高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習 第九章 平面解析幾何 9.2 兩條直線的位置關(guān)系課件 理.ppt

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第九章 平面解析幾何,§9.2 兩條直線的位置關(guān)系,,,內(nèi)容索引,,,,基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習,題型分類 深度剖析,思想與方法系列,思想方法 感悟提高,練出高分,,,基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習,1.兩條直線的位置關(guān)系 (1)兩條直線平行與垂直 ①兩條直線平行： (ⅰ)對于兩條不重合的直線l1、l2，若其斜率分別為k1、k2，則有l(wèi)1∥l2? (k1，k2均存在). (ⅱ)當直線l1、l2不重合且斜率都不存在時，l1∥l2.,k1＝k2,,知識梳理,1,,答案,②兩條直線垂直： (ⅰ)如果兩條直線l1、l2的斜率存在，設(shè)為k1、k2，則有l(wèi)1⊥l2?__________ (k1，k2均存在). (ⅱ)當其中一條直線的斜率不存在，而另一條的斜率為0時，l1⊥l2. (2)兩條直線的交點 直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則l1與l2的交點坐標就是 方程組 的解.,,k1·k2＝－1,,答案,2.幾種距離 (1)兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離|P1P2|＝ . (2)點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝ . (3)兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)間的距離 d＝ .,,答案,1.一般地，與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線方程可設(shè)為Ax＋By＋m＝0；與之垂直的直線方程可設(shè)為Bx－Ay＋n＝0. 2.過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0 (λ∈R)，但不包括l2. 3.點到直線與兩平行線間的距離的使用條件： (1)求點到直線的距離時，應(yīng)先化直線方程為一般式. (2)求兩平行線之間的距離時，應(yīng)先將方程化為一般式且x，y的系數(shù)對應(yīng)相等.,知識拓展,判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)當直線l1和l2斜率都存在時，一定有k1＝k2?l1∥l2.( ) (2)如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于－1.( ) (3)已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1、B1、C1、A2、B2、C2為常數(shù))，若直線l1⊥l2，則A1A2＋B1B2＝0.( ),×,×,√,,答案,思考辨析,(4)點P(x0，y0)到直線y＝kx＋b的距離為 .( ) (5)直線外一點與直線上一點的距離的最小值就是點到直線的距離.( ) (6)若點A，B關(guān)于直線l：y＝kx＋b(k≠0)對稱，則直線AB的斜率等于－ ，且線段AB的中點在直線l上.( ),×,√,√,,答案,1.設(shè)a∈R，則“a＝1”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的__________條件. 解析 (1)充分性：當a＝1時， 直線l1：x＋2y－1＝0與直線l2：x＋2y＋4＝0平行； (2)必要性：當直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行時有a＝－2或1. 所以“a＝1”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的充分不必要條件.,充分不必要,,考點自測,2,,解析答案,1,2,3,4,5,2.(教材改編)已知點(a,2)(a0)到直線l：x－y＋3＝0的距離為1，則a＝ .,,解析答案,1,2,3,4,5,3.已知直線l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8平行，則實數(shù)m的值為________.,得m＝－1或－7.,,解析答案,1,2,3,4,5,－7,4.(2014·福建改編)已知直線l過圓x2＋(y－3)2＝4的圓心，且與直線x＋y＋1＝0垂直，則l的方程是___________. 解析 圓x2＋(y－3)2＝4的圓心為點(0,3)， 又因為直線l與直線x＋y＋1＝0垂直， 所以直線l的斜率k＝1. 由點斜式得直線l：y－3＝x－0，化簡得x－y＋3＝0.,x－y＋3＝0,,解析答案,1,2,3,4,5,5.(教材改編)若直線(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0與(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，則a＝________. 解析 由兩直線垂直的充要條件，得(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，解得a＝0或a＝1.,0或1,,解析答案,1,2,3,4,5,返回,,題型分類 深度剖析,例1 (1)已知兩條直線l1：(a－1)·x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，則a＝________. 解析 若a＝0，兩直線方程為－x＋2y＋1＝0和x＝－3，此時兩直線相交，不平行，所以a≠0.,解得a＝－1或a＝2.,－1或2,,,題型一 兩條直線的平行與垂直,,解析答案,(2)已知兩直線方程分別為l1：x＋y＝1，l2：ax＋2y＝0，若l1⊥l2，則a＝________. 解析 方法一 ∵l1⊥l2， ∴k1k2＝－1，,解得a＝－2. 方法二 ∵l1⊥l2， ∴a＋2＝0，a＝－2.,－2,,解析答案,思維升華,,思維升華,(1)當直線方程中存在字母參數(shù)時，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況.