2019-2020年高中數(shù)學 2.1函數(shù)（備課資料） 大綱人教版必修.doc

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2019-2020年高中數(shù)學 2.1函數(shù)（備課資料） 大綱人教版必修 因為函數(shù)是現(xiàn)實世界對應關系的抽象或者說是對應關系的數(shù)學模型，它重要而且基本，不僅是數(shù)學研究的重要對象，也是數(shù)學中常用的一種數(shù)學思想，所以全面正確深刻理解函數(shù)概念則是我們教學的關鍵.其中函數(shù)的定義域是研究函數(shù)及應用函數(shù)解決問題的基礎，即處理函數(shù)問題必須樹立“定義域優(yōu)先”這種數(shù)學意識.熟練準確地寫出函數(shù)表達式是對函數(shù)概念理解充分體現(xiàn).下面，針對函數(shù)的定義域及函數(shù)解析式做進一步探討. 一、函數(shù)的定義域 ［例1］求下列函數(shù)的定義域 (1)y＝－x2＋1 (2)y＝ (3)y＝ (4)y＝＋2 (5)y＝ (6)y＝ (7)y＝（a為常數(shù)) 分析：當函數(shù)是用解析法給出，并且沒有指出定義域，則使函數(shù)解析式有意義的自變量的全體所組成的集合就是函數(shù)的定義域. 解：(1)x∈R； (2)要使函數(shù)有意義，必須使x2－4≠0得原函數(shù)定義域為{x｜x∈R且x≠2}； (3)要使函數(shù)有意義，必須使x＋｜x｜≠0，得原函數(shù)定義域為{x｜x＞0}； (4)要使函數(shù)有意義，必須使得原函數(shù)的定義域為{x｜1≤x≤4}； (5)要使函數(shù)有意義，必須使得原函數(shù)定義域為{x｜－2≤x≤2}； (6)要使函數(shù)有意義，必須使 得原函數(shù)的定義域為{x｜x＜－1或x＞0或－＜x＜0}； (7)要使函數(shù)有意義，必須使ax－3≥0得 當a＞0時，原函數(shù)定義域為{x｜x≥}； 當a＜0時，原函數(shù)定義域為{x｜x≤}； 當a＝0時，ax－3≥0的解集為，故原函數(shù)定義域為。 評述：(1)求函數(shù)定義域就是求使函數(shù)解析式有意義的自變量取值的集合，一般可通過解不等式或不等式組完成. (2)對于含參數(shù)的函數(shù)定義域常常受參數(shù)變化范圍的制約，受制約時應對參數(shù)進行分類討論.例1中的(8)小題含有參數(shù)a，須對它分類討論. ［例2］(1)已知函數(shù)f（x）的定義域為(0，1)，求f（x2）的定義域. (2)已知函數(shù)f（2x＋1）的定義域為(0，1)，求f（x）的定義域. (3)已知函數(shù)f（x＋1）的定義域為[－2，3]，求f（2x2－2）的定義域. 分析：(1)求函數(shù)定義域就是求自變量x的取值范圍，求f（x2）的定義域就是求x的范圍，而不是求x2的范圍，這里x與x2的地位相同，所滿足的條件一樣. (2)應由0＜x＜1確定出2x＋1的范圍，即為函數(shù)f（x）的定義域. (3)應由－2≤x≤3確定出x＋1的范圍，求出函數(shù)f（x）的定義域進而再求f（2x2－2）的定義域.它是(1)與(2)的綜合應用. 