2019-2020年高三數(shù)學大一輪復習 8.6空間向量及其運算教案 理 新人教A版 .DOC

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2019-2020年高三數(shù)學大一輪復習 8.6空間向量及其運算教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考　1.考查空間向量的線性運算及其數(shù)量積；2.利用向量的數(shù)量積判斷向量的關系與垂直；3.考查空間向量基本定理及其意義． 復習備考要這樣做　1.和平面向量類比理解空間向量的概念、運算；2.掌握空間向量的共線、垂直的條件，理解空間向量基本定理和數(shù)量積． 1． 空間向量的有關概念 (1)空間向量：在空間中，具有大小和方向的量叫做空間向量． (2)相等向量：方向相同且模相等的向量． (3)共線向量：表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量． (4)共面向量：平行于同一個平面的向量． 2． 共線向量、共面向量定理和空間向量基本定理 (1)共線向量定理 對空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使得a＝λb. 推論　如圖所示，點P在l上的充要條件是＝＋ta① 其中a叫直線l的方向向量，t∈R，在l上?。絘，則①可化為＝＋t或＝(1－t)＋t. (2)共面向量定理的向量表達式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b為不共線向量，推論的表達式為＝x＋y或對空間任意一點O，有＝＋x＋y或＝x＋y＋z，其中x＋y＋z＝__1__. (3)空間向量基本定理 如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序實數(shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空間的一個基底． 3． 空間向量的數(shù)量積及運算律 (1)數(shù)量積及相關概念 ①兩向量的夾角 已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作＝a，＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉，其范圍是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，則稱a與b互相垂直，記作a⊥b. ②兩向量的數(shù)量積 已知空間兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的數(shù)量積，記作ab，即ab＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空間向量數(shù)量積的運算律 ①結合律：(λa)b＝λ(ab)； ②交換律：ab＝ba； ③分配律：a(b＋c)＝ab＋ac. 4． 空間向量的坐標表示及應用 (1)數(shù)量積的坐標運算 設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 則ab＝a1b1＋a2b2＋a3b3. (2)共線與垂直的坐標表示 設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 則a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 (λ∈R)， a⊥b?ab＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均為非零向量)． (3)模、夾角和距離公式 設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 則|a|＝＝， cos〈a，b〉＝＝ . 設A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)， 則dAB＝||＝. [難點正本　疑點清源] 1． 空間向量是由平面向量拓展而來的，因此空間向量的概念和性質與平面向量的概念和性質相同或相似，故在學習空間向量時，如果注意與平面向量的相關內容相類比進行學習，將達到事半功倍的效果．比如： (1)定義式：ab＝|a||b|cos〈a，b〉或cos〈a，b〉＝，用于求兩個向量的數(shù)量積或夾角； (2)非零向量a，b，a⊥b?ab＝0，用于證明兩個向量的垂直關系； (3)|a|2＝aa，用于求距離等等． 2． 用空間向量解決幾何問題的一般步驟： (1)適當?shù)倪x取基底{a，b，c}； (2)用a，b，c表示相關向量； (3)通過運算完成證明或計算問題． 1． 已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，則(a＋b)(a－b)的值為________． 答案?。?3 解析　∵a＋b＝(10，－5，－2)，a－b＝(－2,1，－6)， ∴(a＋b)(a－b)＝－20－5＋12＝－13. 2． 下列命題： ①若A、B、C、D是空間任意四點，則有＋＋＋＝0； ②|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共線的充要條件； ③若a、b共線，則a與b所在直線平行； ④對空間任意一點O與不共線的三點A、B、C，若＝x＋y＋z (其中x、y、z∈R)，則P、A、B、C四點共面． 其中不正確的所有命題的序號為__________． 答案?