《數(shù)學歸納法》課件.ppt
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數(shù)學歸納法,:由一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法,結(jié)論一定可靠,結(jié)論不一定可靠,考察全體對象,得到一般結(jié)論的推理方法,考察部分對象,得到一般結(jié)論的推理方法,歸納法分為完全歸納法 和 不完全歸納法,歸納法,思考:歸納法有什么優(yōu)點和缺點?,優(yōu)點:可以幫助我們從一些具體事 例中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律,缺點:僅根據(jù)有限的特殊事例歸納 得到的結(jié)論有時是不正確的,解:,猜想數(shù)列的通項公式為,驗證:同理得,啊,有完沒完啊?,正整數(shù)無數(shù)個!,(1)求出數(shù)列前4項,你能得到什么猜想?,(2)你的猜想一定是正確的嗎?,情境二,二、引導探究,尋求解決方法,1、第一塊骨牌倒下,2、任意相鄰的兩塊骨牌,前一塊倒下一定導致后一塊倒下,條件(2)事實上給出了一個遞推關系,換言之就是假設第K塊倒下,則相鄰的第K+1塊也倒下,請同學們思考所有的骨牌都一一倒下只需滿足哪幾個條件,(二)師生互助,多米諾骨牌游戲原理,(1)當n=1時,猜想成立,根據(jù)(1)和(2),可知對任意的正整數(shù)n,猜想都成立。,通項公式為 的證明方法,三、類比問題,師生合作探究,(一)類比歸納,當一個命題滿足上述(1)、(2) 兩個條件時,我們能把證明無限問題 用有限證明解決嗎?,(二)理解升華,一般的,證明一個與正整數(shù)有關的命題,可按下列步驟進行:,(1) 【歸納奠基】證明當n取第一個值n0(n0 N* ) 時命題成立; (2) 【歸納遞推】假設當n=k(kN* ,k n0)時命題成立,證明當n=k+1時命題也成立. 從而就可以斷定命題對于n0開始的所有正整數(shù)n都成立。 這種證明方法叫做 數(shù)學歸納法。,(四)提煉概念,四、例題研討,學生實踐應用,(一)典例析剖,(二)變式精煉,用數(shù)學歸納法證明,135(2n1) ,用數(shù)學歸納法證明,n2,即當n=k+1時等式也成立。,根據(jù)(1)和(2)可知,等式對任何 都成立。,證明:,135(2k1)+2(k+1)1,那么當n=k+1時,(2)假設當nk時,等式成立,即,(1)當n=1時,左邊1,右邊1,等式成立。,(假設),(利用假設),注意:遞推基礎不可少, 歸納假設要用到, 結(jié)論寫明莫忘掉。,(湊結(jié)論),(三)能力提升,用數(shù)學歸納法證明,證明:,(1)當n=1時,,左邊=12=1,等式成立,(2)假設當n=k時等式成立,即,那么,當n=k+1時,即當n=k+1等式也成立,根據(jù)(1)和(2),可知等式對任何 都成立.,湊出目標,用到歸納假設,數(shù)學歸納法步驟,用框圖表示為:,歸納奠基,歸納遞推,注:兩個步驟,一個結(jié)論,缺一不可,思考1:試問等式2+4+6+2nn2+n+1成立嗎?某同學用數(shù)學歸納法給出了如下的證明,請問該同學得到的結(jié)論正確嗎?,解:設nk時成立,即,這就是說,nk+1時也成立,2+4+6+2kk2+k+1,則當n=k+1時 2+4+6+2k+2(k+1) k2+k+1+2k+2(k+1)2+(k+1)+1,所以等式對任何nN*都成立,事實上,當n1時,左邊2,右邊3 左邊右邊,等式不成立,該同學在沒有證明當n=1時,等式是否成立的前提下,就斷言等式對任何nN*都成立,為時尚早,證明:當n=1時,左邊,右邊,假設n=k時,等式成立,,那么n=k+1時,等式成立,這就是說,當n=k+1時,等式也成立,根據(jù)(1)和(2),可知等式對任何nN都成立,即,第二步的證明沒有在假設條件下進行,因此不符合數(shù)學歸納法的證明要求,因此,用數(shù)學歸納法證明命題的兩個步驟,缺一不可。第一步是遞推的基礎,第二步是遞推的依據(jù)。缺了第一步遞推失去基礎;缺了第二步,遞推失去依據(jù),因此無法遞推下去。,1.在應用數(shù)學歸納法證明凸n邊形的對角線為 n(n3) 條時,第一步檢驗n等于 ( ) A.1 B.2 C.3 D.0,解析:因為n3,所以,第一步應檢驗n3.,答案:C,2.用數(shù)學歸納法證明1aa2an1 (a1), 在驗證n1時,等式左端計算所得的項是 ( ) A.1 B.1a C.1aa2 D.1aa2a3,解析:因為當n1時,an1a2,所以驗證n1時, 等式左端計算所得的項是1aa2.,答案:C,3.利用數(shù)學歸納法證明“(n1)(n2)(nn) 2n13(2n1),nN*”時,從“nk”變到“nk 1”時,左邊應增乘的因式是 ( ) A.2k1 B.2(2k1) C. D.,解析:當nk(kN*)時,左式為(k1)(k2)(kk); 當nk1時,左式為(k11)(k12)(k1k1)(k1k)(k1k1), 則左邊應增乘的式子是 2(2k1).,答案:B,4.用數(shù)學歸納法證明: , 第一步應驗證左式是 , 右式是 .,解析:令n1則左式為1 ,右式為 .,答案:,5.記凸k邊形的內(nèi)角和為f(k),則凸k1邊形的內(nèi)角和 f(k1)f(k) .,解析:由凸k邊形變?yōu)橥筴1邊形時,增加了一個三角形,故f(k1)f(k).,答案:,六、鞏固作業(yè),分層布置,課本P96習題2.3 A組 1、2(必做) (選做題) 用數(shù)學歸納法證明,時,由n=k(k1)時不等式成立,推證n=k+1,左邊應增加的項數(shù)是( )項 A. 2k-1 B.2k+1 C.2k-1 D.2k,- 配套講稿:
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