高考數(shù)學(xué)大一輪總復(fù)習(xí) 第2篇 第11節(jié) 導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用課件 理 新人教A版 .ppt
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,第11節(jié) 導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用,,基 礎(chǔ) 梳 理,1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù) (1)函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo) ①若f′(x)0,則f(x)在這個區(qū)間內(nèi) ; ②若f′(x)0,則f(x)在這個區(qū)間內(nèi) ; ③如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有f′(x)=0,則f(x)為 . (2)單調(diào)性的應(yīng)用 若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào),則y=f′(x)在該區(qū)間上不變號.,單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,常函數(shù),質(zhì)疑探究1:若函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增,那么一定有f′(x)0嗎?f′(x)0是否是f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增的充要條件? 提示:函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增,則f′(x)≥0,f′(x)0是f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增的充分不必要條件.,2.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù) (1)函數(shù)極小值的概念滿足 ①函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=a處的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x=a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都 ; ②f′(a) ; ③在點(diǎn)x=a附近的左側(cè) ,右側(cè) ; 則點(diǎn)x=a叫做函數(shù)y=f(x)的 ,f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的 .,=0,f′(x)0,f′(x)0,極小值點(diǎn),極小值,小,(2)函數(shù)極大值的概念滿足 ①函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=b處的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x=b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都 ; ②f′(b) ; ③在點(diǎn)x=b附近的左側(cè) ,右側(cè) ; 則點(diǎn)x=b叫做函數(shù)y=f(x)的 ,f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的 ;極小值點(diǎn)與極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為 ,極小值與極大值統(tǒng)稱為 .,=0,f′(x)0,f′(x)0,極大值點(diǎn),極大值,極值點(diǎn),極值,大,(3)求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟 ①求導(dǎo)數(shù)f′(x); ②求方程f′(x)=0的根; ③列表,檢驗(yàn)f′(x)在方程f′(x)=0的根左右兩側(cè)的符號(判斷y=f(x)在根左右兩側(cè)的單調(diào)性),如果左正右負(fù)(左增右減),那么f(x)在這個根處取得 .如果左負(fù)右正(左減右增),那么f(x)在這個根處取得 .如果左右兩側(cè)符號一樣,那么這個根不是極值點(diǎn).,極大值,極小值,質(zhì)疑探究2:f′(x0)=0是可導(dǎo)函數(shù)f(x)在x=x0處取極值的什么條件? 提示:必要不充分條件,因?yàn)楫?dāng)f′(x0)=0且x0左右兩端的導(dǎo)數(shù)符號變化時,才能說f(x)在x=x0處取得極值.反過來,如果可導(dǎo)函數(shù)f(x)在x=x0處取極值,則一定有f′(x0)=0.,3.函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù) 求函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值的步驟: (1)求y=f(x)在(a,b)內(nèi)的 ; (2)將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)、f(b)比較,其中 的一個為最大值, 的一個為最小值.,極值,最大,最小,4.利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際生活中的優(yōu)化問題 (1)分析實(shí)際問題中各變量之間的關(guān)系,建立實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型,寫出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x)并確定定義域; (2)求導(dǎo)數(shù)f′(x),解方程f′(x)=0; (3)判斷使f′(x)=0的點(diǎn)是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn); (4)確定函數(shù)的最大值或最小值,還原到實(shí)際問題中作答.,3.從邊長為10 cm×16 cm的矩形紙板的四角截去四個相同的小正方形,作成一個無蓋的盒子,則盒子容積的最大值為( ) A.12 cm3 B.72 cm3 C.144 cm3 D.160 cm3,答案:C,,考 點(diǎn) 突 破,[例1] 設(shè)函數(shù)f(x)=(x+a)eax(a∈R). (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)如函數(shù)f(x)在區(qū)間(-4,4)內(nèi)單調(diào)遞增,求a的取值范圍. [思維導(dǎo)引] (1)求出f′(x),就參數(shù)a的范圍確定導(dǎo)數(shù)的符號,根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系得出結(jié)論;(2)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在區(qū)間(-4,4)內(nèi)大于或者等于零恒成立.,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,含有字母參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性需要根據(jù)參數(shù)的取值范圍進(jìn)行討論.