解：(1)∵f（x）的定義域為(0，1) ∴要使f（x2）有意義，須使0＜x2＜1，即－1＜x＜0或0＜x＜1∴函數(shù)f（x2）的定義域為{x｜－1＜x＜0或0＜x＜1} (2)∵f（2x＋1）的定義域為（0，1），即其中的函數(shù)自變量x的取值范圍是0＜x＜1，令t＝2x＋1，∴1＜t＜3，∴f（t）的定義域為1＜x＜3 ∴函數(shù)f（x）的定義域為{x｜1＜x＜3} (3)∵f（x＋1）的定義域為－2≤x≤3，∴－2≤x≤3 令t＝x＋1，∴－1≤t≤4 ∴f（t）的定義域為－1≤t≤4 即f(x)的定義域為－1≤x≤4，要使f（2x2－2）有意義，須使－1≤2x2－2≤4， ∴－≤x≤－或≤x≤ 函數(shù)f（2x2－2）的定義域為{x｜－≤x≤－或≤x≤} 注意：對于以上(2)(3)中的f（t）與f(x)其實質(zhì)是相同的. 評述：(1)對于復合函數(shù)f [ｇ（x）]而言，如果函數(shù)f（x）的定義域為A，則f [ｇ（x）]的定義域是使得函數(shù)ｇ（x）∈A的x取值范圍. (2)如果f [ｇ（x）]的定義域為A，則函數(shù)f(x)的定義域是函數(shù)ｇ(x)的值域. 二、函數(shù)的解析式 ［例1］(1)已知f（＋1）＝x＋2，求f(x)的解析式. (2)已知f（x＋）＝x3＋，求f(x)的解析式. (3)已知函數(shù)f（x）是一次函數(shù)，且滿足關系式3f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋17，求f(x)的解析式. 分析：此題目中的“f”這種對應法則，需要從題給條件中找出來，這就要有整體思想的應用，即：求出f及其定義域. 解：(1)設t＝＋1≥1，則＝t－1， ∴x＝（t－1）2 ∴f（t）＝（t－1）2＋2（t－1）＝t2－1（t≥1） ∴f（x）＝x2－1（x≥1） (2)∵x3＋＝（x＋）（x2＋－1） ＝（x＋）[（x＋）2－3] ∴f（x＋）＝（x＋）[（x＋）2－3] ∴f（x）＝x（x2－3）＝x3－3x ∴當x≠0時，x＋≥2或x＋≤－2， ∴f（x）＝x3－3x（x≤－2或x≥2） (3)設f（x）＝ax＋b則3f（x＋1）－2f（x－1）＝3ax＋3a＋2b＋2a－2b＝ax＋b＋5a ＝2x＋17 ∴a＝2，b＝7， ∴f（x）＝2x＋7. 注意：對于(1)中f（x）與f(t)本質(zhì)上一樣. 評述：“換元法”“配湊法”及“待定系數(shù)法”是求函數(shù)解析式常用的方法，以上3個題目分別采用了這三種方法.值得提醒的是在求出函數(shù)解析式時一定要注明定義域. ［例2］(1)甲地到乙地的高速公路長1500公里，現(xiàn)有一輛汽車以100公里／小時的速度從甲地到乙地，寫出汽車離開甲地的距離S(公里)表示成時間t(小時)的函數(shù). 分析：從已知可知這輛汽車是勻速運動，所以易求得函數(shù)解析式，其定義域由甲乙兩地之間的距離來決定. 解：∵汽車在甲乙兩地勻速行駛，∴S＝100t ∵汽車行駛速度為100公里／小時，兩地距離為1500公里， ∴從甲地到乙地所用時間為t＝小時 答：所求函數(shù)為：S＝100t t∈[0，15] (2)某鄉(xiāng)鎮(zhèn)現(xiàn)在人均一年占有糧食360千克，如果該鄉(xiāng)鎮(zhèn)人口平均每年增長1.2％，糧食總產(chǎn)量平均每年增長4%，那么x年后若人均一年占有y千克糧食.求出函數(shù)y關于x的解析式. 分析：此題用到平均增長率問題的分式，由于學生尚未學到，所以還應推導. 解：設現(xiàn)在某鄉(xiāng)鎮(zhèn)人口為A，則1年后此鄉(xiāng)鎮(zhèn)的人口數(shù)為A(1＋1.2％)，2年后的此鄉(xiāng)鎮(zhèn)人口數(shù)為A（1＋1.2％）2…經(jīng)過x年后此鄉(xiāng)鎮(zhèn)人口數(shù)為A(1＋1.2％)x.