、冖邰? 解析?、僦兴狞c恰好圍成一封閉圖形，正確； ②中當a、b同向時，應有|a|＋|b|＝|a＋b|； ③中a、b所在直線可能重合； ④中需滿足x＋y＋z＝1，才有P、A、B、C四點共面． 3． 同時垂直于a＝(2,2,1)和b＝(4,5,3)的單位向量是____________________． 答案　或 解析　設與a＝(2,2,1)和b＝(4,5,3)同時垂直b單位向量是c＝(p，q，r)，則 解得或 即同時垂直a，b的單位向量為 或. 4． 如圖所示，在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點．若＝a，＝b，＝c，則下列向量中與相等的向量是 (　　) A．－a＋b＋c B.a＋b＋c C．－a－b＋c D.a－b＋c 答案　A 解析?。剑剑?－) ＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c. 5. 如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別在A1D、AC上， 且A1E＝A1D，AF＝AC，則 (　　) A．EF至多與A1D、AC之一垂直 B．EF與A1D、AC都垂直 C．EF與BD1相交 D．EF與BD1異面 答案　B 解析　設AB＝1，以D為原點，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DD1所在直線為z軸建立空間直角坐標系，則A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F(xiàn)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，＝(－1,0，－1)，＝(－1,1,0)，＝，＝(－1，－1，1)，＝－，＝＝0，從而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC.  題型一　空間向量的線性運算 例1　三棱錐O—ABC中，M，N分別是OA，BC的中點，G是△ABC 的重心，用基向量，，表示，. 思維啟迪：利用空間向量的加減法和數(shù)乘運算表示即可． 解?。剑剑? ＝＋(－) ＝＋[(＋)－] ＝－＋＋. ＝＋＝－＋＋ ＝＋＋. 探究提高　用已知向量來表示未知向量，一定要結合圖形，以圖形為指導是解題的關鍵．要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運算的幾何意義．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點指向末尾向量的終點的向量，我們可把這個法則稱為向量加法的多邊形法則．在立體幾何中要靈活應用三角形法則，向量加法的平行四邊形法則在空間仍然成立． 如圖所示，ABCD－A1B1C1D1中，ABCD是平行四邊形．若＝，＝2，若＝b，＝c，＝a，試用a，b，c表示. 解　如圖，連接AF，則＝＋. 由已知ABCD是平行四邊形， 故＝＋＝b＋c， ＝＋＝－a＋c. 由已知，＝2，∴＝＋ ＝－＝－ ＝c－(c－a)＝(a＋2c)， 又＝－＝－(b＋c)， ∴＝＋＝－(b＋c) ＋(a＋2c)＝(a－b＋c)． 題型二　共線定理、共面定理的應用 例2　已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、 DA的中點， (1)求證：E、F、G、H四點共面； (2)求證：BD∥平面EFGH； (3)設M是EG和FH的交點，求證：對空間任一點O，有＝(＋＋＋)． 思維啟迪：對于(1)只要證出向量與共線即可；對于(2)只要證出＝＋即可；對于(3)，易知四邊形EFGH為平行四邊形，則點M為線段EG與FH的中點，于是向量可由向量和表示，再將與分別用向量，和向量，表示． 證明　(1)連接BG， 則＝＋ ＝＋(＋) ＝＋＋＝＋， 由共面向量定理的推論知： E、F、G、H四點共面． (2)因為＝－ ＝－＝(－)＝， 所以EH∥BD. 又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH， 所以BD∥平面EFGH. (3)找一點O，并連接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG. 由(2)知＝，同理＝， 所以＝，即EH綊FG， 所以四邊形EFGH是平行四邊形． 所以EG，F(xiàn)H交于一點M且被M平分． 故＝(＋)＝＋ ＝＋ ＝(＋＋＋)． 探究提高　在求一個向量由其他向量來表示的時候，通常是利用向量的三角形法則、平行四邊形法則和共線向量的特點，把要求的向量逐步分解，向已知向量靠近，進行求解．若要證明兩直線平行，只需判定兩直線所在的向量滿足線性a＝λb關系，即可判定兩直線平行． 如圖，在三棱柱ABC—A1B1C1中，D為BC邊上的中點， 求證：A1B∥平面AC1D. 證明　設＝a，＝c，＝b， 則＝＋＝＋ ＝a＋c， ＝＋＝＋＝－a＋b， ＝＋＝－＋＝b－a＋c， ＝－2， ∵A1B?平面AC1D，∴A1B∥平面AC1D. 題型三　空間向量數(shù)量積的應用 例3　已知空間三點A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)． (1)求以，為邊的平行四邊形的面積； (2)若|a|＝，且a分別與，垂直，求向量a的坐標． 思維啟迪：利用兩個向量的數(shù)量積可以求向量的模和兩個向量的夾角． 