高一數(shù)學（人教A版）必修2能力強化提升：4-2-3 直線與圓的方程的應用

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一、選擇題1一輛卡車寬1.6m，要經(jīng)過一個半圓形隧道(半徑為3.6m)則這輛卡車的平頂車篷篷頂距地面高度不得超過()A1.4m B3.5mC3.6m D2.0m答案B解析圓半徑OA3.6，卡車寬1.6，AB0.8，弦心距OB3.5.2與圓x2y2ax2y10關于直線xy10對稱的圓的方程是x2y24x30，則a()A0 B1C2 D3答案C解析x2y24x30化為標準形式為(x2)2y21，圓心為(2,0)，(2,0)關于直線xy10對稱的點為(1,1)，x2y2ax2y10的圓心為(1,1)x2y2ax2y10，即為(x)2(y1)2，圓心為(，1)，1，即a2.3直線2xy0與圓C：(x2)2(y1)29交于A、B兩點，則ABC(C為圓心)的面積等于()A2 B2C4 D4答案A解析圓心到直線的距離d，|AB|24，SABC42.4點P是直線2xy100上的動點，直線PA、PB分別與圓x2y24相切于A、B兩點，則四邊形PAOB(O為坐標原點)的面積的最小值等于()A24 B16C8 D4答案C解析四邊形PAOB的面積S2|PA|OA|22，當直線OP垂直直線2xy100時，其面積S最小5若直線axby1與圓x2y21相交，則點P(a，b)的位置是()A在圓上 B在圓外C在圓內(nèi) D以上都不對答案B解析由1.6(2008年山東高考題)已知圓的方程為x2y26x8y0.設該圓過點(3,5)的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為()A10 B20C30 D40答案B解析圓心坐標是(3,4)，半徑是5，圓心到點(3,5)的距離為1，根據(jù)題意最短弦BD和最長弦(即圓的直徑)AC垂直，故最短弦的長為24，所以四邊形ABCD的面積為ACBD10420.7方程kx2有唯一解，則實數(shù)k的范圍是()AkBk(2,2)Ck2Dk2或k3答案D解析由題意知，直線ykx2與半圓x2y21(y0只有一個交點結合圖形易得k2或k.8(拔高題)臺風中心從A地以每小時20 km的速度向東北方向移動，離臺風中心30 km內(nèi)的地區(qū)為危險地區(qū)，城市B在A的正東40 km外，B城市處于危險區(qū)內(nèi)的時間為()A0.5 h B1 hC1.5 h D2 h答案B解析建系后寫出直線和圓的方程，求得弦長為20千米，故處于危險區(qū)內(nèi)的時間為1(h)二、填空題9已知實數(shù)x，y滿足x2y24x10.則xy的最大值和最小值分別是_和_的最大值和最小值分別是_和_x2y2的最大值和最小值分別是_和_答案2，2；1，1；74，74解析(1)設xyb則yxb與圓x2y24x10有公共點，即，2b2故xy最大值為2，最小值為2(2)設k，則ykx與x2y24x10有公共點，即k，故最大值為，最小值為(3)圓心(2,0)到原點距離為2，半徑r故(2)2x2y2(2)2由此x2y2最大值為74，最小值為74.10如下圖所示，一座圓拱橋，當水面在某位置時，拱頂離水面2 m，水面寬12 m，當水面下降1 m后，水面寬為_m.答案2解析如下圖所示，以圓拱拱頂為坐標原點，以過拱頂?shù)呢Q直直線為y軸，建立直角坐標系，設圓心為C，水面所在弦的端點為A，B，則由已知得A(6，2)，B(6，2)設圓的半徑為r，則C(0，r)，即圓的方程為x2(yr)2r2.將點A的坐標(6，2)代入方程，解得r10.圓的方程為x2(y10)2100.當水面下降1 m后，可設點A的坐標為(x0，3)(x00)，將A的坐標(x0，3)代入方程，求得x0.所以，水面下降1 m后，水面寬為2x02.11已知直線x2y30與圓(x2)2(y3)29相交于E，F(xiàn)兩點，圓心為點C，則CEF的面積等于_答案2解析圓心C(2，3)到直線的距離為d，又R3，|EF|24.SCEF|EF|d2.12若點P在直線l1：xy30上，過點P的直線l2與曲線C：(x5)2y216相切于點M，則|PM|的最小值_答案4解析曲線C：(x5)2y216是圓心為C(5,0)，半徑為4的圓，連接CP，CM，則在MPC中，CMPM，則|PM|，當|PM|取最小值時，|CP|取最小值，又點P在直線l1上，則|CP|的最小值是點C到直線l1的距離，即|CP|的最小值為d4，則|PM|的最小值為4.三、解答題13如圖所示，已知直線l的解析式是yx4，并且與x軸、y軸分別交于A，B兩點一個半徑為1.5的圓C，圓心C從點(0,1.5)開始以每秒0.5個單位的速度沿著y軸向下運動，當圓C與直線l相切時，求該圓運動的時間解析設運動的時間為t s，則t s后圓心的坐標為(0,1.50.5t)圓C與直線l：yx4，即4x3y120相切，1.5.解得t6或16.即該圓運動的時間為6 s或16 s.14設有一個半徑為3 km的圓形村落，甲、乙兩人同時從村落中心出發(fā)，甲向東，而乙向北前進，甲出村后不久，改變前進方向沿著相切于村落邊界的方向前進，后來恰好與乙相遇，設甲、乙兩人的速度都一定，其比為3:1，此二人在何處相遇？解析如圖，以村落中心為坐標原點，以東西方向為x軸，南北方向為y軸建立直角坐標系設甲向東走到D轉向到C恰好與乙相遇設D，C兩點的坐標分別為(a,0)，(0，b)，其中a3，b3，則CD方程為1.設乙的速度為v，則甲的速度為3v.依題意，得解得乙向北走3.75 km時兩人相遇15某圓拱橋的示意圖如下圖所示，該圓拱的跨度AB是36 m，拱高OP是6 m，在建造時，每隔3 m需用一個支柱支撐，求支柱A2P2的長(精確到0.01 m)分析建系求點的坐標求圓的方程求A2P2的長解析如圖，以線段AB所在的直線為x軸，線段AB的中點O為坐標原點建立平面直角坐標系，那么點A，B，P的坐標分別為(18,0)，(18,0)，(0,6)設圓拱所在的圓的方程是x2y2DxEyF0.因為A，B，P在此圓上，故有解得故圓拱所在的圓的方程是x2y248y3240.將點P2的橫坐標x6代入上式，解得y2412.答：支柱A2P2的長約為1224.點評在實際問題中，遇到有關直線和圓的問題，通常建立坐標系，利用坐標法解決建立適當?shù)闹苯亲鴺讼祽裱c：若曲線是軸對稱圖形，則可選它的對稱軸為坐標軸；常選特殊點作為直角坐標系的原點；盡量使已知點位于坐標軸上建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担瑫喕\算過程16如圖，直角ABC的斜邊長為定值2m，以斜邊的中點O為圓心作半徑為n的圓，直線BC交圓于P、Q兩點，求證：|AP|2|AQ|2|PQ|2為定值證明如上圖，以O為坐標原點，以直線BC為x軸，建立平面直角坐標系，于是有B(m,0)，C(m,0)，P(n,0)，Q(n,0)設A(x，y)，由已知，點A在圓x2y2m2上|AP|2|AQ|2|PQ|2(xn)2y2(xn)2y24n22x22y26n22m26n2(定值)