2019年高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.1.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)業(yè)分層測評（含解析）北師大版選修1-1.doc

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2019年高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.1.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)業(yè)分層測評（含解析）北師大版選修1-1 一、選擇題 1．橢圓4x2＋y2＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(　　) A．(，0) B． C. D．(0，) 【解析】　∵＋＝1， ∴橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，并且a2＝1，b2＝， ∴c2＝，即焦點(diǎn)坐標(biāo)為. 【答案】　C 2．若橢圓＋＝1上一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為5，則P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為(　　) A．5 B．6 C．4 D．1 【解析】　由橢圓的定義知a＝5，點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為2a＝10.因?yàn)辄c(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為5，所以到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為10－5＝5，故選A. 【答案】　A 3．若方程＋＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．a(chǎn)＞3 B．a(chǎn)＜－2 C．a(chǎn)＞3或a＜－2 D．a(chǎn)＞3或－6＜a＜－2 【解析】　∵橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，∴ ∴a＞3或－6＜a＜－2. 【答案】　D 4．已知A(0，－1)，B(0,1)兩點(diǎn)，△ABC的周長為6，則△ABC的頂點(diǎn)C的軌跡方程是(　　) A.＋＝1(x≠2) B．＋＝1(y≠2) C.＋＝1(x≠0) D．＋＝1(y≠0) 【解析】　∵2c＝|AB|＝2，∴c＝1， ∴|CA|＋|CB|＝6－2＝4＝2a，∴a＝2. ∴頂點(diǎn)C的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓(A，B，C不共線)．因此，頂點(diǎn)C的軌跡方程為＋＝1(y≠2)． 【答案】　B 5．兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(－2,0)，(2,0)，并且經(jīng)過點(diǎn)P的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　) A.＋＝1 B．＋＝1 C.＋＝1 D．＋＝1 【解析】　由橢圓定義知：2a＝＋＝＋＝2. ∴a＝.∴b＝＝，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. 【答案】　A 二、填空題 6．橢圓方程mx2＋ny2＝mn(m>n>0)中，焦距為________. 【解析】　橢圓方程可化為＋＝1，∵m>n>0，∴橢圓焦點(diǎn)在y軸上．∴c＝，即焦距為2. 【答案】　2 7．若α∈，方程x2sin α＋y2cos α＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則α的取值范圍是________． 【解析】　方程可化為＋＝1.∵焦點(diǎn)在y軸上， ∴>，即sin α>cos α. 又∵α∈，∴α∈. 【答案】　 8．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，且⊥.若△PF1F2的面積為9，則b＝________. 【解析】　由題意，得 解得a2－c2＝9，即b2＝9，所以b＝3. 【答案】　3 三、解答題 9．在橢圓9x2＋25y2＝225上求點(diǎn)P，使它到右焦點(diǎn)的距離等于它到左焦點(diǎn)距離的4倍. 【解】　原方程可化為＋＝1.其中a＝5，b＝3，則c＝4. ∴F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)． 設(shè)P(x，y)是橢圓上任一點(diǎn)， 由橢圓的定義|PF1|＋|PF2|＝2a＝10. 又|PF2|＝4|PF1|，解得|PF1|＝2，|PF2|＝8， 即解得 或 故P點(diǎn)坐標(biāo)為或. 10．已知?jiǎng)訄AM過定點(diǎn)A(－3,0)，并且在定圓B：(x－3)2＋y2＝64的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程． 【解】　如圖，設(shè)動(dòng)圓M和定圓B內(nèi)切于點(diǎn)C，由|MA|＝|MC|得|MA|＋|MB|＝|MC|＋|MB|＝|BC|＝8，即動(dòng)圓圓心M到兩定點(diǎn)A(－3,0)，B(3,0)的距離之和等于定圓的半徑， ∴動(dòng)圓圓心M的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓， 且2a＝8,2c＝6，b＝＝， ∴M的軌跡方程是＋＝1. [能力提升] 1．已知△ABC的頂點(diǎn)B，C在橢圓＋y2＝1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則△ABC的周長是(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 【解析】　設(shè)A為橢圓左焦點(diǎn)，而BC過右焦點(diǎn)F，如圖． 可知|BA|＋|BF|＝2a， |CA|＋|CF|＝2a，兩式相加，得|AB|＋|BF|＋|CA|＋|CF|＝|AB|＋|AC|＋|BC|＝4a.而橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1，因此a＝2，故4a＝8，故選C. 【答案】　C 2．已知橢圓＋＝1(a>b>0)，M為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1為橢圓的左焦點(diǎn)，則線段MF1的中點(diǎn)P的軌跡是(　　) A．圓 B．橢圓 C．線段 D．直線 【解析】　由題意知|PO|＝|MF2|，|PF1|＝|MF1|， 又|MF1|＋|MF2|＝2a，所以|PO|＋|PF1|＝a>|F1O|＝c，故由橢圓的定義知P點(diǎn)的軌跡是橢圓． 【答案】　B 3．橢圓＋＝1上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)F1的距離為2，N是MF1的中點(diǎn)，則|ON|(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的值為________． 【解析】　如圖所示， ∵|MF1|＋|MF2|＝2a＝10， |MF1|＝2，∴|MF2|＝8. ∵N，O分別是MF1，F(xiàn)1F2中點(diǎn)． ∴|ON|＝|MF2|＝8＝4. 【答案】　4 4．(xx重慶高考改編)如圖213，設(shè)橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)D在橢圓上，DF1⊥F1F2，＝2，△DF1F2的面積為.求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 圖213 【解】　設(shè)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，其中c2＝a2－b2. 由＝2，得|DF1|＝＝c. 從而S＝|DF1||F1F2|＝c2＝，故c＝1. 從而|DF1|＝. 由DF1⊥F1F2，得|DF2|2＝|DF1|2＋|F1F2|2＝， 因此|DF2|＝， 所以2a＝|DF1|＋|DF2|＝2， 故a＝，b2＝a2－c2＝1. 因此，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1.