高中數(shù)學(xué)必修5同步練習(xí)與單元測試第一章 解三角形

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第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理11.1正弦定理(一)課時目標(biāo)1熟記正弦定理的內(nèi)容；2能夠初步運(yùn)用正弦定理解斜三角形1在ABC中，ABC，.2在RtABC中，C，則sin_A，sin_B.3一般地，把三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形4正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即，這個比值是三角形外接圓的直徑2R.一、選擇題1在ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若ABC123，則abc等于()A123 B234C345 D12答案D2若ABC中，a4，A45，B60，則邊b的值為()A.1 B21C2 D22答案C解析由正弦定理，得，b2.3在ABC中，sin2Asin2Bsin2C，則ABC為()A直角三角形 B等腰直角三角形C等邊三角形 D等腰三角形答案A解析sin2Asin2Bsin2C(2R)2sin2A(2R)2sin2B(2R)2sin2C，即a2b2c2，由勾股定理的逆定理得ABC為直角三角形4在ABC中，若sin Asin B，則角A與角B的大小關(guān)系為()AAB BAsin B2Rsin A2Rsin BabAB.5在ABC中，A60，a，b，則B等于()A45或135 B60C45 D135答案C解析由得sin B.ab，AB，B60B45.6在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，如果ca，B30，那么角C等于()A120 B105 C90 D75答案A解析ca，sin Csin Asin(18030C)sin(30C)，即sin Ccos C.tan C.又C(0，180)，C120.二、填空題7在ABC中，AC，BC2，B60，則C_.答案75解析由正弦定理得，sin A.BC2AC，A為銳角A45.C75.8在ABC中，若tan A，C150，BC1，則AB_.答案解析tan A，A(0，180)，sin A.由正弦定理知，AB.9在ABC中，b1，c，C，則a_.答案1解析由正弦定理，得，sin B.C為鈍角，B必為銳角，B，A.ab1.10在ABC中，已知a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，若b2a，BA60，則A_.答案30解析b2asin B2sin A，又BA60，sin(A60)2sin A即sin Acos 60cos Asin 602sin A，化簡得：sin Acos A，tan A，A30.三、解答題11在ABC中，已知a2，A30，B45，解三角形解，b4.C180(AB)180(3045)105，c22.12在ABC中，已知a2，b6，A30，解三角形解a2，b6，ab，A30bsin A，所以本題有兩解，由正弦定理得：sin B，故B60或120.當(dāng)B60時，C90，c4；當(dāng)B120時，C30，ca2.所以B60，C90，c4或B120，C30，c2.能力提升13在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c若a，b2，sin Bcos B，則角A的大小為_答案解析sin Bcos Bsin(B).sin(B)1.又0B，B.由正弦定理，得sin A.又ab，AB，A.14在銳角三角形ABC中，A2B，a，b，c所對的角分別為A，B，C，求的取值范圍解在銳角三角形ABC中，A，B，C90，即30B45.由正弦定理知：2cos B(，)，故的取值范圍是(，)1利用正弦定理可以解決兩類有關(guān)三角形的問題：(1)已知兩角和任一邊，求其它兩邊和一角(2)已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和兩角2已知兩邊和其中一邊的對角，求第三邊和其它兩個角，這時三角形解的情況比較復(fù)雜，可能無解，可能一解或兩解例如：已知a、b和A，用正弦定理求B時的各種情況.A為銳角absin Aabsin Absin Aab無解一解(銳角)1.1.1正弦定理(二)課時目標(biāo)1熟記正弦定理的有關(guān)變形公式；2能夠運(yùn)用正弦定理進(jìn)行簡單的推理與證明1正弦定理：2R的常見變形：(1)sin Asin Bsin Cabc；(2)2R；(3)a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(4)sin A，sin B，sin C.2三角形面積公式：Sabsin Cbcsin Acasin B.一、選擇題1在ABC中，sin Asin B，則ABC是()A直角三角形 B銳角三角形C鈍角三角形 D等腰三角形答案D2在ABC中，若，則ABC是()A直角三角形 B等邊三角形C鈍角三角形 D等腰直角三角形答案B解析由正弦定理知：，tan Atan Btan C，ABC.3在ABC中，sin A，a10，則邊長c的取值范圍是()A. B(10，)C(0,10) D.