2019-2020年高中數(shù)學 第三章《空間向量與立體幾何》單元檢測 蘇教版選修2-1.doc

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2019-2020年高中數(shù)學 第三章《空間向量與立體幾何》單元檢測 蘇教版選修2-1 一、知識點梳理 設直線的方向向量分別為，平面的法向量分別為，則： 1．設直線所成的角為，則： 2．設直線與平面所成的角為，則： 3．設平面所成的二面角的大小為則： ①若， ②若， 二、學法指導 1． 平面法向量的基本概念．法向量是指與已知平面垂直的向量，它可以根據(jù)選取的坐標不同有無數(shù)多個，但一般取其中較為方便計算的． 2． 平面法向量的基本計算．根據(jù)圖形建立合適的坐標系，設出已知平面的法向量為(x，y，z)，在已知平面內尋找兩條相交直線a，b，并用向量表示它們．由于法向量垂直于平面，則必然垂直這兩條直線，利用垂直向量點乘為零列出方程組．由于有三個未知數(shù)x，y，z，一般是設其中一個為特殊值，求出另外兩個． 3． 平面法向量的基本應用．在求出法向量后，如要證明線面垂直，只需證明要證明的直線平行于該平面的法向量；如要證明面面垂直，只需證明兩個平面的法向量垂直；如要求直線和平面所成的角，只需求出直線和法向量所成的角(利用向量點乘公式求出這個家教的余弦值，它和所求的線面角互余)；如要求二面角大小，只需求出兩個平面的法向量所成的角(同樣利用點乘公式求出這個角的余弦值，它和所求的二面角的平面角相等或互補，然后只需簡單判斷二面角是銳角還是鈍角即可)． 4． 關于空間向量在立體幾何中的應用問題，其中最主要的計算都是圍繞平面的法向量展開的．在絕大部分題目中，空間向量是作為數(shù)學工具來解決兩類問題：一、垂直問題，尤其是線面垂直問題(面面垂直基本類似)；二、角度問題，主要講二面角的平面角通過兩個平面法向量所稱的角來進行轉化(線面角與此類似)．而立體幾何中的平行問題一般是用基本定理來進行解決的． 三、單元檢測 (一)填空題(每小題5分，共70分) 1．已知向量，且與互相垂直，則的值是 ． 2．已知，則與的數(shù)量積等于 ． 3．已知向量，則與的夾角為 ． 4．在下列命題中：①若共線，則所在的直線平行；②若所在的直線是異面直線，則一定不共面；③若三向量兩兩共面，則三向量一定也共面；④已知三向量，則空間任意一個向量總可以唯一表示為．其中正確命題的個數(shù)為 ． 5．直三棱柱中，若，，， 則 ． 6．設A、B、C、D是空間不共面的四點，且滿足，則△BCD是 三角形． 7．在棱長為1的正方體中，和分別為和的中點，那么直線與所成角的余弦值是 ． 8．已知向量，若∥，則與的值分別是 ． 9．(如圖)一個結晶體的形狀為平行六面體，其中，以頂點為端點的三條棱長都等于1，且它們彼此的夾角都是，那么以這個頂點為端點的晶體的對角線的長為 ． 10．已知為夾角，則=　　?。? 11．在棱長為的正方體中，向量與向量所成的角為　　　?。? 12．如圖，在正三棱柱中，已知在棱上，且，若與平面所成的角為，則　　　　　． 13．如圖4，在長方體中，，，點在棱上移動，則當?shù)扔凇　　　r，二面角的大小為． 14．已知正方形的邊長為4，分別是的中點，平面，且，則點到平面的距離為 ． (二)解答題(共90分) 15．如圖，在棱長為2的正方體中，是的中點，取如圖所示的空間直角坐標系． (1)寫出的坐標； (2)求與所成的角的余弦值． 16．在正方體中，如圖分別是的中點， (1)求證：平面； (2)． 17．如圖，在四棱錐中，底面是正方形， 側棱底面， ，是的中點，作交于點． (1)證明平面； (2)證明平面． 18．如圖，四邊形是直角梯形， ， 平面，． (1)求與平面所成的角余弦； (2)求平面和平面所成角的余弦． 19．如圖，在三棱錐中，，，點分別是的中點，底面． (1)求證：平面； (2)當時，求直線與平面所成角的大小； (3)當為何值時，在平面內的射影恰好為的重心? 20．是平面外的點，四邊形是平行四邊形，． (1)求證：平面; (2)對于向量，定義一種運算： ， 試計算的絕對值;說明其與幾何體的體積關系，并由此猜想向量這種運算的絕對值的幾何意義． 單元檢測 8、、；9、；10、；11、；12、；13、 ；14、 15、解：(1) A(2, 2, 0)，B1(2, 0, 2)，E(0, 1, 0)，D1(0, 2, 2) ------4分 (2)∵ ＝(0, -2, 2)，＝(0, 1, 2) ∴ ||＝2，||＝， ＝0－2＋4＝2, ∴ cos ， ＝ ＝ ＝ ． ∴ AB1與ED1所成的角的余弦值為． ------14分 16、解：建立如圖所示的直角坐標系，（1）不妨設正方體的棱長為1， 則D（0，0，0），A（1，0，0），（0，0，1）， E（1，1，），F(xiàn)（0，，0）， 則＝（0，，－1），＝（1，0，0）， ＝（0，1，）， 則＝0， ＝0， ，. 平面ADE. ------8分 （２）（1，1，1），C（0，1，0），故＝（1，0，1），＝（－1，－，－）， ＝－1＋0－＝－， ，， 則cos. ------14分 17、解：如圖所示建立空間直角坐標系，D為坐標原點.設 (1)證明：連結AC，AC交BD于G.連結EG. 依題意得 底面ABCD是正方形， 是此正方形的中心， 故點G的坐標為且 . 這表明. 而平面EDB且平面EDB，平面EDB。 ------6分 (2)證明：依題意得。又故 , 由已知，且所以平面EFD. ------14分 18、（1） ------8分 （2） ----- -16分 19、（1）證明：平面， ． 以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系．設，則． 設，則． 為的中點，．，． ，平面． ------6分 （2），即，， 可求得平面的法向量．． 設與平面所成的角為， 則． 與平面所成的角為． - -----12分 （3）的重心，， 平面，． 又，．． ，即．反之，當時，三棱錐為正三棱錐． 在平面內的射影為的重心． ------18分 20、解：（1） ------6分 （2） V＝ 猜測：在幾何上可表示以AB,AD,AP為棱的平等六面體的體積（或以AB,AD,AP為棱的四棱柱的體積） ------14分