高中數(shù)學 綜合測試題3 新人教A版選修2-2

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高中新課標數(shù)學選修（2-2）綜合測試題 一、選擇題 1．函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為（　?。? Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．5 答案：Ｂ 2．已知直線是的切線，則的值為（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ａ 3．如果1N的力能拉長彈簧1cm，為了將彈簧拉長6cm（在彈性限度內(nèi)）所耗費的功為（　　） Ａ．0.18J Ｂ．0.26J Ｃ．0.12J Ｄ．0.28J 答案：Ａ 4．方程有實根，且，則（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ａ 5．內(nèi)有任意三點不共線的2002個點，加上三個頂點，共2005個點，把這2005個點連線形成不重疊的小三角形，則一共可以形成小三角形的個數(shù)為（　?。? Ａ．4005 Ｂ．4002 Ｃ．4007 Ｄ．4000 答案：Ａ 6．數(shù)列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，的第50項（　?。? Ａ．8 Ｂ．9 Ｃ．10 Ｄ．11 答案：Ｃ 7．在證明為增函數(shù)的過程中，有下列四個命題：①增函數(shù)的定義是大前提；②增函數(shù)的定義是小前提；③函數(shù)滿足增函數(shù)的定義是大前提；④函數(shù)滿足增函數(shù)的定義是大前提．其中正確的命題是（　　） Ａ．①② Ｂ．②④ Ｃ．①③ Ｄ．②③ 答案：Ｃ 8．若，則復數(shù)表示的點在（　?。? Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 答案：Ｄ 9．一圓的面積以速度增加，那么當圓半徑時，其半徑的增加速率為（　?。? Ａ．cm/s Ｂ． cm/s Ｃ． cm/s Ｄ． cm/s 答案：Ｃ 10．用數(shù)學歸納法證明不等式“”時的過程中，由到時，不等式的左邊（　?。? Ａ．增加了一項 Ｂ．增加了兩項 Ｃ．增加了兩項，又減少了一項 Ｄ．增加了一項，又減少了一項 答案：Ｃ 11．在下列各函數(shù)中，值域不是的函數(shù)共有（　?。? （1） （2） （3） （4） Ａ．1個 Ｂ．2個 Ｃ．3個 Ｄ．4個 答案：Ｃ 12．如圖是函數(shù)的大致圖象，則等于（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ｃ 二、填空題 13．函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值與最小值分別為　　　?。? 答案：3， 14．若，，且，則的值為　　　?。? 答案： 15．用火柴棒按下圖的方法搭三角形： 按圖示的規(guī)律搭下去，則所用火柴棒數(shù)與所搭三角形的個數(shù)之間的關系式可以是　　?。? 答案： 16．物體的運動速度與時間之間的關系為（的單位是m/s，的單位是s），物體的運動速度與時間之間的關系為，兩個物體在相距為405m的同一直線上同時相向運動．則它們相遇時，物體的運動路程為　　　　?。? 答案：72m 三、解答題 17．已知復數(shù)，滿足，且為純虛數(shù)，求證：為實數(shù)． 證明：由，得， 即，那么， 由于，為純虛數(shù)，可設， 所以，從而， 故為實數(shù)． 18．用總長14.8的鋼條做一個長方體容器的框架，如果所做容器的底面的一邊長比另一邊長多0.5m，那么高是多少時容器的容積最大？并求出它的最大容積． 解：設該容器底面矩形的短邊長為cm，則另一邊長為m，此容器的高為， 于是，此容器的容積為：，其中， 即，得，（舍去）， 因為，在內(nèi)只有一個極值點，且時，，函數(shù)遞增； 時，，函數(shù)遞減； 所以，當時，函數(shù)有最大值， 即當高為1.2m時，長方體容器的空積最大，最大容積為． 19．如圖所示，已知直線與不共面，直線，直線，又平面，平面，平面，求證：三點不共線． 證明：用反證法，假設三點共線于直線， ，． ，與可確定一個平面． ，． 又，，同理， 直線，共面，與，不共面矛盾． 所以三點不共線． 20．已知函數(shù)在上是減函數(shù)，求的取值范圍． 解：求函數(shù)的導數(shù)：． （1）當時，是減函數(shù)． 且． 所以，當時，由，知是減函數(shù)； （2）當時，， 由函數(shù)在上的單調(diào)性，可知當時，是減函數(shù)； （3）當時，在上存在使的區(qū)間， 所以，當時，函數(shù)不是減函數(shù)． 綜上，所求的取值范圍是． 21．若，觀察下列不等式：，，，請你猜測滿足的不等式，并用數(shù)學歸納法加以證明． 解：滿足的不等式為，證明如下： 1．當時，結論成立； 2．假設當時，結論成立，即 ． 顯然，當時，結論成立． 22．設曲線過點，． （1）用表示曲線與軸所圍成的圖形面積； （2）求的最小值． 解：（1）曲線過點及，故有， 于是且，令，即，得， 記，，由曲線關于軸對稱， 有 ． （2），令， 則． 令，得或（舍去）． 又時，； 時，． 所以，當時，有最小值，此時有最小值． 高中新課標數(shù)學選修（2-2）綜合測試題 一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的） 1．函數(shù)的導數(shù)為 （ ） （A） （B） （C） （D） 2．下列說法正確的是 （ ） （A）當時，為的極大值 （B）當時，為的極小值 （C）當時，為的極值 （D）當為的極值時， 3．如果是的共軛復數(shù)，則對應的向量的模是 （ ） （A）1 （B） （C） （D）5 4．若函數(shù)的遞減區(qū)間為，則的取值范圍是 （ ） （A） （B） （C） （D） 5．