同時還要注意x、y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件. (2)在判斷兩直線平行、垂直時，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論.,已知兩直線l1：x＋ysin α－1＝0和l2：2x·sin α＋y＋1＝0，求α的值，使得： (1)l1∥l2；,跟蹤訓(xùn)練1,,解析答案,解 方法一 當sin α＝0時，直線l1的斜率不存在，l2的斜率為0，顯然l1不平行于l2.,,解析答案,方法二 由A1B2－A2B1＝0，得2sin2α－1＝0，,又B1C2－B2C1≠0，所以1＋sin α≠0，即sin α≠－1.,(2)l1⊥l2. 解 因為A1A2＋B1B2＝0是l1⊥l2的充要條件， 所以2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0，所以α＝kπ，k∈Z. 故當α＝kπ，k∈Z時，l1⊥l2.,,解析答案,,,,題型二 兩條直線的交點與距離問題,,解析答案,又∵交點位于第一象限，,,解析答案,方法二 如圖，已知直線,,解析答案,而直線方程y＝kx＋2k＋1可變形為y－1＝k(x＋2)，表示這是一條過定點P(－2,1)，斜率為k的動直線. ∵兩直線的交點在第一象限， ∴兩直線的交點必在線段AB上(不包括端點)， ∴動直線的斜率k需滿足kPA＜k＜kPB.,(2)直線l過點P(－1,2)且到點A(2,3)和點B(－4,5)的距離相等，則直線l的方程為__________________________.,,解析答案,解析 方法一 當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為 y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.,即|3k－1|＝|－3k－3|，,,解析答案,思維升華,,即x＋3y－5＝0. 當l過AB中點時，AB的中點為(－1,4). ∴直線l的方程為x＝－1. 故所求直線l的方程為x＋3y－5＝0或x＝－1.,答案 x＋3y－5＝0或x＝－1,即x＋3y－5＝0. 當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝－1，也符合題意.,思維升華,,思維升華,(1)求過兩直線交點的直線方程的方法： 求過兩直線交點的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點坐標，再結(jié)合其他條件寫出直線方程. (2)利用距離公式應(yīng)注意：①點P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|；②兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x，y的系數(shù)化為相等.,(1)如圖，設(shè)一直線過點(－1,1)，它被兩平行直線l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y－3＝0所截的線段的中點在直線l3：x－y－1＝0上，求其方程.,解 與l1、l2平行且距離相等的直線方程為x＋2y－2＝0. 設(shè)所求直線方程為(x＋2y－2)＋λ(x－y－1)＝0， 即(1＋λ)x＋(2－λ)y－2－λ＝0.又直線過(－1,1)， ∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－2－λ＝0.,跟蹤訓(xùn)練2,,解析答案,(2)正方形的中心為點C(－1,0)，一條邊所在的直線方程是x＋3y－5＝0，求其他三邊所在直線的方程.,,解析答案,設(shè)與x＋3y－5＝0平行的一邊所在直線的方程是x＋3y＋m＝0(m≠－5)，,解得m＝－5(舍去)或m＝7， 所以與x＋3y－5＝0平行的邊所在直線的方程是x＋3y＋7＝0.,,解析答案,設(shè)與x＋3y－5＝0垂直的邊所在直線的方程是3x－y＋n＝0，,解得n＝－3或n＝9， 所以與x＋3y－5＝0垂直的兩邊所在直線的方程分別是3x－y－3＝0和3x－y＋9＝0.,命題點1 點關(guān)于點中心對稱,例3 過點P(0,1)作直線l，使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段被點P平分，則直線l的方程為________________. 解析 設(shè)l1與l的交點為A(a,8－2a)， 則由題意知，點A關(guān)于點P的對稱點B(－a,2a－6)在l2上， 代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0， 解得a＝4， 即點A(4,0)在直線l上， 所以直線l的方程為x＋4y－4＝0.,x＋4y－4＝0,,,題型三 對稱問題,,解析答案,命題點2 點關(guān)于直線對稱,例4 已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A(－1，－2)，則點A關(guān)于直線l的對稱點A′的坐標為____________.,,解析答案,命題點3 直線關(guān)于直線的對稱問題,例5 已知直線l：2x－3y＋1＝0，求直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對稱直線m′的方程.,,解析答案,思維升華,解 在直線m上任取一點，如M(2,0)， 則M(2,0)關(guān)于直線l的對稱點M′必在直線m′上.,,解析答案,思維升華,設(shè)直線m與直線l的交點為N，,又∵m′經(jīng)過點N(4,3). ∴由兩點式得直線m′的方程為9x－46y＋102＝0.,,思維升華,,解決對稱問題的方法 (1)中心對稱,②直線關(guān)于點的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于點的對稱問題來解決.,思維升華,,(2)軸對稱,②直線關(guān)于直線的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱問題來解決.,在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，點P是邊AB上異于A，B的一點，光線從點P出發(fā)，經(jīng)BC，CA發(fā)射后又回到原點P(如圖).