2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 8.6空間向量及其運(yùn)算教案 理 新人教A版 .DOC

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2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 8.6空間向量及其運(yùn)算教案 理 新人教A版xx高考會(huì)這樣考1.考查空間向量的線性運(yùn)算及其數(shù)量積；2.利用向量的數(shù)量積判斷向量的關(guān)系與垂直；3.考查空間向量基本定理及其意義復(fù)習(xí)備考要這樣做1.和平面向量類比理解空間向量的概念、運(yùn)算；2.掌握空間向量的共線、垂直的條件，理解空間向量基本定理和數(shù)量積1 空間向量的有關(guān)概念(1)空間向量：在空間中，具有大小和方向的量叫做空間向量(2)相等向量：方向相同且模相等的向量(3)共線向量：表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量(4)共面向量：平行于同一個(gè)平面的向量2 共線向量、共面向量定理和空間向量基本定理(1)共線向量定理對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b(b0)，ab的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使得ab.推論如圖所示，點(diǎn)P在l上的充要條件是ta其中a叫直線l的方向向量，tR，在l上取a，則可化為t或(1t)t.(2)共面向量定理的向量表達(dá)式：pxayb，其中x，yR，a，b為不共線向量，推論的表達(dá)式為xy或?qū)臻g任意一點(diǎn)O，有xy或xyz，其中xyz_1_.(3)空間向量基本定理如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使得pxaybzc，把a(bǔ)，b，c叫做空間的一個(gè)基底3 空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律(1)數(shù)量積及相關(guān)概念兩向量的夾角已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作a，b，則AOB叫做向量a與b的夾角，記作a，b，其范圍是0a，b，若a，b，則稱a與b互相垂直，記作ab.兩向量的數(shù)量積已知空間兩個(gè)非零向量a，b，則|a|b|cosa，b叫做向量a，b的數(shù)量積，記作ab，即ab|a|b|cosa，b(2)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律結(jié)合律：(a)b(ab)；交換律：abba；分配律：a(bc)abac.4 空間向量的坐標(biāo)表示及應(yīng)用(1)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則aba1b1a2b2a3b3.(2)共線與垂直的坐標(biāo)表示設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則ababa1b1，a2b2，a3b3 (R)，abab0a1b1a2b2a3b30(a，b均為非零向量)(3)模、夾角和距離公式設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則|a|，cosa，b .設(shè)A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，則dAB|.難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源1 空間向量是由平面向量拓展而來(lái)的，因此空間向量的概念和性質(zhì)與平面向量的概念和性質(zhì)相同或相似，故在學(xué)習(xí)空間向量時(shí)，如果注意與平面向量的相關(guān)內(nèi)容相類比進(jìn)行學(xué)習(xí)，將達(dá)到事半功倍的效果比如：(1)定義式：ab|a|b|cosa，b或cosa，b，用于求兩個(gè)向量的數(shù)量積或夾角；(2)非零向量a，b，abab0，用于證明兩個(gè)向量的垂直關(guān)系；(3)|a|2aa，用于求距離等等2 用空間向量解決幾何問(wèn)題的一般步驟：(1)適當(dāng)?shù)倪x取基底a，b，c；(2)用a，b，c表示相關(guān)向量；(3)通過(guò)運(yùn)算完成證明或計(jì)算問(wèn)題1 已知向量a(4，2，4)，b(6，3,2)，則(ab)(ab)的值為_答案13解析ab(10，5，2)，ab(2,1，6)，(ab)(ab)2051213.2 