高考數學大一輪總復習 第2篇 第11節(jié) 導數的簡單應用課件 理 新人教A版 .ppt

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,第11節(jié) 導數的簡單應用,,基 礎 梳 理,1．函數的單調性與導數 (1)函數y＝f(x)在某個區(qū)間內可導 ①若f′(x)0，則f(x)在這個區(qū)間內 ； ②若f′(x)0，則f(x)在這個區(qū)間內 ； ③如果在某個區(qū)間內恒有f′(x)＝0，則f(x)為 ． (2)單調性的應用 若函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上單調，則y＝f′(x)在該區(qū)間上不變號．,單調遞增,單調遞減,常函數,質疑探究1：若函數f(x)在(a，b)內單調遞增，那么一定有f′(x)0嗎？f′(x)0是否是f(x)在(a，b)內單調遞增的充要條件？ 提示：函數f(x)在(a，b)內單調遞增，則f′(x)≥0，f′(x)0是f(x)在(a，b)內單調遞增的充分不必要條件．,2．函數的極值與導數 (1)函數極小值的概念滿足 ①函數y＝f(x)在點x＝a處的函數值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數值都 ； ②f′(a) ； ③在點x＝a附近的左側 ，右側 ； 則點x＝a叫做函數y＝f(x)的 ，f(a)叫做函數y＝f(x)的 ．,＝0,f′(x)0,f′(x)0,極小值點,極小值,小,(2)函數極大值的概念滿足 ①函數y＝f(x)在點x＝b處的函數值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數值都 ； ②f′(b) ； ③在點x＝b附近的左側 ，右側 ； 則點x＝b叫做函數y＝f(x)的 ，f(b)叫做函數y＝f(x)的 ；極小值點與極大值點統(tǒng)稱為 ，極小值與極大值統(tǒng)稱為 ．,＝0,f′(x)0,f′(x)0,極大值點,極大值,極值點,極值,大,(3)求可導函數極值的步驟 ①求導數f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根； ③列表，檢驗f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右兩側的符號(判斷y＝f(x)在根左右兩側的單調性)，如果左正右負(左增右減)，那么f(x)在這個根處取得 ．如果左負右正(左減右增)，那么f(x)在這個根處取得 ．如果左右兩側符號一樣，那么這個根不是極值點．,極大值,極小值,質疑探究2：f′(x0)＝0是可導函數f(x)在x＝x0處取極值的什么條件？ 提示：必要不充分條件，因為當f′(x0)＝0且x0左右兩端的導數符號變化時，才能說f(x)在x＝x0處取得極值．反過來，如果可導函數f(x)在x＝x0處取極值，則一定有f′(x0)＝0.,3．函數的最值與導數 求函數y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值的步驟： (1)求y＝f(x)在(a，b)內的 ； (2)將函數y＝f(x)的各極值與端點處的函數值f(a)、f(b)比較，其中 的一個為最大值， 的一個為最小值．,極值,最大,最小,4．利用導數解決實際生活中的優(yōu)化問題 (1)分析實際問題中各變量之間的關系，建立實際問題的數學模型，寫出相應的函數關系式y(tǒng)＝f(x)并確定定義域； (2)求導數f′(x)，解方程f′(x)＝0； (3)判斷使f′(x)＝0的點是極大值點還是極小值點； (4)確定函數的最大值或最小值，還原到實際問題中作答．,3．從邊長為10 cm×16 cm的矩形紙板的四角截去四個相同的小正方形，作成一個無蓋的盒子，則盒子容積的最大值為( ) A．12 cm3 B．72 cm3 C．144 cm3 D．160 cm3,答案：C,,考 點 突 破,[例1] 設函數f(x)＝(x＋a)eax(a∈R)． (1)求函數f(x)的單調區(qū)間； (2)如函數f(x)在區(qū)間(－4,4)內單調遞增，求a的取值范圍． [思維導引] (1)求出f′(x)，就參數a的范圍確定導數的符號，根據導數與單調性的關系得出結論；(2)轉化為函數的導數在區(qū)間(－4,4)內大于或者等于零恒成立．