高中數(shù)學(xué) 綜合測(cè)試題3 新人教A版選修2-2

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高中新課標(biāo)數(shù)學(xué)選修（2-2）綜合測(cè)試題 一、選擇題 1．函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為（　　） Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．5 答案：Ｂ 2．已知直線是的切線，則的值為（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ａ 3．如果1N的力能拉長(zhǎng)彈簧1cm，為了將彈簧拉長(zhǎng)6cm（在彈性限度內(nèi)）所耗費(fèi)的功為（　?。? Ａ．0.18J Ｂ．0.26J Ｃ．0.12J Ｄ．0.28J 答案：Ａ 4．方程有實(shí)根，且，則（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ａ 5．內(nèi)有任意三點(diǎn)不共線的2002個(gè)點(diǎn)，加上三個(gè)頂點(diǎn)，共2005個(gè)點(diǎn)，把這2005個(gè)點(diǎn)連線形成不重疊的小三角形，則一共可以形成小三角形的個(gè)數(shù)為（　?。? Ａ．4005 Ｂ．4002 Ｃ．4007 Ｄ．4000 答案：Ａ 6．?dāng)?shù)列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，的第50項(xiàng)（　?。? Ａ．8 Ｂ．9 Ｃ．10 Ｄ．11 答案：Ｃ 7．在證明為增函數(shù)的過程中，有下列四個(gè)命題：①增函數(shù)的定義是大前提；②增函數(shù)的定義是小前提；③函數(shù)滿足增函數(shù)的定義是大前提；④函數(shù)滿足增函數(shù)的定義是大前提．其中正確的命題是（　　） Ａ．①② Ｂ．②④ Ｃ．①③ Ｄ．②③ 答案：Ｃ 8．若，則復(fù)數(shù)表示的點(diǎn)在（　　） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 答案：Ｄ 9．一圓的面積以速度增加，那么當(dāng)圓半徑時(shí)，其半徑的增加速率為（　?。? Ａ．cm/s Ｂ． cm/s Ｃ． cm/s Ｄ． cm/s 答案：Ｃ 10．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“”時(shí)的過程中，由到時(shí)，不等式的左邊（　?。? Ａ．增加了一項(xiàng) Ｂ．增加了兩項(xiàng) Ｃ．增加了兩項(xiàng)，又減少了一項(xiàng) Ｄ．增加了一項(xiàng)，又減少了一項(xiàng) 答案：Ｃ 11．在下列各函數(shù)中，值域不是的函數(shù)共有（　?。? （1） （2） （3） （4） Ａ．1個(gè) Ｂ．2個(gè) Ｃ．3個(gè) Ｄ．4個(gè) 答案：Ｃ 12．如圖是函數(shù)的大致圖象，則等于（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ｃ 二、填空題 13．函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值與最小值分別為　　　?。? 答案：3， 14．若，，且，則的值為　　　　． 答案： 15．用火柴棒按下圖的方法搭三角形： 按圖示的規(guī)律搭下去，則所用火柴棒數(shù)與所搭三角形的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系式可以是　　　． 答案： 16．物體的運(yùn)動(dòng)速度與時(shí)間之間的關(guān)系為（的單位是m/s，的單位是s），物體的運(yùn)動(dòng)速度與時(shí)間之間的關(guān)系為，兩個(gè)物體在相距為405m的同一直線上同時(shí)相向運(yùn)動(dòng)．則它們相遇時(shí)，物體的運(yùn)動(dòng)路程為　　　　?。? 答案：72m 三、解答題 17．已知復(fù)數(shù)，滿足，且為純虛數(shù)，求證：為實(shí)數(shù)． 證明：由，得， 即，那么， 由于，為純虛數(shù)，可設(shè)， 所以，從而， 故為實(shí)數(shù)． 18．用總長(zhǎng)14.8的鋼條做一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架，如果所做容器的底面的一邊長(zhǎng)比另一邊長(zhǎng)多0.5m，那么高是多少時(shí)容器的容積最大？并求出它的最大容積． 解：設(shè)該容器底面矩形的短邊長(zhǎng)為cm，則另一邊長(zhǎng)為m，此容器的高為， 于是，此容器的容積為：，其中， 即，得，（舍去）， 因?yàn)?，在?nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，且時(shí)，，函數(shù)遞增； 時(shí)，，函數(shù)遞減； 所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值， 即當(dāng)高為1.2m時(shí)，長(zhǎng)方體容器的空積最大，最大容積為． 19．如圖所示，已知直線與不共面，直線，直線，又平面，平面，平面，求證：三點(diǎn)不共線． 