下列命題：若A、B、C、D是空間任意四點(diǎn)，則有0；|a|b|ab|是a、b共線的充要條件；若a、b共線，則a與b所在直線平行；對(duì)空間任意一點(diǎn)O與不共線的三點(diǎn)A、B、C，若xyz (其中x、y、zR)，則P、A、B、C四點(diǎn)共面其中不正確的所有命題的序號(hào)為_答案解析中四點(diǎn)恰好圍成一封閉圖形，正確；中當(dāng)a、b同向時(shí)，應(yīng)有|a|b|ab|；中a、b所在直線可能重合；中需滿足xyz1，才有P、A、B、C四點(diǎn)共面3 同時(shí)垂直于a(2,2,1)和b(4,5,3)的單位向量是_答案或解析設(shè)與a(2,2,1)和b(4,5,3)同時(shí)垂直b單位向量是c(p，q，r)，則解得或即同時(shí)垂直a，b的單位向量為或.4 如圖所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn)若a，b，c，則下列向量中與相等的向量是 ()AabcB.abcCabcD.abc答案A解析()c(ba)abc.5. 如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別在A1D、AC上，且A1EA1D，AFAC，則 ()AEF至多與A1D、AC之一垂直BEF與A1D、AC都垂直CEF與BD1相交DEF與BD1異面答案B解析設(shè)AB1，以D為原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DD1所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F(xiàn)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，(1,0，1)，(1,1,0)，(1，1，1)，0，從而EFBD1，EFA1D，EFAC.題型一空間向量的線性運(yùn)算例1三棱錐OABC中，M，N分別是OA，BC的中點(diǎn)，G是ABC的重心，用基向量，表示，.思維啟迪：利用空間向量的加減法和數(shù)乘運(yùn)算表示即可解()().探究提高用已知向量來(lái)表示未知向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，我們可把這個(gè)法則稱為向量加法的多邊形法則在立體幾何中要靈活應(yīng)用三角形法則，向量加法的平行四邊形法則在空間仍然成立 如圖所示，ABCDA1B1C1D1中，ABCD是平行四邊形若，2，若b，c，a，試用a，b，c表示.解如圖，連接AF，則.由已知ABCD是平行四邊形，故bc，ac.由已知，2，c(ca)(a2c)，又(bc)，(bc)(a2c)(abc)題型二共線定理、共面定理的應(yīng)用例2已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，(1)求證：E、F、G、H四點(diǎn)共面；(2)求證：BD平面EFGH；(3)設(shè)M是EG和FH的交點(diǎn)，求證：對(duì)空間任一點(diǎn)O，有()思維啟迪：對(duì)于(1)只要證出向量與共線即可；對(duì)于(2)只要證出即可；對(duì)于(3)，易知四邊形EFGH為平行四邊形，則點(diǎn)M為線段EG與FH的中點(diǎn)，于是向量可由向量和表示，再將與分別用向量，和向量，表示證明(1)連接BG，則()，由共面向量定理的推論知：E、F、G、H四點(diǎn)共面(2)因?yàn)?)，所以EHBD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD平面EFGH.(3)找一點(diǎn)O，并連接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.由(2)知，同理，所以，即EH綊FG，所以四邊形EFGH是平行四邊形所以EG，F(xiàn)H交于一點(diǎn)M且被M平分故()()探究提高在求一個(gè)向量由其他向量來(lái)表示的時(shí)候，通常是利用向量的三角形法則、平行四邊形法則和共線向量的特點(diǎn)，把要求的向量逐步分解，向已知向量靠近，進(jìn)行求解若要證明兩直線平行，只需判定兩直線所在的向量滿足線性ab關(guān)系，即可判定兩直線平行 如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，D為BC邊上的中點(diǎn)，求證：A1B平面AC1D.證明設(shè)a，c，b，則ac，ab，bac，2，A1B平面AC1D，A1B平面AC1D.題型三空間向量數(shù)量積的應(yīng)用例3已知空間三點(diǎn)A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)(1)求以，為邊的平行四邊形的面積；(2)若|a|，且a分別與，垂直，求向量a的坐標(biāo)思維啟迪：利用兩個(gè)向量的數(shù)量積可以求向量的模和兩個(gè)向量的夾角解(1)由題意可得：(2，1,3)，(1，3,2)，cos，.sin，以，為邊的平行四邊形的面積為S2|sin，147.