若光線QR經(jīng)過△ABC的重心，則AP＝________.,跟蹤訓(xùn)練3,,解析答案,返回,解析 建立如圖所示的坐標系：,可得B(4,0)，C(0,4)，故直線BC的方程為x＋y＝4，,設(shè)P(a,0)，其中0a4，,,解析答案,,解析答案,代入化簡可得3a2－4a＝0，,,返回,,思想與方法系列,一、平行直線系 由于兩直線平行，它們的斜率相等或它們的斜率都不存在，因此兩直線平行時，它們的一次項系數(shù)與常數(shù)項有必然的聯(lián)系.,典例 求與直線3x＋4y＋1＝0平行且過點(1,2)的直線l的方程.,思維點撥 因為所求直線與3x＋4y＋1＝0平行，因此，可設(shè)該直線方程為3x＋4y＋c＝0(c≠1).,18.妙用直線系求直線方程,,思想與方法系列,,解析答案,思維點撥,溫馨提醒,規(guī)范解答 解 依題意，設(shè)所求直線方程為3x＋4y＋c＝0(c≠1)， 又因為直線過點(1,2)， 所以3×1＋4×2＋c＝0，解得c＝－11. 因此，所求直線方程為3x＋4y－11＝0.,,溫馨提醒,溫馨提醒,,與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程為Ax＋By＋C1＝0 (C1≠C)，再由其他條件求C1.,二、垂直直線系 由于直線A1x＋B1y＋C1＝0與A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要條件為A1A2＋B1B2＝0.因此，當兩直線垂直時，它們的一次項系數(shù)有必要的關(guān)系，可以考慮用直線系方程求解. 典例 求經(jīng)過A(2,1)，且與直線2x＋y－10＝0垂直的直線l的方程. 思維點撥 依據(jù)兩直線垂直的特征設(shè)出方程，再由待定系數(shù)法求解.,,解析答案,思維點撥,溫馨提醒,規(guī)范解答 解 因為所求直線與直線2x＋y－10＝0垂直，所以設(shè)該直線方程為x－2y＋C1＝0，又直線過點(2,1)，所以有2－2×1＋C1＝0，解得C1＝0，即所求直線方程為x－2y＝0.,,溫馨提醒,溫馨提醒,,與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程為Bx－Ay＋C1＝0，再由其他條件求出C1.,三、過直線交點的直線系 典例 求經(jīng)過兩直線l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交點P，且與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直的直線l的方程. 思維點撥 可分別求出直線l1與l2的交點及直線l的斜率k，直接寫出方程；也可以利用過交點的直線系方程設(shè)直線方程，再用待定系數(shù)法求解.,,解析答案,思維點撥,溫馨提醒,返回,規(guī)范解答,即4x＋3y－6＝0. 方法二 設(shè)直線l的方程為x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0， 即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0. 又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0， 解得λ＝11. ∴直線l的方程為4x＋3y－6＝0.,,溫馨提醒,,返回,溫馨提醒,,本題方法一采用常規(guī)方法，先通過方程組求出兩直線交點，再根據(jù)垂直關(guān)系求出斜率，由于交點在y軸上，故采用斜截式求解；方法二則采用了過兩直線A1x＋B1y＋C1＝0與A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，直接設(shè)出過兩直線交點的方程，再根據(jù)垂直條件用待定系數(shù)法求解.,,思想方法 感悟提高,1.兩直線的位置關(guān)系要考慮平行、垂直和重合.對于斜率都存在且不重合的兩條直線l1、l2，l1∥l2?k1＝k2；l1⊥l2?k1·k2＝－1.若有一條直線的斜率不存在，那么另一條直線的斜率一定要特別注意. 2.對稱問題一般是將線與線的對稱轉(zhuǎn)化為點與點的對稱.利用坐標轉(zhuǎn)移法.,方法與技巧,1.在判斷兩條直線的位置關(guān)系時，首先應(yīng)分析直線的斜率是否存在.若兩條直線都有斜率，可根據(jù)判定定理判斷，若直線無斜率，要單獨考慮. 2.在運用兩平行直線間的距離公式d＝ 時，一定要注意將兩方程中x，y的系數(shù)化為相同的形式.,失誤與防范,,返回,,練出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,3,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,2.設(shè)a，b，c分別是△ABC中角A，B，C所對邊的邊長，則直線sin A·x－ay－c＝0與bx＋sin B·y＋sin C＝0的位置關(guān)系是________.,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,即直線sin A·x－ay－c＝0與bx＋sin B·y＋sin C＝0垂直.,方法二 由正弦定理有a＝2Rsin A，b＝2Rsin B(其中R為△ABC外接圓的半徑)， 所以bsin A－asin B＝2Rsin Bsin A－2Rsin Asin B＝0， 所以直線sin A·x－ay－c＝0與bx＋sin B·y＋sin C＝0垂直. 答案 垂直,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,二,,解析答案,4.若直線l1：y＝k(x－4)與直線l2關(guān)于點(2,1)對稱，則直線l2經(jīng)過定點________. 解析 直線l1：y＝k(x－4)經(jīng)過定點(4,0)，其關(guān)于點(2,1)對稱的點為(0,2)， 又直線l1：y＝k(x－4)與直線l2關(guān)于點(2,1)對稱， 故直線l2經(jīng)過定點(0,2).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(0,2),,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,5.