gè)平面上，如空間四邊形二、填空題(每小題5分，共15分)4 在圖中，G、H、M、N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH、MN是異面直線的圖形有_(填上所有正確答案的序號(hào))答案解析圖中，直線GHMN；圖中，G、H、N三點(diǎn)共面，但M面GHN，因此直線GH與MN異面；圖中，連接MG，GMHN，因此GH與MN共面；圖中，G、M、N共面，但H面GMN，因此GH與MN異面所以圖、中GH與MN異面5. 如圖是正四面體的平面展開(kāi)圖，G、H、M、N分別為DE、BE、EF、EC的中點(diǎn)，在這個(gè)正四面體中，GH與EF平行；BD與MN為異面直線；GH與MN成60角；DE與MN垂直以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是_答案解析還原成正四面體知GH與EF為異面直線，BD與MN為異面直線，GH與MN成60角，DEMN.6 (xx四川)如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別是棱CD、CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1M與DN所成的角的大小是_答案90解析如圖，取CN的中點(diǎn)K，連接MK，則MK為CDN的中位線，所以MKDN.所以A1MK為異面直線A1M與DN所成的角連接A1C1，AM.設(shè)正方體棱長(zhǎng)為4，則A1K，MKDN，A1M6，A1M2MK2A1K2，A1MK90.三、解答題7 (13分)如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中心，H為直線B1D與平面ACD1的交點(diǎn)求證：D1、H、O三點(diǎn)共線證明連接BD，B1D1，則BDACO，BB1綊DD1，四邊形BB1D1D為平行四邊形，又HB1D，B1D平面BB1D1D，則H平面BB1D1D，平面ACD1平面BB1D1DOD1，HOD1.即D1、H、O三點(diǎn)共線