,利用導數研究函數的單調性,含有字母參數的函數的單調性需要根據參數的取值范圍進行討論．根據導數解決函數的單調性時，只要解導數大于0和小于0的不等式即可，但根據單調性確定函數解析式中的參數時，若是函數在區(qū)間D內單調遞增，則需要導數在區(qū)間D內大于或者等于0恒成立，而不單純是大于0恒成立．如果函數在一個區(qū)間上單調，則這個函數的導數在這個區(qū)間上一定存在變號零點．,利用導數研究函數的極值,[思維導引] (1)根據導數的幾何意義得關于a的方程求得a值；(2)求導數等于零的點，并根據導數在這些點左右兩側的符號確定極值點，求出極值．,運用導數求可導函數y＝f(x)的極值的步驟： (1)先求函數的定義域，再求函數y＝f(x)的導數f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)檢查f′(x)在方程根的左右的值的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值，如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值．如果左右符號相同，則此根處不是極值點．,解：(1)f′(x)＝x2－(m＋1)x， 由f(x)在x＝1處取得極大值， 得f′(1)＝1－(m＋1)＝0， 則m＝0，經檢驗m＝0符合題意， 所以m＝0.,(2)因為f(x)在區(qū)間(2，＋∞)為增函數， 所以f′(x)＝x2－(m＋1)x＝x(x－m－1)≥0在區(qū)間(2，＋∞)恒成立， 所以x－m－1≥0恒成立， 即m≤x－1恒成立． 由于x2，得m≤1， 所以m的取值范圍是m≤1.,當m1時，h(x)、h′(x)隨x的變化情況如下表：,[例3] 已知函數f(x)＝x2eax，其中a≤0，e為自然對數的底數． (1)討論函數f(x)的單調性； (2)求函數f(x)在區(qū)間[0,1]上的最大值．,利用導數研究函數的最值,[思維導引] (1)就參數a的不同取值討論導數的符號；(2)根據函數的極值點與已知區(qū)間的位置關系進行分類討論． [解] (1)f′(x)＝2xeax＋x2aeax＝x(ax＋2)eax. ①當a＝0時，由f′(x)0得x0， 由f′(x)0得x0. 故函數f(x)在(0，＋∞)單調遞增，在(－∞，0)單調遞減；,求函數f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最值時，首先可判斷函數在[a，b]上的單調性，若函數在[a，b]上單調遞增或單調遞減，則f(a)，f(b)一個為最大值，一個為最小值．若函數在[a，b]上不單調，一般先求[a，b]上f(x)的極值，再與f(a)，f(b)比較，最大的即為最大值，最小的即為最小值．,利用導數研究生活中的優(yōu)化問題,(1)當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？ (2)當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？ [思維導引] (1)先求出從甲地到乙地的時間，再與y相乘，即得耗油量．(2)首先由每小時耗油量×時間，得到總耗油量關于行駛速度x的函數解析式，利用導數求最值．,當x∈(0,80)時，h′(x)0，h(x)是增函數， 所以當x＝80時，h(x)取到極小值h(80)＝11.25， 因為h(x)在(0,120]上只有一個極值， 所以它是最小值． 故當汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升．,即時突破4 (2014吉林省吉林市二模)某蔬菜基地有一批黃瓜進入市場銷售，通過市場調查，預測黃瓜的價格f(x)(單位：元/kg)與時間x(單位：天，x∈(0,8]且x∈N*)的數據如下表： (1)根據上表數據，從下列函數中選取一個函數描述黃瓜價格f(x)與上市時間x的變化關系：f(x)＝ax＋b，f(x)＝ax2＋bx＋c，f(x)＝a·bx，其中a≠0，并求出此函數；,解：(1)根據表中數據，表述黃瓜價格f(x)與上市時間x的變化關系的函數不是單調函數，這與函數f(x)＝ax＋b，f(x)＝a·bx，均具有單調性不符，所以，在a≠0的前提下，可選取二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c進行描述． 把表格提供的三對數據代入該解析式得到：,