高中數(shù)學(xué) 2.4平面向量的坐標(biāo)課件 北師大版必修4.ppt

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§4 平面向量的坐標(biāo),1.平面向量的坐標(biāo)表示 (1)向量a的坐標(biāo)：________. (2)全體有序?qū)崝?shù)對(duì)與坐標(biāo)平面內(nèi)的所有向量之間的關(guān)系是 _________的.,a=(x,y),一一對(duì)應(yīng),2.平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示 設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則,(x1+x2,y1+y2),(x1-x2,y1-y2),和,與差,(λx1,λy1),乘積,(x2,y2),(x1,y1),(x2-x1,y2-y1),其終點(diǎn)的相,應(yīng)坐標(biāo)減去起點(diǎn),的相應(yīng)坐標(biāo),3.向量平行的坐標(biāo)表示 (1)公式：設(shè)a,b是非零向量，且a=(x1,y1),b=(x2,y2), a∥b?__________. 若y1≠0且y2≠0，則上式可表示為a∥b ? . (2)文字語(yǔ)言： 定理1：若兩個(gè)向量(與坐標(biāo)軸不平行)平行，則它們相應(yīng)的 坐標(biāo)_______. 定理2：若兩個(gè)向量相對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)_______，則它們平行.,x1y2-x2y1=0,,成比例,成比例,1．判一判 (正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)位置不同的向量的坐標(biāo)一定不一樣.( ) (2)一個(gè)向量的坐標(biāo)等于其起點(diǎn)相應(yīng)坐標(biāo)減去終點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo).( ) (3)對(duì)于向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，若a∥b，則x1x2－y1y2 =0.( ),2．做一做(請(qǐng)把正確的答案寫(xiě)在橫線上) (1)若向量a=(5,－2)，則向量a的相反向量的坐標(biāo)是______. (2)若向量a=(1,－1),b=(3, ),則a－2b=______. (3)若向量m=(2,2),n=(－1,x),且m∥n,則x=______.,【解析】1.(1)錯(cuò)誤.當(dāng)位置不同的向量是相等向量時(shí)坐標(biāo)一樣. (2)錯(cuò)誤.一個(gè)向量的坐標(biāo)等于其終點(diǎn)相應(yīng)坐標(biāo)減去起點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo). (3)錯(cuò)誤.對(duì)于向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，若a∥b，則x1y2－x2y1=0. 答案：(1)× (2)× (3)×,2.(1)若向量a=(5,－2)，則向量a的相反向量－a=(－5,2). 答案：(－5,2) (2)若向量a=(1,－1),b=(3, ), 則a－2b=(1,－1)－2(3, )=(－5,－2). 答案：(－5,－2) (3)若向量m=(2,2),n=(－1,x),且m∥n, 則2x－2×(－1)=0,解得x=－1. 答案：-1,【要點(diǎn)探究】 知識(shí)點(diǎn)1 向量的坐標(biāo)表示 1.對(duì)平面向量坐標(biāo)表示的三點(diǎn)說(shuō)明 (1)向量的坐標(biāo)只與始點(diǎn)和終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān),而與它們的具體位置無(wú)關(guān). (2)向量確定后,向量的坐標(biāo)就被確定了.,(3)引入向量的坐標(biāo)表示以后,向量就有兩種表示方法：一種是幾何法,即用向量的長(zhǎng)度和方向表示；另一種是坐標(biāo)法,即用一對(duì)有序?qū)崝?shù)表示.有了向量的坐標(biāo)表示,就可以將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題來(lái)解決.,2.點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的區(qū)別與聯(lián)系 (1)區(qū)別 ①表示形式不同，向量a=(x,y)中間用等號(hào)連接，而點(diǎn)的坐標(biāo)A(x,y)中間沒(méi)有等號(hào). ②意義不同，點(diǎn)A(x,y)的坐標(biāo)(x,y)表示點(diǎn)A在平面直角坐標(biāo)系中的位置，a=(x,y)的坐標(biāo)(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向，另外(x,y)既可以表示點(diǎn)，也可以表示向量，敘述時(shí)應(yīng)指明點(diǎn)(x,y)或向量a=(x,y).,(2)聯(lián)系 當(dāng)平面向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，平面向量的坐標(biāo)與向量終點(diǎn)的坐標(biāo)相同.,【微思考】 (1)如果已知向量的坐標(biāo)，能否確定向量的位置？ 