下列四條曲線（直線）所圍成的區(qū)域的面積是 （ ） (1);(2) ; (3);(4) (A) (B) (C)0 (D) 6．由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，叫 （ ） （A）合情推理 （B）演繹推理 （C）類比推理 （D）歸納推理 7．復數(shù)與的積是實數(shù)的充要條件是 （ ） （A） （B） （C） （D） 8．已知函數(shù)，那么是 （ ） （A）僅有最小值的奇函數(shù) （B）既有最大值又有最小值的偶函數(shù) （C）僅有最大值的偶函數(shù) （D）非奇非偶函數(shù) 9．用邊長為48厘米的正方形鐵皮做一個無蓋的鐵盒時，在鐵皮的四角各截去一個面積相等的小正方形，然后把四邊折起，就能焊成鐵盒。當所做的鐵盒的容積最大時，在四角截去的正方形的邊長為 （ ） （A）12 （B）10 （C）8 （D）6 10．用數(shù)學歸納法證明：，在驗證n＝1時，左端計算所得的式子是 （ ） （A）1 （B）1+a （C） （D） 11．給出下列四個命題：（1）任一兩個復數(shù)都不能比較大小；（2）為實數(shù)為實數(shù)（3）虛軸上的點都表示純虛數(shù)；（4）復數(shù)集與復平面內(nèi)的向量所成的集合是一一對應的。 其中正確命題的個數(shù)是 （ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 12．用數(shù)學歸納法證明：，由到，不等式左端變化的是 （ ） （A）增加一項 （B）增加和兩項 （C）增加和兩項，同時減少一項 （D）增加一項，同時減少一項 二、填空題：（每小題4分，四小題共16分） 13．已知（為常數(shù)），則 ； 14．在數(shù)列中，， ，則 ； 15．已知：△ABC中，AD⊥BC于D,三邊分別是a，b，c，則有；類比上述結論，寫出下列條件下的結論：四面體P-ABC中，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面積分別是，二面角的度數(shù)分別是，則 ； 16．對于函數(shù)定義域中任意的()，有如下結論： （1）；（2）； （3）；（4）；試分別寫出對應上述一個結論成立的四個函數(shù)： 適合結論（1） ； 適合結論（2） ； 適合結論（3） ； 適合結論（4） 。 三、解答題（17－19，21題，每題12分；20，22題，每題14分；共76分） 17．求過點（1，2）且與曲線相切的直線方程。 18．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是,且。 （1）求的值；（2）若，求的最大值。 19．半徑為的球的內(nèi)接圓柱，問圓柱的底半徑與高多大，才能使圓柱的體積最大。 20．在數(shù)列中，，且前n項的算術平均數(shù)等于第n項的2n－1倍（）。 （1）寫出此數(shù)列的前5項；（2）歸納猜想的通項公式，并加以證明。 x y Ｏ 21題 21．求由拋物線與它在點A（0，－3）和點B(3，0)的切線所圍成的區(qū)域的面積。 22．已知函數(shù)，。 （1） 若，且函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求的取值范圍； （2）當時，求函數(shù)的取值范圍。 以下為參考答案 高中新課標數(shù)學選修（2-2）綜合測試題參考答案 一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的） 1．解析： 故選B 2．反例：，，但=0既不是極大值也不是極小值， 故選D 3．解析：，所以， 故選D 4．解析：，令，則，當時，不合題意；當時，，， 故選A 5．解析：故選A 6．解析：概念題 選D 7．解析： 選C 8．解析： 故選B 9．解析：設小正方形的邊長為x厘米，則 令 故選C 10．解析：n＝1時，左端最后一項為，所以左端的式子是 故選C 11．解析：（1）兩個實數(shù)可以比較大小，（2）為實數(shù)，可以為純虛數(shù)；（3）原點，（4）正確， 故選A 12．解析：當時，左端=； 當時，左端= 顯然選C 二、填空題：（每小題4分，四小題共16分） 13．解析：，故填 ； 14．解析：，，，所以 也可以用歸納法。 故填 15．解析：作面ABC于D,連結DA,DB，可得，同理可得：，所以， 故填 16．解析：（1）；（2）；（3）（4） 三、解答題（17－19，21題，每題12分；20，22題，每題14分；共76分） 17．解析：因為點（1，2）不在曲線上，所以設所求切線與的切點為，則，所以切線方程為， 代入，即，得，， 所以，即，或 所求的切線方程為或 18．解析：（1） （2）由余弦定理得，所以 ，當且僅當時，等號成立，即的最大值為。 19．解析：設球的內(nèi)接圓柱的底半徑為，則其高為，所以圓柱的體積是， + 0 － 極大值 令，則， ，列表： 所以函數(shù)在時取得最大值，此時，即當圓柱的底半徑為，高為時，圓柱的體積最大，是。 20．解析：（1）由已知，，分別取，得： ， ， ， 所以數(shù)列的前5項是：，，，， （2）由（1）中的分析可以猜想。下面用數(shù)學歸納法證明： ①當n=1時，公式顯然成立。②假設當時成立，即，那么由已知，得， 即 所以 即，又歸納假設，得： 所以，即當時，公式也成立 由①，②，對一切，都有成立。 x y Ｏ 21．解析：，，所以過點A（0，－3）和點B(3，0)的切線方程分別是，兩條切線的交點是（），圍成的區(qū)域如圖所示：區(qū)域被直線分成了兩部分，分別計算再相加，得： 即所求區(qū)域的面積是。 22．解析：（１）時，，則 因為函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以有解，即，又因為， 則的解。①當時，為開口向上的拋物線，的解；②當時，為開口向下的拋物線，的解，所以，且方程至少有一個正根，所以。綜上可知，得取值范圍是。 （2）時，，， 令，則，所以 ＋ ０ － 極大值 列表： 所以當時，取的最大值 又當時， 所以的取值范圍是。 14