(2)設(shè)a(x，y，z)，由題意得，解得或，向量a的坐標(biāo)為(1,1,1)或(1，1，1)探究提高(1)當(dāng)題目條件有垂直關(guān)系時(shí)，常轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為零進(jìn)行應(yīng)用；(2)當(dāng)異面直線所成的角為時(shí)，常利用它們所在的向量轉(zhuǎn)化為向量的夾角來(lái)進(jìn)行計(jì)算；(3)通過(guò)數(shù)量積可以求向量的模. 如圖所示，平行六面體ABCDA1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都為1，且兩兩夾角為60.(1)求AC1的長(zhǎng)；(2)求BD1與AC夾角的余弦值解(1)記a，b，c，則|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，abbcca.|2(abc)2a2b2c22(abbcca)11126，|，即AC1的長(zhǎng)為.(2)bca，ab，|，|，(bca)(ab)b2a2acbc1.cos，.AC與BD1夾角的余弦值為.空間向量運(yùn)算錯(cuò)誤典例：(12分)如圖所示，在各個(gè)面都是平行四邊形的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，P是CA1的中點(diǎn)，M是CD1的中點(diǎn)，N是C1D1的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在CA1上，且CQQA141，設(shè)a，b，c，用基底a，b，c表示以下向量：(1)；(2)；(3)；(4).易錯(cuò)分析解本題易出錯(cuò)的地方就是對(duì)空間向量加減法的運(yùn)算，特別是減法運(yùn)算理解不清，如把誤認(rèn)為是；另一個(gè)錯(cuò)誤是向量的數(shù)乘表示不準(zhǔn)，如把，誤認(rèn)為.規(guī)范解答解如圖連接AC，AD1.(1)()()(abc)3分(2)()(2)(a2bc)6分(3)()()()(22)(a2b2c)abc.9分(4)()abc.12分溫馨提醒(1)空間向量的加減法運(yùn)算和數(shù)乘是表示向量的基礎(chǔ)；(2)空間任一向量用一組基底表示是唯一的；(3)空間向量共線和兩直線平行是不同的.方法與技巧1利用向量的線性運(yùn)算和空間向量基本定理表示向量是向量應(yīng)用的基礎(chǔ)2利用共線向量定理、共面向量定理可以證明一些平行、共面問(wèn)題；利用數(shù)量積運(yùn)算可以解決一些距離、夾角問(wèn)題3利用向量解立體幾何題的一般方法：把線段或角度轉(zhuǎn)化為向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通過(guò)向量的運(yùn)算或證明去解決問(wèn)題失誤與防范1向量的數(shù)量積滿足交換律、分配律，但不滿足結(jié)合律，即abba，a(bc)abac成立，(ab)ca(bc)不一定成立2用空間向量解決立體幾何中的平行或共線問(wèn)題一般用向量共線定理；求兩點(diǎn)間距離或某一線段的長(zhǎng)度，一般用向量的模來(lái)解決；解決垂直問(wèn)題一般可轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為零；求異面直線所成的角，一般可以轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角，但要注意兩種角的范圍不同，最后應(yīng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1 已知O，A，B，C為空間四個(gè)點(diǎn)，又，為空間的一個(gè)基底，則()AO，A，B，C四點(diǎn)不共線BO，A，B，C四點(diǎn)共面，但不共線CO，A，B，C四點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線DO，A，B，C四點(diǎn)不共面答案D解析，為空間的一個(gè)基底，所以，不共面，但A，B，C三種情況都有可能使，共面2 已知a(1,0,2)，b(6,21,2)，若ab，則與的值可以是()A2， B，C3,2 D2,2答案A解析由題意知：解得或3. 