提示：不能.已知向量的坐標(biāo)，向量的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)不能確定，因此向量的位置不能確定. (2)相等向量的坐標(biāo)、端點(diǎn)坐標(biāo)之間有什么關(guān)系？ 提示：相等向量的坐標(biāo)相同,但是端點(diǎn)坐標(biāo)不一定相同.,【即時(shí)練】 1.若點(diǎn)A(1,1),B(0,2),則 =_______. 2.已知 =(2,4)，若點(diǎn)M(－3,2)，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為_(kāi)______. 3.已知a=(2,0)，b=(x－1,y+1)，若a=b，則x=_______, y=_______.,【解析】1.若點(diǎn)A(1,1),B(0,2),則 =(－1,1). 答案：(－1,1) 2.已知 =(2,4)，若點(diǎn)M(－3,2)， 設(shè)N的坐標(biāo)為x,y,則 解得 則N(－1,6). 答案：(－1,6),3.若a=b,則 解得 答案：3 -1,知識(shí)點(diǎn)2 向量共線的坐標(biāo)表示 兩個(gè)向量共線的表示形式 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2), (1)當(dāng)b≠0時(shí)，a=λb. 這是幾何運(yùn)算，體現(xiàn)了向量a與b的長(zhǎng)度及方向之間的關(guān)系.,(2)x1y2-x2y1=0. 這是代數(shù)運(yùn)算，用它解決向量共線問(wèn)題的優(yōu)點(diǎn)在于不需要引入?yún)?shù)“λ”，從而減少未知數(shù)個(gè)數(shù)，而且使問(wèn)題的解決具有代數(shù)化的特點(diǎn)，程序化的特征. (3)當(dāng)x2y2≠0時(shí)， ，即兩向量的相應(yīng)坐標(biāo)成比例. 通過(guò)這種形式較易記憶向量共線的坐標(biāo)表示，而且不易出現(xiàn)搭配錯(cuò)誤.,【微思考】 (1)向量平行的坐標(biāo)表示有何特征? 提示：交叉坐標(biāo)乘積之差等于零. (2)對(duì)于平行向量如何根據(jù)其坐標(biāo)判斷兩向量是同向還是反向？ 提示：根據(jù)向量的坐標(biāo)，由(x1,y1)=λ(x2,y2),當(dāng)λ0時(shí)，兩向量同向，當(dāng)λ0時(shí)，兩向量反向.,【即時(shí)練】 1.若向量a=(1,－2)，b=( ,－1)，則向量a,b的關(guān)系是 _______. 2.已知向量a=(a,b),b=(－1,2),若a∥b,則a,b滿足的關(guān)系 式為_(kāi)______.,【解析】 1.1×(－1)－(－2)× =－1+1=0. 答案：平行 2.已知向量a=(a,b),b=(－1,2),若a∥b,則2a+b=0. 答案：2a+b=0,【題型示范】 類(lèi)型一 平面向量的坐標(biāo)表示及其線性運(yùn)算 【典例1】 (1)(2014·北京高考)已知向量a=(2,4)，b=(-1,1)， 則2a-b=( ) A.(5,7) B.(5,9) C.(3,7) D.(3,9),(2)向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若c=λa+μb (λ，μ∈R)，則 =_______.,【解題探究】1.題(1)中求向量2a-b的坐標(biāo)的運(yùn)算順序是什么？ 2.將向量坐標(biāo)表示的前提是什么？ 【探究提示】1.將a,b的坐標(biāo)代入求解. 2.先建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系將向量用坐標(biāo)表示.,【自主解答】(1)選A.2a-b=2(2,4)-(-1,1)=(5,7). (2)以向量a,b的交點(diǎn)為原點(diǎn)，原點(diǎn)向右的方向?yàn)閤軸正方向， 正方形網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立直角坐標(biāo)系，則a=(－1,1), b=(6,2),c=(－1,－3)，根據(jù)c=λa+μb得(－1,－3)=λ(－1,1) +μ(6,2)，即 解得λ=－2,μ=－ ,所以 答案：4,【方法技巧】平面向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算方法 (1)若已知向量的坐標(biāo)，則直接應(yīng)用兩個(gè)向量和、差及向量數(shù)乘的運(yùn)算法則進(jìn)行. (2)若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則可先求出向量的坐標(biāo)，然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算. (3)向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算可完全類(lèi)比數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行.,【變式訓(xùn)練】已知向量 =(k,12), =(4,5), =(-k,10), 且A，B，C三點(diǎn)共線，則k=______. 