解　(1)由題意可得： ＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)， ∴cos〈，〉＝ ＝＝＝. ∴sin〈，〉＝， ∴以，為邊的平行四邊形的面積為 S＝2||||sin〈，〉 ＝14＝7. (2)設a＝(x，y，z)， 由題意得， 解得或， ∴向量a的坐標為(1,1,1)或(－1，－1，－1)． 探究提高　(1)當題目條件有垂直關系時，常轉化為數(shù)量積為零進行應用； (2)當異面直線所成的角為α時，常利用它們所在的向量轉化為向量的夾角θ來進行計算； (3)通過數(shù)量積可以求向量的模. 如圖所示，平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，以頂點A 為端點的三條棱長都為1，且兩兩夾角為60. (1)求AC1的長； (2)求BD1與AC夾角的余弦值． 解　(1)記＝a，＝b，＝c， 則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60， ∴ab＝bc＝ca＝. ||2＝(a＋b＋c)2 ＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca) ＝1＋1＋1＋2＝6， ∴||＝，即AC1的長為. (2)＝b＋c－a，＝a＋b， ∴||＝，||＝， ＝(b＋c－a)(a＋b) ＝b2－a2＋ac＋bc＝1. ∴cos〈，〉＝＝. ∴AC與BD1夾角的余弦值為. 空間向量運算錯誤 典例：(12分)如圖所示，在各個面都是平行四邊形的四棱柱 ABCD—A1B1C1D1中，P是CA1的中點，M是CD1的中點，N 是C1D1的中點，點Q在CA1上，且CQ∶QA1＝4∶1，設 ＝a，＝b，＝c，用基底{a，b，c}表示以下向量： (1)；(2)；(3)；(4). 易錯分析　解本題易出錯的地方就是對空間向量加減法的運算，特別是減法運算理解不清，如把誤認為是－；另一個錯誤是向量的數(shù)乘表示不準，如把＝，誤認為＝. 規(guī)范解答 解　如圖連接AC，AD1. (1)＝(＋) ＝(＋＋) ＝(a＋b＋c)．[3分] (2)＝(＋)＝(＋2＋) ＝(a＋2b＋c)．[6分] (3)＝(＋)＝[(＋＋)＋(＋)]＝(＋2＋2)＝(a＋2b＋2c) ＝a＋b＋c.[9分] (4)＝＋＝＋(－) ＝＋＝＋＋ ＝a＋b＋c.[12分] 溫馨提醒　(1)空間向量的加減法運算和數(shù)乘是表示向量的基礎；(2)空間任一向量用一組基底表示是唯一的；(3)空間向量共線和兩直線平行是不同的. 方法與技巧 1．利用向量的線性運算和空間向量基本定理表示向量是向量應用的基礎． 2．利用共線向量定理、共面向量定理可以證明一些平行、共面問題；利用數(shù)量積運算可以解決一些距離、夾角問題． 3．利用向量解立體幾何題的一般方法：把線段或角度轉化為向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通過向量的運算或證明去解決問題． 失誤與防范 1．向量的數(shù)量積滿足交換律、分配律，但不滿足結合律，即ab＝ba，a(b＋c)＝ab＋ac成立，(ab)c＝a(bc)不一定成立． 2．用空間向量解決立體幾何中的平行或共線問題一般用向量共線定理；求兩點間距離或某一線段的長度，一般用向量的模來解決；解決垂直問題一般可轉化為向量的數(shù)量積為零；求異面直線所成的角，一般可以轉化為兩向量的夾角，但要注意兩種角的范圍不同，最后應進行轉化．  A組　專項基礎訓練 (時間：35分鐘，滿分：57分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1． 已知O，A，B，C為空間四個點，又，，為空間的一個基底，則 (　　) A．O，A，B，C四點不共線 B．O，A，B，C四點共面，但不共線 C．O，A，B，C四點中任意三點不共線 D．O，A，B，C四點不共面 答案　D 解析　，，為空間的一個基底，所以，，不共面，但A，B，C三種情況都有可能使，，共面． 2． 已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，則λ與μ的值可以是 (　　) A．2， B．－， C．－3,2 D．2,2 答案　A 解析　由題意知：解得或 3. 如圖所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E為PB的 中點，cos〈，〉＝，若以DA，DC，DP所在直線分別為 x，y，z軸建立空間直角坐標系，則點E的坐標為 (　　) A．(1,1,1) B. C. D．(1,1,2) 答案　A 解析　設PD＝a (a>0)，則A(2,0,0)，B(2,2,0)，P(0,0，a)，E， ∴＝(0,0，a)，＝， ∵cos〈，〉＝，∴＝a，∴a＝2. ∴E的坐標為(1,1,1)． 4． 如圖所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120，PA＝AB＝BC＝6， 則PC等于 (　　) A．6 B．6 C．12 D．144 答案　C 解析　因為＝＋＋， 所以2＝2＋2＋2＋2 ＝36＋36＋36＋236cos 60＝144. 所以||＝12. 二、填空題(每小題5分，共15分) 5. 在四面體O—ABC中，＝a，＝b，＝c，D為BC的中點，E為 AD的中點，則＝______________(用a，b，c表示)． 答案　a＋b＋c 解析?。剑剑? ＝a＋b＋c. 6． 若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)且a與b的夾角的余弦值為，則λ＝________. 答案?。?或 解析　由已知得＝＝， ∴8＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝. 