從點(2,3)射出的光線沿與向量a＝(8,4)平行的直線射到y(tǒng)軸上，則反射光線所在的直線方程為____________.,其與y軸的交點坐標為(0,2)， 又點(2,3)關(guān)于y軸的對稱點為(－2,3)， 所以反射光線過點(－2,3)與(0,2)， 由兩點式得直線方程為x＋2y－4＝0.,x＋2y－4＝0,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 由題可知，集合M表示過點(2,3)且斜率為3的直線，但除去(2,3)點， 而集合N表示一條直線，,,7.已知兩直線l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，若l1∥l2，且坐標原點到這兩條直線的距離相等，則a＋b＝________.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,－1,1,,,解析答案,9.已知△ABC的頂點A(5,1)，AB邊上的中線CM所在直線方程為2x－y－5＝0，AC邊上的高BH所在直線方程為x－2y－5＝0，求直線BC的方程.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,解 依題意知：kAC＝－2，A(5,1)， ∴l(xiāng)AC為2x＋y－11＝0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,即6x－5y－9＝0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,10.已知直線l經(jīng)過直線l1：2x＋y－5＝0與l2：x－2y＝0的交點. (1)若點A(5,0)到l的距離為3，求l的方程；,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解 易知l不可能為l2，可設(shè)經(jīng)過兩已知直線交點的直線系方程為(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0， 即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0， ∵點A(5,0)到l的距離為3，,∴l(xiāng)的方程為x＝2或4x－3y－5＝0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(2)求點A(5,0)到l的距離的最大值.,解得交點P(2,1)，如圖，過P作任一直線l，設(shè)d為點A到l的距離，則d≤PA(當l⊥PA時等號成立).,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,11.若點(m，n)在直線4x＋3y－10＝0上，則m2＋n2的最小值是________.,解析 因為點(m，n)在直線4x＋3y－10＝0上， 所以4m＋3n－10＝0.,,解析答案,表示4m＋3n－10＝0上的點(m，n)到原點的距離，如圖.,當過原點的直線與直線4m＋3n－10＝0垂直時，原點到點(m，n)的距離最小為2.所以m2＋n2的最小值為4.,4,12.如圖，已知直線l1∥l2，點A是l1，l2之間的定點，點A到l1，l2之間的距離分別為3和2，點B是l2上的一動點，作AC⊥AB，且AC與l1交于點C，則△ABC的面積的最小值為________.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 以A為坐標原點，平行于l1的直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標系，設(shè)B(a，－2)，C(b,3)，且a0，b0.,∵AC⊥AB，,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,即△ABC面積的最小值為6.,答案 6,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,13.在平面直角坐標系內(nèi)，到點A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距離之和最小的點的坐標是________.,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 如圖，設(shè)平面直角坐標系中任一點P，P到點A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距離之和為PA＋PB＋PC＋PD＝PB＋PD＋PA＋PC≥BD＋AC＝QA＋QB＋QC＋QD，,故四邊形ABCD對角線的交點Q即為所求距離之和最小的點. ∵A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)，,,解析答案,∴直線AC的方程為y－2＝2(x－1)，直線BD的方程為y－5＝－(x－1).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,答案 (2,4),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(2)求l關(guān)于點(2,3)對稱的直線方程.,解 在l上任取一點，如M(0，－1)， 則M關(guān)于點(2,3)對稱的點為N(4,7). ∵當對稱點不在直線上時，關(guān)于點對稱的兩直線必平行， ∴所求直線過點N且與l平行，,,解析答案,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,又a＞0，解得a＝3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,,解析答案,返回,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解 假設(shè)存在點P，設(shè)點P(x0，y0). 若P點滿足條件②，則P點在與l1，l2平行的直線l′：2x－y＋c＝0上，,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|， 所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0； 由于點P在第一象限，所以3x0＋2＝0不可能.,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,返回,