高一數學（人教A版）必修2能力強化提升：4-2-3 直線與圓的方程的應用

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一、選擇題 1．一輛卡車寬1.6m，要經過一個半圓形隧道(半徑為3.6m)則這輛卡車的平頂車篷篷頂距地面高度不得超過(　　) A．1.4m B．3.5m C．3.6m D．2.0m [答案]　B [解析]　圓半徑OA＝3.6，卡車寬1.6，∴AB＝0.8， ∴弦心距OB＝≈3.5. 2．與圓x2＋y2－ax－2y＋1＝0關于直線x－y－1＝0對稱的圓的方程是x2＋y2－4x＋3＝0，則a＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 [答案]　C [解析]　x2＋y2－4x＋3＝0化為標準形式為(x－2)2＋y2＝1，圓心為(2,0)， ∵(2,0)關于直線x－y－1＝0對稱的點為(1,1)， ∴x2＋y2－ax－2y＋1＝0的圓心為(1,1)． ∵x2＋y2－ax－2y＋1＝0，即為(x－)2＋(y－1)2＝，圓心為(，1)，∴＝1，即a＝2. 3．直線2x－y＝0與圓C：(x－2)2＋(y＋1)2＝9交于A、B兩點，則△ABC(C為圓心)的面積等于(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 [答案]　A [解析]　∵圓心到直線的距離d＝＝， ∴|AB|＝2＝4，∴S△ABC＝×4×＝2.. 4．點P是直線2x＋y＋10＝0上的動點，直線PA、PB分別與圓x2＋y2＝4相切于A、B兩點，則四邊形PAOB(O為坐標原點)的面積的最小值等于(　　) A．24 B．16 C．8 D．4 [答案]　C [解析]　∵四邊形PAOB的面積S＝2×|PA|×|OA|＝2＝2，∴當直線OP垂直直線2x＋y＋10＝0時，其面積S最?。? 5．若直線ax＋by＝1與圓x2＋y2＝1相交，則點P(a，b)的位置是(　　) A．在圓上 B．在圓外 C．在圓內 D．以上都不對 [答案]　B [解析]　由<1，∴a2＋b2>1. 6．(2008年山東高考題)已知圓的方程為x2＋y2－6x－8y＝0.設該圓過點(3,5)的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為(　　) A．10 B．20 C．30 D．40 [答案]　B [解析]　圓心坐標是(3,4)，半徑是5，圓心到點(3,5)的距離為1，根據題意最短弦BD和最長弦(即圓的直徑)AC垂直，故最短弦的長為2＝4，所以四邊形ABCD的面積為×AC×BD＝×10×4＝20. 7．方程＝kx＋2有唯一解，則實數k的范圍是(　　) A．k＝± B．k∈(－2,2) C．k<－2或k>2 D．k<－2或k>2或k＝±3 [答案]　D [解析]　由題意知，直線y＝kx＋2與半圓x2＋y2＝1(y≥0只有一個交點．結合圖形易得k<－2或k>2或k＝±. 8．(拔高題)臺風中心從A地以每小時20 km的速度向東北方向移動，離臺風中心30 km內的地區(qū)為危險地區(qū)，城市B在A的正東40 km外，B城市處于危險區(qū)內的時間為(　　) A．0.5 h B．1 h C．1.5 h D．2 h [答案]　B [解析]　建系后寫出直線和圓的方程，求得弦長為20千米，故處于危險區(qū)內的時間為＝1(h)． 二、填空題 9．已知實數x，y滿足x2＋y2－4x＋1＝0.則x－y的最大值和最小值分別是________和________． 的最大值和最小值分別是________和________． x2＋y2的最大值和最小值分別是______和______． [答案]　2＋，2－；1，－1；7＋4，7－4 [解析]　(1)設x－y＝b則y＝x－b與圓x2＋y2－4x＋1＝0有公共點， 即≤，∴2－≤b≤2＋ 故x－y最大值為2＋，最小值為2－ (2)設＝k，則y＝kx與x2＋y2－4x＋1＝0 有公共點，即≤ ∴≤k≤，故最大值為，最小值為－ (3)圓心(2,0)到原點距離為2，半徑r＝ 故(2－)2≤x2＋y2≤(2＋)2 由此x2＋y2最大值為7＋4，最小值為7－4. 10．如下圖所示，一座圓拱橋，當水面在某位置時，拱頂離水面2 m，水面寬12 m，當水面下降1 m后，水面寬為________m. [答案]　2 [解析]　如下圖所示，以圓拱拱頂為坐標原點，以過拱頂的豎直直線為y軸，建立直角坐標系，設圓心為C，水面所在弦的端點為A，B，則由已知得A(6，－2)，B(－6，－2)． 