證明：用反證法，假設(shè)三點(diǎn)共線于直線， ，． ，與可確定一個(gè)平面． ，． 又，，同理， 直線，共面，與，不共面矛盾． 所以三點(diǎn)不共線． 20．已知函數(shù)在上是減函數(shù)，求的取值范圍． 解：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：． （1）當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)． 且． 所以，當(dāng)時(shí)，由，知是減函數(shù)； （2）當(dāng)時(shí)，， 由函數(shù)在上的單調(diào)性，可知當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)； （3）當(dāng)時(shí)，在上存在使的區(qū)間， 所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)不是減函數(shù)． 綜上，所求的取值范圍是． 21．若，觀察下列不等式：，，，請(qǐng)你猜測(cè)滿足的不等式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明． 解：滿足的不等式為，證明如下： 1．當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立； 2．假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即 ． 顯然，當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立． 22．設(shè)曲線過點(diǎn)，． （1）用表示曲線與軸所圍成的圖形面積； （2）求的最小值． 解：（1）曲線過點(diǎn)及，故有， 于是且，令，即，得， 記，，由曲線關(guān)于軸對(duì)稱， 有 ． （2），令， 則． 令，得或（舍去）． 又時(shí)，； 時(shí)，． 所以，當(dāng)時(shí)，有最小值，此時(shí)有最小值． 高中新課標(biāo)數(shù)學(xué)選修（2-2）綜合測(cè)試題 一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的） 1．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 （ ） （A） （B） （C） （D） 2．下列說法正確的是 （ ） （A）當(dāng)時(shí)，為的極大值 （B）當(dāng)時(shí)，為的極小值 （C）當(dāng)時(shí)，為的極值 （D）當(dāng)為的極值時(shí)， 3．如果是的共軛復(fù)數(shù)，則對(duì)應(yīng)的向量的模是 （ ） （A）1 （B） （C） （D）5 4．若函數(shù)的遞減區(qū)間為，則的取值范圍是 （ ） （A） （B） （C） （D） 5．下列四條曲線（直線）所圍成的區(qū)域的面積是 （ ） (1);(2) ; (3);(4) (A) (B) (C)0 (D) 6．由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，叫 （ ） （A）合情推理 （B）演繹推理 （C）類比推理 （D）歸納推理 7．復(fù)數(shù)與的積是實(shí)數(shù)的充要條件是 （ ） （A） （B） （C） （D） 8．已知函數(shù)，那么是 （ ） （A）僅有最小值的奇函數(shù) （B）既有最大值又有最小值的偶函數(shù) （C）僅有最大值的偶函數(shù) （D）非奇非偶函數(shù) 9．用邊長(zhǎng)為48厘米的正方形鐵皮做一個(gè)無蓋的鐵盒時(shí)，在鐵皮的四角各截去一個(gè)面積相等的小正方形，然后把四邊折起，就能焊成鐵盒。當(dāng)所做的鐵盒的容積最大時(shí)，在四角截去的正方形的邊長(zhǎng)為 （ ） （A）12 （B）10 （C）8 （D）6 10．用數(shù)學(xué)歸納法證明：，在驗(yàn)證n＝1時(shí)，左端計(jì)算所得的式子是 （ ） （A）1 （B）1+a （C） （D） 11．給出下列四個(gè)命題：（1）任一兩個(gè)復(fù)數(shù)都不能比較大??；（2）為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù)（3）虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)；（4）復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)的向量所成的集合是一一對(duì)應(yīng)的。 其中正確命題的個(gè)數(shù)是 （ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 12．用數(shù)學(xué)歸納法證明：，由到，不等式左端變化的是 （ ） （A）增加一項(xiàng) （B）增加和兩項(xiàng) （C）增加和兩項(xiàng)，同時(shí)減少一項(xiàng) （D）增加一項(xiàng)，同時(shí)減少一項(xiàng) 二、填空題：（每小題4分，四小題共16分） 13．已知（為常數(shù)），則 ； 14．在數(shù)列中，， ，則 ； 15．