7． 在空間直角坐標系中，以點A(4,1,9)、B(10，－1,6)、C(x,4,3)為頂點的△ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形，則實數(shù)x的值為________． 答案　2 解析　由題意知＝0，||＝||，可解得x＝2. 三、解答題(共22分) 8． (10分)如圖，已知M、N分別為四面體ABCD的面BCD與面ACD 的重心，且G為AM上一點，且GM∶GA＝1∶3.求證：B、G、N三 點共線． 證明　設＝a，＝b，＝c， 則＝＋＝＋ ＝－a＋(a＋b＋c)＝－a＋b＋c， ＝＋＝＋(＋) ＝－a＋b＋c＝. ∴∥，即B、G、N三點共線． 9． (12分)已知空間中三點A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，設a＝，b＝. (1)求向量a與向量b的夾角的余弦值； (2)若ka＋b與ka－2b互相垂直，求實數(shù)k的值． 解　(1)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)， ∴ab＝(1,1,0)(－1,0,2)＝－1， 又|a|＝＝， |b|＝＝， ∴cos〈a，b〉＝＝＝－， 即向量a與向量b的夾角的余弦值為－. (2)方法一　∵ka＋b＝(k－1，k,2)． ka－2b＝(k＋2，k，－4)，且ka＋b與ka－2b互相垂直， ∴(k－1，k,2)(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0， ∴k＝2或k＝－，∴當ka＋b與ka－2b互相垂直時，實數(shù)k的值為2或－. 方法二　由(2)知|a|＝，|b|＝，ab＝－1， ∴(ka＋b)(ka－2b)＝k2a2－kab－2b2＝2k2＋k－10＝0，得k＝2或k＝－. B組　專項能力提升 (時間：25分鐘，滿分：43分) 一、選擇題(每小題5分，共15分) 1． 有下列命題： ①若p＝xa＋yb，則p與a，b共面； ②若p與a，b共面，則p＝xa＋yb； ③若＝x＋y，則P，M，A、B共面； ④若P，M，A，B共面，則＝x＋y. 其中真命題的個數(shù)是 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　其中①③為真命題． 2． 正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為a，點M在AC1上且＝，N為B1B的中點，則||為 (　　) A.a B.a C.a D.a 答案　A 解析　以D為原點建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz， 則A(a,0,0)，C1(0，a，a)， N. 設M(x，y，z)． ∵點M在AC1上且＝， ∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z) ∴x＝a，y＝，z＝.∴M， ∴||＝＝a. 3. 如圖所示，已知空間四邊形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝， 則cos〈，〉的值為 (　　) A．0 B. C. D. 答案　A 解析　設＝a，＝b，＝c， 由已知條件〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且|b|＝|c|， ＝a(c－b)＝ac－ab ＝|a||c|－|a||b|＝0， ∴cos〈，〉＝0. 二、填空題(每小題5分，共15分) 4． 已知a＋3b與7a－5b垂直，且a－4b與7a－2b垂直，則〈a，b〉＝________. 答案　60 解析　由條件知(a＋3b)(7a－5b) ＝7|a|2＋16ab－15|b|2＝0， 及(a－4b)(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30ab＝0. 兩式相減，得46ab＝23|b|2，∴ab＝|b|2. 代入上面兩個式子中的任意一個，即可得到|a|＝|b|. ∴cos〈a，b〉＝＝＝. ∵〈a，b〉∈[0，180]，∴〈a，b〉＝60. 5. 如圖所示，已知二面角α—l—β的平面角為θ ，AB⊥BC， BC⊥CD，AB在平面β內，BC在l上，CD在平面α內，若AB＝BC ＝CD＝1，則AD的長為________． 答案　 解析?。剑?， 所以2＝2＋2＋2＋2＋2＋2＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cos θ. 所以||＝， 即AD的長為. 6． 已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，則|b－a|的最小值為________． 答案　 解析　b－a＝(1＋t,2t－1,0)， ∴|b－a|＝ ＝， ∴當t＝時，|b－a|取得最小值. 三、解答題 7． (13分)直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90， D、E分別為AB、BB′的中點． (1)求證：CE⊥A′D； (2)求異面直線CE與AC′所成角的余弦值． (1)證明　設＝a，＝b，＝c， 根據(jù)題意，|a|＝|b|＝|c|，且ab＝bc＝ca＝0， ∴＝b＋c，＝－c＋b－a. ∴＝－c2＋b2＝0. ∴⊥，即CE⊥A′D. (2)解　∵＝－a＋c， ||＝|a|，||＝|a|. ＝(－a＋c) ＝c2＝|a|2， ∴cos〈，〉＝＝. 即異面直線CE與AC′所成角的余弦值為.