設圓的半徑為r，則C(0，－r)，即圓的方程為x2＋(y＋r)2＝r2.?、? 將點A的坐標(6，－2)代入方程①，解得r＝10. ∴圓的方程為x2＋(y＋10)2＝100.?、? 當水面下降1 m后，可設點A′的坐標為(x0，－3)(x0>0)，將A′的坐標(x0，－3)代入方程②，求得x0＝.所以，水面下降1 m后，水面寬為2x0＝2. 11．已知直線x－2y－3＝0與圓(x－2)2＋(y＋3)2＝9相交于E，F兩點，圓心為點C，則△CEF的面積等于________． [答案]　2 [解析]　∵圓心C(2，－3)到直線的距離為d＝＝，又R＝3，∴|EF|＝2＝4. ∴S△CEF＝|EF|·d＝2. 12．若點P在直線l1：x＋y＋3＝0上，過點P的直線l2與曲線C：(x－5)2＋y2＝16相切于點M，則|PM|的最小值________． [答案]　4 [解析]　曲線C：(x－5)2＋y2＝16是圓心為C(5,0)，半徑為4的圓，連接CP，CM，則在△MPC中，CM⊥PM，則|PM|＝＝，當|PM|取最小值時，|CP|取最小值，又點P在直線l1上，則|CP|的最小值是點C到直線l1的距離，即|CP|的最小值為d＝＝4，則|PM|的最小值為＝4. 三、解答題 13．如圖所示，已知直線l的解析式是y＝x－4，并且與x軸、y軸分別交于A，B兩點．一個半徑為1.5的圓C，圓心C從點(0,1.5)開始以每秒0.5個單位的速度沿著y軸向下運動，當圓C與直線l相切時，求該圓運動的時間． [解析]　設運動的時間為t s，則t s后圓心的坐標為(0,1.5－0.5t)． ∵圓C與直線l：y＝x－4，即4x－3y－12＝0相切，∴＝1.5. 解得t＝6或16. 即該圓運動的時間為6 s或16 s. 14．設有一個半徑為3 km的圓形村落，甲、乙兩人同時從村落中心出發(fā)，甲向東，而乙向北前進，甲出村后不久，改變前進方向．沿著相切于村落邊界的方向前進，后來恰好與乙相遇，設甲、乙兩人的速度都一定，其比為3:1，此二人在何處相遇？ [解析]　如圖，以村落中心為坐標原點，以東西方向為x軸，南北方向為y軸建立直角坐標系．設甲向東走到D轉向到C恰好與乙相遇．設D，C兩點的坐標分別為(a,0)，(0，b)，其中a＞3，b＞3，則CD方程為＋＝1.設乙的速度為v，則甲的速度為3v.依題意，得解得∴乙向北走3.75 km時兩人相遇． 15．某圓拱橋的示意圖如下圖所示，該圓拱的跨度AB是36 m，拱高OP是6 m，在建造時，每隔3 m需用一個支柱支撐，求支柱A2P2的長．(精確到0.01 m) [分析]　建系→求點的坐標→求圓的方程→求A2P2的長 [解析]　如圖，以線段AB所在的直線為x軸，線段AB的中點O為坐標原點建立平面直角坐標系，那么點A，B，P的坐標分別為(－18,0)，(18,0)，(0,6)． 設圓拱所在的圓的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 因為A，B，P在此圓上，故有 解得 故圓拱所在的圓的方程是x2＋y2＋48y－324＝0. 將點P2的橫坐標x＝6代入上式，解得 y＝－24＋12. 答：支柱A2P2的長約為12－24. [點評]　在實際問題中，遇到有關直線和圓的問題，通常建立坐標系，利用坐標法解決．建立適當的直角坐標系應遵循三點：①若曲線是軸對稱圖形，則可選它的對稱軸為坐標軸；②常選特殊點作為直角坐標系的原點；盡量使已知點位于坐標軸上．建立適當的直角坐標系，會簡化運算過程． 16．如圖，直角△ABC的斜邊長為定值2m，以斜邊的中點O為圓心作半徑為n的圓，直線BC交圓于P、Q兩點，求證：|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2為定值． [證明]　如上圖，以O為坐標原點，以直線BC為x軸，建立平面直角坐標系，于是有B(－m,0)，C(m,0)，P(－n,0)，Q(n,0)． 設A(x，y)，由已知，點A在圓x2＋y2＝m2上． |AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2 ＝(x＋n)2＋y2＋(x－n)2＋y2＋4n2 ＝2x2＋2y2＋6n2＝2m2＋6n2(定值)．