【解析】 =(4-k,-7), =(-2k,-2). 因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線， 所以-2(4-k)-(-2k)(-7)=0， 解得k=- . 答案：-,【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)點(diǎn)A(-1,2),B(2,3),C(3,-1)，且 求D點(diǎn)的坐標(biāo). 【解題指南】設(shè)出D點(diǎn)坐標(biāo)，將向量用坐標(biāo)表示即可.,【解析】設(shè)D(x,y)，因?yàn)锳(-1,2),B(2,3),C(3,-1)， 所以 =(3，1)， =(1，-4)， =(x+1,y-2). 又因?yàn)?所以(x+1,y-2)=2(3,1)-3(1,-4)=(6,2)-(3,-12)=(3,14). 所以 解得 所以D(2,16).,類(lèi)型二 平面向量平行的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用 【典例2】 (1)(2013·陜西高考)已知向量a=(1,m),b=(m,2),若a∥b, 則實(shí)數(shù)m等于( ) A．－ B. C.－ 或 D.0,(2)如圖所示，已知點(diǎn)A(4,0),B(4,4)，C(2，6)，求AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo).,【解題探究】1.題(1)中a∥b如何用坐標(biāo)表示？ 2.題(2)中點(diǎn)O,P,B；A,P,C的關(guān)系分別是什么？ 【探究提示】1.表示為:1·2-m·m=0 2.分別是共線關(guān)系.,【自主解答】(1)選C. 因?yàn)閍=(1,m),b=(m,2),且a∥b, 所以1·2=m·m?m=± . (2)方法一：設(shè)P(x,y)， 則 =(x,y), =(4,4). 因?yàn)? 共線， 所以4x-4y=0.①,又 =(x-2,y-6), =(2,-6), 且向量 共線， 所以-6(x-2)+2(6-y)=0.② 解由①②組成的方程組，得x=3,y=3， 所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，3).,方法二：設(shè) =t(4,4)=(4t,4t), 則 =(4t,4t)-(4,0)=(4t-4,4t)， =(2,6)-(4,0)=(-2,6). 由 共線的條件知 (4t-4)·6-4t·(-2)=0， 解得t= ,所以 =(4t,4t)=(3,3), 所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，3).,【延伸探究】在本題(1)中，若向量a,b同向，則應(yīng)該選哪個(gè) 答案？ 【解析】選B.由本題(1)的解答可知,m=- 或 , 當(dāng)m=- 時(shí),b=- a反向； 當(dāng)m= 時(shí)，b= a同向，故m= .,【方法技巧】利用向量共線的條件求值的處理思路 ①是利用共線向量定理a=λb(b≠0)列方程組求解，②是利用向量共線的坐標(biāo)表達(dá)式x1y2-x2y1=0直接求解.,【變式訓(xùn)練】已知向量a=(1,3),b=(3,n),若2a-b與b共線,則實(shí)數(shù)n的值是( ) A.6 B.9 C.3+2 D.3-2 【解析】選B.2a-b=(2,6)－(3,n)=(－1,6－n)， 因?yàn)?a-b與b共線，則-n-3(6-n)=0, 解得n=9.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知向量a＝(1，2)，b＝(2，0)，c＝(1，－2)， 若向量λa＋b與c共線，則實(shí)數(shù)λ的值為( ) A.-2 B.- C.-1 D.- 【解析】選C.λa＋b=(λ+2,2λ)，又向量λa＋b與c共線， 則(λ+2)×(－2)－2λ=－4λ－4=0，解得λ=－1.,【易錯(cuò)誤區(qū)】忽略向量的方向致誤 【典例】(2014·肇慶高一檢測(cè))已知向量a=(－m,4)與b= (－9,m)共線且反向，則m=( ) A.±6 B.-6 C.6 D.36,【解析】選B.已知向量a=(－m,4)與b=(－9,m)共線， 可得－m2－4×(－9)=－m2+36=0，即m2=36， 解得m=±6， 當(dāng)m=6時(shí)，a=(－6,4)，b=(－9,6)，則a= b，a與b同向， 不符合題意. 當(dāng)m=－6時(shí)，a=(6,4)，b=(－9,－6)， 則a=－ b，a與b反向符合題意.故選B.,【常見(jiàn)誤區(qū)】,【防范措施】 深入理解向量關(guān)系，防止錯(cuò)解 利用向量平行的坐標(biāo)表示解決共線問(wèn)題時(shí)應(yīng)關(guān)注兩個(gè)向量的方向關(guān)系，由方向關(guān)系確定參數(shù)的取值.如本例中兩向量共線且反向，參數(shù)的值應(yīng)取負(fù)值.,【類(lèi)題試解】已知A(1,3)，B(2,4)，a=(2x－1,x2+3x－3)且 a= ，則x=( ) A.1 B.1或-4 C.0 D.-4 【解析】選A. =(1,1)，又a= ，則由2x－1=1，解得 x=1； 由x2+3x－3=1，解得x=1或x=－4(舍去).故選A.,