再設現(xiàn)在某鄉(xiāng)鎮(zhèn)糧食產(chǎn)量為B，則1年后此鄉(xiāng)鎮(zhèn)的糧食產(chǎn)量為B(1＋4％),2年后的此鄉(xiāng)鎮(zhèn)糧食產(chǎn)量為B（1＋4％）2…，經(jīng)過x年后此鄉(xiāng)鎮(zhèn)糧食產(chǎn)量為B（1＋4％）x，因某鄉(xiāng)鎮(zhèn)現(xiàn)在人均一年占有糧食為360 kg，即＝360，所以x年后的人均一年占有糧食為y，即y＝（x∈N*) 評述：根據(jù)實際問題求函數(shù)解析式，是應用函數(shù)知識解決實際問題的基礎，在設定或選定自變量后去尋求等量關系，求得函數(shù)解析式后，還要注意函數(shù)定義域要受到實際問題的限制. 三、參考練習題 (1)函數(shù)y＝的定義域是_________. 答案：R (2)設函數(shù)f（2x－1）＝2x－1，則函數(shù)f（x）的定義域是_________. 答案：（－1，＋∞） (3)已知函數(shù)f（x－1）＝－2x＋1，求f(x)的解析式是_________. 答案：f（x）＝－2x－1 (4)已知f（x）是一次函數(shù)，且f [f（x）]＝4x－1，則f（x）的解析式是_________. 答案：f（x）＝2x－或f（x）＝－2x＋1 ●備課資料 一、函數(shù)的值域 在函數(shù)概念的三要素中，定義域和對應法則是最基本的，值域是由定義域和對應法則所確定，因此，研究值域仍應注重函數(shù)對應法則的作用和定義域?qū)χ涤虻闹萍s，以下試舉例說明常用方法. 對函數(shù)值域的理解 [例題]求下列函數(shù)的值域 (1)y＝1－2x， （x∈R） (2)y＝｜x｜－1 x∈{－2，－1，0，1，2} (3)y＝x2＋4x＋3， （－3≤x≤1） (4)y＝｜x＋1｜－｜x－2｜ (5)y＝2x－3＋ (6)y＝ (7)y＝ (8)y＝ (9)y＝3－2x－x2 ， x∈[－3，1] (10)y＝ 分析：求函數(shù)的值域應確定相應的定義域后再根據(jù)函數(shù)的具體形式及運算確定其值域. 對于(1)(2)可用“直接法”根據(jù)它們的定義域及對應法則得到(1)(2)的值域. 對于(3)(4)可借助數(shù)形結(jié)合思想利用它們的圖象得到值域，即“圖象法”. 對于(5)(6)可借用整體思想，利用“換元法”求得值域. 對于(7)可將其分離出一個常數(shù)，即利用“分離常數(shù)法”求得它的值域. 對于(8)可通過對“Δ”的分析，即利用“判別式法”求得其值域. 對于(9)(10)可“通過中間函數(shù)的值域去求所求函數(shù)的值域”這一方法，即“中間媒介法”求得其值域. 解：(1)y∈R (2)y∈{1，0，－1} (3)畫出y＝x2＋4x＋3（－3≤x≤1）的圖象，如圖所示，當x∈[－3，1]時，得y∈[－1，8] (4)對于y＝｜x＋1｜－｜x－2｜的理解，從幾何意義入手，即利用絕對值的幾何意義可知，｜x＋1｜表示在數(shù)軸上表示x的點到點－1的距離，｜x－2｜表示在數(shù)軸上表示x的點到點2的距離，在數(shù)軸上任取三個點xA≤－1，－1＜xB＜2，xC≥c，如圖所示，可以看出｜xA＋1｜－｜xA－2｜＝－3 －3＜｜xB＋1｜－｜xB－2｜＜3，｜xC＋1｜－｜xC－2｜＝3，由此可知，對于任意實數(shù)x，都有－3≤｜x＋1｜－｜x－2｜≤3，所以函數(shù)y＝｜x＋1｜－｜x－2｜的值域為y∈[－3，3] (5)對于沒有給定自變量的函數(shù)，應先考查函數(shù)的定義域，再求其值域. ∵4x－13≥0 ∴x∈[，＋∞)令t＝則得：x＝ ∴y＝t2＋t＋， ∴y＝（t＋1）2＋3 ∵x≥， ∴t≥0 根據(jù)二次函數(shù)圖象可得y∈[，＋∞) (6)∵函數(shù)定義域為x∈R，由原函數(shù)可化得： y＝ ＝ ＝，令t＝ ∵x∈R ， ∴t∈(0，1]， ∴y＝5t2－t＋1＝5（t－）2＋ 根據(jù)二次函數(shù)的圖象得， 當t＝時，ymin＝；當t＝1時，ymax＝5 ∴函數(shù)的值域為y∈[，5] (7)∵y＝－＋， ∵≠0，∴y≠－ ∴函數(shù)y的值域為y∈（－∞，－）∪（－，＋∞） (8)由y＝得x∈R，且可化為： （2y－1）x2＋2（y＋1）x＋（y＋3）＝0 ∴當y≠時， △＝[2（y＋1）]2－4（2y－1）（y＋3）≥0 ∴y2＋3y－4≤0 ∴－4≤y≤1且y≠ 又當y＝時，2（1＋）x＋（＋3）＝0 得：x＝－，滿足條件 ∴函數(shù)的值域為y∈[－4，1] (9)∵－3≤x≤1，∴－2≤x＋1≤2 ∴｜x＋1｜≤2，即（x＋1）2≤4 ∴y＝3－2x－x2＝－（x＋1）2＋4∈[0，4] ∴函數(shù)值域為y∈[0，4] (10)由y＝可知，x∈R且yx2＋2y＝3x2－1 即（3－y）x2＝2y＋1 若y＝3時，則有0＝7，這是不可能的. ∴y≠3 得：x2＝ ∵x2≥0 ∴≥0 解得：－≤y＜3 ∴函數(shù)值域為y∈[－，3) 評述：（1）求函數(shù)的值域是一個相當復雜的問題，它沒有現(xiàn)成的方法可套用，要結(jié)合函數(shù)表達式的特征，以及與所學知識聯(lián)系，靈活地選擇恰當?shù)姆椒? （2）對于以上例題也可以采取不同的方法求解每一個值域，請讀者不妨試一試. （3）除以上介紹的方法求函數(shù)值域外，隨著學生的繼續(xù)學習，我們今后還會有“反函數(shù)”法、“單調(diào)性”法、“三角換元”法、“不等式”法及“導數(shù)法”等. 二、參考練習題 （1）已知集合A＝{a，b，c，d，ｅ}，B＝{a，b，c，d，ｅ}對應法則如圖示，則從A到B為映射的是（ ） 答案：C （2）下列哪一個對應是從集合P到集合S的一個映射（ ） A.P＝{有理數(shù)}，S＝{數(shù)軸上的點}，對應法則f：有理數(shù)→數(shù)軸上的點 B.P＝{數(shù)軸上的點}，S＝{有理數(shù)}，對應法則f：數(shù)軸上的點→有理數(shù) C.x∈P＝R，y∈S＝R＋，對應法則f：x→y＝｜x｜ D.x∈P＝RR＋，y∈S＝R＋，對應法則f：x→y＝x2 答案：A （3）在映射f：A→B中，下列判斷正確的是（ ） A.A中的元素a的象可能不只一個 B.A中的兩個元素a和b的象必不相同 C.B中的元素a′的原象可能不只一個 D.B中的兩個不同元素a′和b′的原象可能相同 答案：C （4）關于從集合A到集合B的映射，下面說法中錯誤的是（ ） A.A中每一個元素在B中都有象 B.A中的兩個不同元素在B中的象不同 C.B中的元素在A中可以沒有象 D.B中的某元素在A中的原象可能不止一個 答案：B （5）從集合A＝{a，b}到集合B＝{1，2}的映射共有（ ） A.2個 B.3個 C.4個 D.5個 答案：C （6）集合P＝{x｜0≤x≤4}，Q＝{x｜0≤x≤2}，下列不表示從P到Q的映射的是( ) A.f：x→y＝x B.f：x→y＝x C.f：x→y＝x D.f：x→y＝ 答案：C （7）設M＝{a，b，c}，N＝{－1，0，1}，從M到N的映射f滿足f（a）＞f（b） ≥f（c），試確定這樣的映射f的個數(shù)（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 分析：用列舉法，滿足條件f（a）＞f（b）≥f（c）的映射可列表如下： f（a） 0 1 1 1 f（b） －1 －1 0 0 f（c） －1 －1 －1 0 故符合條件的映射共有4個. 答案：D