高考數(shù)學人教A版（理）一輪復習：第五篇 第1講 平面向量的概念及其線性運算

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第1講 平面向量的概念及其線性運算 A級　基礎演練(時間：30分鐘　滿分：55分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．(2013·合肥檢測)已知O是△ABC所在平面內(nèi)一點，D為BC邊的中點，且2＋＋＝0，那么 (　　)． A.＝ B.＝2 C.＝3 D．2＝ 解析　由2＋＋＝0可知，O是底邊BC上的中線AD的中點，故＝. 答案　A 2．已知＝a，＝b，＝c，＝d，且四邊形ABCD為平行四邊形，則 (　　)． A．a(chǎn)－b＋c－d＝0 B．a(chǎn)－b－c＋d＝0 C．a(chǎn)＋b－c－d＝0 D．a(chǎn)＋b＋c＋d＝0 解析　依題意，得＝，故＋＝0，即－＋－＝0，即有－＋－＝0，則a－b＋c－d＝0.選A. 答案　A 3．已知平面上不共線的四點O，A，B，C.若＋2＝3，則的值為 (　　)． A. B. C. D. 解析　由＋2＝3，得－＝2－2，即＝2，所以＝.故選A. 答案　A 4．(2011·山東)設A1，A2，A3，A4是平面直角坐標系中兩兩不同的四點，若＝λ(λ∈R)，＝μ(μ∈R)，且＋＝2，則稱A3，A4調和分割A1，A2.已知平面上的點C，D調和分割點A，B，則下列說法正確的是 (　　)． A．C可能是線段AB的中點 B．D可能是線段AB的中點 C．C、D可能同時在線段AB上 D．C、D不可能同時在線段AB的延長線上 解析　若A成立，則λ＝，而＝0，不可能；同理B也不可能；若C成立，則0＜λ＜1，且0＜μ＜1，＋＞2，與已知矛盾；若C，D同時在線段AB的延長線上時，λ＞1，且μ＞1，＋＜2，與已知矛盾，故C，D不可能同時在線段AB的延長線上，故D正確． 答案　D 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．(2013·泰安模擬)設a，b是兩個不共線向量，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三點共線，則實數(shù)p的值為________． 解析　∵＝＋＝2a－b，又A，B，D三點共線， ∴存在實數(shù)λ，使＝λ. 即∴p＝－1. 答案　－1 6.如圖，在矩形ABCD中，||＝1，||＝2，設＝a，＝b，＝c，則|a＋b＋c|＝________. 解析　根據(jù)向量的三角形法則有|a＋b＋c|＝|＋＋|＝|＋＋|＝|＋|＝2||＝4. 答案　4 三、解答題(共25分) 7．(12分)如圖，在平行四邊形OADB中，設＝a，＝b，＝，＝.試用a，b表示，及. 解　由題意知，在平行四邊形OADB中，＝＝＝(－)＝(a－b)＝a－b， 則＝＋＝b＋a－b＝a＋b. ＝＝(＋)＝(a＋b)＝a＋b， ＝－＝(a＋b)－a－b＝a－b. 8．(13分)(1)設兩個非零向量e1，e2不共線，如果＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，求證：A，B，D三點共線． (2)設e1，e2是兩個不共線的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三點共線，求k的值． (1)證明　因為＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2， 所以＝＋＝10e1＋15e2. 又因為＝2e1＋3e2，得＝5，即∥， 又因為，有公共點B，所以A，B，D三點共線． (2)解　D＝－＝e1＋3e2－2e1＋e2＝4e2－e1， ＝2e1＋ke2， 若A，B，D共線，則∥D， 設D＝λ，所以?k＝－8. B級　能力突破(時間：30分鐘　滿分：45分) 一、選擇題(每小題5分，共10分) 1．(2013·濟南一模)已知A，B，C 是平面上不共線的三點，O是△ABC的重心，動點P滿足＝，則點P一定為三角形ABC的 (　　)． A．AB邊中線的中點 B．AB邊中線的三等分點(非重心) C．重心 D．AB邊的中點 解析　設AB的中點為M，則＋＝，∴＝(＋2)＝＋，即3＝＋2，也就是＝2，∴P，M，C三點共線，且P是CM上靠近C點的一個三等分點． 答案　B 2．若點M是△ABC所在平面內(nèi)的一點，且滿足5＝＋3，則△ABM與△ABC的面積比為 (　　)． A. B. C. D. 解析　設AB的中點為D，由5＝＋3，得3－3＝2－2，即3＝2.如圖所示，故C，M，D三點共線，且＝，也就是△ABM與△ABC對于邊AB的兩高之比為3∶5，則△ABM與△ABC的面積比為，選C. 答案　C 二、填空題(每小題5分，共10分) 3．若點O是△ABC所在平面內(nèi)的一點，且滿足|－|＝|＋－2|，則△ABC的形狀為________． 解析?。?＝－＋－＝＋， －＝＝－，∴|＋|＝|－|. 故A，B，C為矩形的三個頂點，△ABC為直角三角形． 答案　直角三角形 4.如圖所示，在△ABC中，點O是BC的中點．過點O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點M，N，若＝m，＝n，則m＋n的值為________． 解析　∵O是BC的中點， ∴＝(＋)． 又∵＝m，＝n，∴＝＋. ∵M，O，N三點共線，∴＋＝1，則m＋n＝2. 答案　2 三、解答題(共25分) 5．(12分)如圖所示，在△ABC中，在AC上取一點N，使得AN＝AC，在AB上取一點M，使得AM＝AB，在BN的延長線上取點P，使得NP＝BN，在CM的延長線上取點Q，使得＝λ時，＝，試確定λ的值． 解　∵＝－＝(－)＝(＋)＝，＝－＝＋λ， 又∵＝，∴＋λ＝， 即λ＝，∴λ＝. 6．(13分)已知點G是△ABO的重心，M是AB邊的中點． (1)求＋＋； (2)若PQ過△ABO的重心G，且＝a，＝b，＝ma，＝nb，求證：＋＝3. (1)解　∵＋＝2，又2＝－， ∴＋＋＝－＋＝0. (2)證明　顯然＝(a＋b)．因為G是△ABO的重心，所以＝＝(a＋b)．由P，G，Q三點共線，得∥，所以，有且只有一個實數(shù)λ，使＝λ. 而＝－＝(a＋b)－ma＝a＋b， ＝－＝nb－(a＋b)＝－a＋b， 所以a＋b＝λ. 又因為a，b不共線，所以 消去λ，整理得3mn＝m＋n，故＋＝3. 特別提醒：教師配贈習題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見《創(chuàng)新設計·高考總復習》光盤中內(nèi)容.