根據(jù)導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性時,只要解導(dǎo)數(shù)大于0和小于0的不等式即可,但根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時,若是函數(shù)在區(qū)間D內(nèi)單調(diào)遞增,則需要導(dǎo)數(shù)在區(qū)間D內(nèi)大于或者等于0恒成立,而不單純是大于0恒成立.如果函數(shù)在一個區(qū)間上單調(diào),則這個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在這個區(qū)間上一定存在變號零點(diǎn).,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,[思維導(dǎo)引] (1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得關(guān)于a的方程求得a值;(2)求導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn),并根據(jù)導(dǎo)數(shù)在這些點(diǎn)左右兩側(cè)的符號確定極值點(diǎn),求出極值.,運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的極值的步驟: (1)先求函數(shù)的定義域,再求函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x); (2)求方程f′(x)=0的根; (3)檢查f′(x)在方程根的左右的值的符號,如果左正右負(fù),那么f(x)在這個根處取得極大值,如果左負(fù)右正,那么f(x)在這個根處取得極小值.如果左右符號相同,則此根處不是極值點(diǎn).,解:(1)f′(x)=x2-(m+1)x, 由f(x)在x=1處取得極大值, 得f′(1)=1-(m+1)=0, 則m=0,經(jīng)檢驗(yàn)m=0符合題意, 所以m=0.,(2)因?yàn)閒(x)在區(qū)間(2,+∞)為增函數(shù), 所以f′(x)=x2-(m+1)x=x(x-m-1)≥0在區(qū)間(2,+∞)恒成立, 所以x-m-1≥0恒成立, 即m≤x-1恒成立. 由于x2,得m≤1, 所以m的取值范圍是m≤1.,當(dāng)m1時,h(x)、h′(x)隨x的變化情況如下表:,[例3] 已知函數(shù)f(x)=x2eax,其中a≤0,e為自然對數(shù)的底數(shù). (1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性; (2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上的最大值.,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,[思維導(dǎo)引] (1)就參數(shù)a的不同取值討論導(dǎo)數(shù)的符號;(2)根據(jù)函數(shù)的極值點(diǎn)與已知區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論. [解] (1)f′(x)=2xeax+x2aeax=x(ax+2)eax. ①當(dāng)a=0時,由f′(x)0得x0, 由f′(x)0得x0. 故函數(shù)f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,在(-∞,0)單調(diào)遞減;,求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的最值時,首先可判斷函數(shù)在[a,b]上的單調(diào)性,若函數(shù)在[a,b]上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,則f(a),f(b)一個為最大值,一個為最小值.若函數(shù)在[a,b]上不單調(diào),一般先求[a,b]上f(x)的極值,再與f(a),f(b)比較,最大的即為最大值,最小的即為最小值.,利用導(dǎo)數(shù)研究生活中的優(yōu)化問題,(1)當(dāng)汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地要耗油多少升? (2)當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時,從甲地到乙地耗油最少?最少為多少升? [思維導(dǎo)引] (1)先求出從甲地到乙地的時間,再與y相乘,即得耗油量.(2)首先由每小時耗油量×?xí)r間,得到總耗油量關(guān)于行駛速度x的函數(shù)解析式,利用導(dǎo)數(shù)求最值.,當(dāng)x∈(0,80)時,h′(x)0,h(x)是增函數(shù), 所以當(dāng)x=80時,h(x)取到極小值h(80)=11.25, 因?yàn)閔(x)在(0,120]上只有一個極值, 所以它是最小值. 故當(dāng)汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地耗油最少,最少為11.25升.,即時突破4 (2014吉林省吉林市二模)某蔬菜基地有一批黃瓜進(jìn)入市場銷售,通過市場調(diào)查,預(yù)測黃瓜的價格f(x)(單位:元/kg)與時間x(單位:天,x∈(0,8]且x∈N*)的數(shù)據(jù)如下表: (1)根據(jù)上表數(shù)據(jù),從下列函數(shù)中選取一個函數(shù)描述黃瓜價格f(x)與上市時間x的變化關(guān)系:f(x)=ax+b,f(x)=ax2+bx+c,f(x)=a·bx,其中a≠0,并求出此函數(shù);,解:(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),表述黃瓜價格f(x)與上市時間x的變化關(guān)系的函數(shù)不是單調(diào)函數(shù),這與函數(shù)f(x)=ax+b,f(x)=a·bx,均具有單調(diào)性不符,所以,在a≠0的前提下,可選取二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c進(jìn)行描述. 把表格提供的三對數(shù)據(jù)代入該解析式得到:,- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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