如圖所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB2，E為PB的中點(diǎn)，cos，若以DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為 ()A(1,1,1) B.C. D(1,1,2)答案A解析設(shè)PDa (a0)，則A(2,0,0)，B(2,2,0)，P(0,0，a)，E，(0,0，a)，cos，a，a2.E的坐標(biāo)為(1,1,1)4 如圖所示，已知PA平面ABC，ABC120，PAABBC6，則PC等于()A6 B6C12 D144答案C解析因?yàn)?，所?2222363636236cos 60144.所以|12.二、填空題(每小題5分，共15分)5. 在四面體OABC中，a，b，c，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則_(用a，b，c表示)答案abc解析abc.6 若向量a(1，2)，b(2，1,2)且a與b的夾角的余弦值為，則_.答案2或解析由已知得，83(6)，解得2或.7 在空間直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)A(4,1,9)、B(10，1,6)、C(x,4,3)為頂點(diǎn)的ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形，則實(shí)數(shù)x的值為_答案2解析由題意知0，|，可解得x2.三、解答題(共22分)8 (10分)如圖，已知M、N分別為四面體ABCD的面BCD與面ACD的重心，且G為AM上一點(diǎn)，且GMGA13.求證：B、G、N三點(diǎn)共線證明設(shè)a，b，c，則a(abc)abc，()abc.，即B、G、N三點(diǎn)共線9 (12分)已知空間中三點(diǎn)A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，設(shè)a，b.(1)求向量a與向量b的夾角的余弦值；(2)若kab與ka2b互相垂直，求實(shí)數(shù)k的值解(1)a(1,1,0)，b(1,0,2)，ab(1,1,0)(1,0,2)1，又|a|，|b|，cosa，b，即向量a與向量b的夾角的余弦值為.(2)方法一kab(k1，k,2)ka2b(k2，k，4)，且kab與ka2b互相垂直，(k1，k,2)(k2，k，4)(k1)(k2)k280，k2或k，當(dāng)kab與ka2b互相垂直時(shí)，實(shí)數(shù)k的值為2或.方法二由(2)知|a|，|b|，ab1，(kab)(ka2b)k2a2kab2b22k2k100，得k2或k.B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1 有下列命題：若pxayb，則p與a，b共面；若p與a，b共面，則pxayb；若xy，則P，M，A、B共面；若P，M，A，B共面，則xy.其中真命題的個(gè)數(shù)是()A1 B2 C3 D4答案B解析其中為真命題2 正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，點(diǎn)M在AC1上且，N為B1B的中點(diǎn)，則|為 ()A.a B.a C.a D.a答案A解析以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.設(shè)M(x，y，z)點(diǎn)M在AC1上且，(xa，y，z)(x，ay，az)xa，y，z.M，|a.3. 如圖所示，已知空間四邊形OABC，OBOC，且AOBAOC，則cos，的值為 ()A0 B.C. D.答案A解析設(shè)a，b，c，由已知條件a，ba，c，且|b|c|，a(cb)acab|a|c|a|b|0，cos，0.二、填空題(每小題5分，共15分)4 已知a3b與7a5b垂直，且a4b與7a2b垂直，則a，b_.答案60解析由條件知(a3b)(7a5b)7|a|216ab15|b|20，及(a4b)(7a2b)7|a|28|b|230ab0.兩式相減，得46ab23|b|2，ab|b|2.代入上面兩個(gè)式子中的任意一個(gè)，即可得到|a|b|.cosa，b.a，b0，180，a，b60.5. 如圖所示，已知二面角l的平面角為 ，ABBC，BCCD，AB在平面內(nèi)，BC在l上，CD在平面內(nèi)，若ABBCCD1，則AD的長(zhǎng)為_答案解析，所以22222221112cos()32cos .所以|，即AD的長(zhǎng)為.6 已知a(1t,1t，t)，b(2，t，t)，則|ba|的最小值為_答案解析ba(1t,2t1,0)，|ba|，當(dāng)t時(shí)，|ba|取得最小值.三、解答題7 (13分)直三棱柱ABCABC中，ACBCAA，ACB90，D、E分別為AB、BB的中點(diǎn)(1)求證：CEAD；(2)求異面直線CE與AC所成角的余弦值(1)證明設(shè)a，b，c，根據(jù)題意，|a|b|c|，且abbcca0，bc，cba.c2b20.，即CEAD.(2)解ac，|a|，|a|.(ac)c2|a|2，cos，.即異面直線CE與AC所成角的余弦值為.