已知：△ABC中，AD⊥BC于D,三邊分別是a，b，c，則有；類比上述結(jié)論，寫出下列條件下的結(jié)論：四面體P-ABC中，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面積分別是，二面角的度數(shù)分別是，則 ； 16．對(duì)于函數(shù)定義域中任意的()，有如下結(jié)論： （1）；（2）； （3）；（4）；試分別寫出對(duì)應(yīng)上述一個(gè)結(jié)論成立的四個(gè)函數(shù)： 適合結(jié)論（1） ； 適合結(jié)論（2） ； 適合結(jié)論（3） ； 適合結(jié)論（4） 。 三、解答題（17－19，21題，每題12分；20，22題，每題14分；共76分） 17．求過點(diǎn)（1，2）且與曲線相切的直線方程。 18．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是,且。 （1）求的值；（2）若，求的最大值。 19．半徑為的球的內(nèi)接圓柱，問圓柱的底半徑與高多大，才能使圓柱的體積最大。 20．在數(shù)列中，，且前n項(xiàng)的算術(shù)平均數(shù)等于第n項(xiàng)的2n－1倍（）。 （1）寫出此數(shù)列的前5項(xiàng)；（2）歸納猜想的通項(xiàng)公式，并加以證明。 x y Ｏ 21題 21．求由拋物線與它在點(diǎn)A（0，－3）和點(diǎn)B(3，0)的切線所圍成的區(qū)域的面積。 22．已知函數(shù)，。 （1） 若，且函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求的取值范圍； （2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的取值范圍。 以下為參考答案 高中新課標(biāo)數(shù)學(xué)選修（2-2）綜合測(cè)試題參考答案 一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的） 1．解析： 故選B 2．反例：，，但=0既不是極大值也不是極小值， 故選D 3．解析：，所以， 故選D 4．解析：，令，則，當(dāng)時(shí)，不合題意；當(dāng)時(shí)，，， 故選A 5．解析：故選A 6．解析：概念題 選D 7．解析： 選C 8．解析： 故選B 9．解析：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為x厘米，則 令 故選C 10．解析：n＝1時(shí)，左端最后一項(xiàng)為，所以左端的式子是 故選C 11．解析：（1）兩個(gè)實(shí)數(shù)可以比較大小，（2）為實(shí)數(shù)，可以為純虛數(shù)；（3）原點(diǎn)，（4）正確， 故選A 12．解析：當(dāng)時(shí)，左端=； 當(dāng)時(shí)，左端= 顯然選C 二、填空題：（每小題4分，四小題共16分） 13．解析：，故填 ； 14．解析：，，，所以 也可以用歸納法。 故填 15．解析：作面ABC于D,連結(jié)DA,DB，可得，同理可得：，所以， 故填 16．解析：（1）；（2）；（3）（4） 三、解答題（17－19，21題，每題12分；20，22題，每題14分；共76分） 17．解析：因?yàn)辄c(diǎn)（1，2）不在曲線上，所以設(shè)所求切線與的切點(diǎn)為，則，所以切線方程為， 代入，即，得，， 所以，即，或 所求的切線方程為或 18．解析：（1） （2）由余弦定理得，所以 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最大值為。 19．解析：設(shè)球的內(nèi)接圓柱的底半徑為，則其高為，所以圓柱的體積是， + 0 － 極大值 令，則， ，列表： 所以函數(shù)在時(shí)取得最大值，此時(shí)，即當(dāng)圓柱的底半徑為，高為時(shí)，圓柱的體積最大，是。 20．解析：（1）由已知，，分別取，得： ， ， ， 所以數(shù)列的前5項(xiàng)是：，，，， （2）由（1）中的分析可以猜想。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)n=1時(shí)，公式顯然成立。②假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，即，那么由已知，得， 即 所以 即，又歸納假設(shè)，得： 所以，即當(dāng)時(shí)，公式也成立 由①，②，對(duì)一切，都有成立。 x y Ｏ 21．解析：，，所以過點(diǎn)A（0，－3）和點(diǎn)B(3，0)的切線方程分別是，兩條切線的交點(diǎn)是（），圍成的區(qū)域如圖所示：區(qū)域被直線分成了兩部分，分別計(jì)算再相加，得： 即所求區(qū)域的面積是。 22．解析：（１）時(shí)，，則 因?yàn)楹瘮?shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以有解，即，又因?yàn)椋? 則的解。①當(dāng)時(shí)，為開口向上的拋物線，的解；②當(dāng)時(shí)，為開口向下的拋物線，的解，所以，且方程至少有一個(gè)正根，所以。綜上可知，得取值范圍是。 （2）時(shí)，，， 令，則，所以 ＋ ０ － 極大值 列表： 所以當(dāng)時(shí)，取的最大值 又當(dāng)時(shí)， 所以的取值范圍是。 14