答案D解析，csin C.00)，則，解得.sin Asin Bsin Cabc753.6已知三角形面積為，外接圓面積為，則這個三角形的三邊之積為()A1 B2C. D4答案A解析設(shè)三角形外接圓半徑為R，則由R2，得R1，由Sabsin C，abc1.二、填空題7在ABC中，已知a3，cos C，SABC4，則b_.答案2解析cos C，sin C，absin C4，b2.8在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知A60，a，b1，則c_.答案2解析由正弦定理，得，sin B，故B30或150.由ab，得AB，B30，故C90，由勾股定理得c2.9在單位圓上有三點(diǎn)A，B，C，設(shè)ABC三邊長分別為a，b，c，則_.答案7解析ABC的外接圓直徑為2R2，2R2，2147.10在ABC中，A60，a6，b12，SABC18，則_，c_.答案126解析12.SABCabsin C612sin C18，sin C，12，c6.三、解答題11在ABC中，求證：.證明因?yàn)樵贏BC中，2R，所以左邊右邊所以等式成立，即.12在ABC中，已知a2tan Bb2tan A，試判斷ABC的形狀解設(shè)三角形外接圓半徑為R，則a2tan Bb2tan Asin Acos Asin Bcos Bsin 2Asin 2B2A2B或2A2BAB或AB.ABC為等腰三角形或直角三角形能力提升13在ABC中，B60，最大邊與最小邊之比為(1)2，則最大角為()A45 B60 C75 D90答案C解析設(shè)C為最大角，則A為最小角，則AC120，tan A1，A45，C75.14在ABC中，a，b，c分別是三個內(nèi)角A，B，C的對邊，若a2，C，cos ，求ABC的面積S.解cos B2cos2 1，故B為銳角，sin B.所以sin Asin(BC)sin.由正弦定理得c，所以SABCacsin B2.1在ABC中，有以下結(jié)論：(1)ABC；(2)sin(AB)sin C，cos(AB)cos C；(3)；(4)sin cos ，cos sin ，tan .2借助正弦定理可以進(jìn)行三角形中邊角關(guān)系的互化，從而進(jìn)行三角形形狀的判斷、三角恒等式的證明11.2余弦定理(一)課時目標(biāo)1熟記余弦定理及其推論；2能夠初步運(yùn)用余弦定理解斜三角形1余弦定理三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍即a2b2c22bccos_A，b2c2a22cacos_B，c2a2b22abcos_C.2余弦定理的推論cos A；cos B；cos C.3在ABC中：(1)若a2b2c20，則C90；(2)若c2a2b2ab，則C60；(3)若c2a2b2ab，則C135.一、選擇題1在ABC中，已知a1，b2，C60，則c等于()A. B3C. D5答案A2在ABC中，a7，b4，c，則ABC的最小角為()A. B.C. D.答案B解析abc，C為最小角，由余弦定理cos C.C.3在ABC中，已知a2，則bcos Cccos B等于()A1 B. C2 D4答案C解析bcos Cccos Bbca2.4在ABC中，已知b2ac且c2a，則cos B等于()A. B. C. D.答案B解析b2ac，c2a，b22a2，ba，cos B.5在ABC中，sin2 (a，b，c分別為角A，B，C的對應(yīng)邊)，則ABC的形狀為()A正三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰三角形答案B解析sin2，cos Aa2b2c2，符合勾股定理故ABC為直角三角形6在ABC中，已知面積S(a2b2c2)，則角C的度數(shù)為()A135 B45 C60 D120答案B解析S(a2b2c2)absin C，a2b2c22absin C，c2a2b22absin C.由余弦定理得：c2a2b22abcos C，sin Ccos C，C45 .二、填空題7在ABC中，若a2b2c2bc，則A_.答案1208ABC中，已知a2，b4，C60，則A_.答案30解析c2a2b22abcos C2242224cos 6012c2.由正弦定理：得sin A.ac，A0，b0)，則最大角為_答案120解析易知：a，b，設(shè)最大角為，則cos ，120.10在ABC中，BC1，B，當(dāng)ABC的面積等于時，tan C_.答案2解析SABCacsin B，c4.由余弦定理得，b2a2c22accos B13，cos C，sin C，tan C2.三、解答題11在ABC中，已知CB7，AC8，AB9，試求AC邊上的中線長解由條件知：cos A，設(shè)中線長為x，由余弦定理知：x22AB22ABcos A429224949x7.所以，所求中線長為7.12在ABC中，BCa，ACb，且a，b是方程x22x20的兩根，2cos(AB)1.(1)求角C的度數(shù)；(2)求AB的長；(3)求ABC的面積解(1)cos Ccos(AB)cos(AB)，又C(0，180)，C120.(2)a，b是方程x22x20的兩根，AB2b2a22abcos 120(ab)2ab10，AB.(3)SABCabsin C.能力提升13(2010濰坊一模)在ABC中，AB2，AC，BC1，AD為邊BC上的高，則AD的長是_答案解析cos C，sin C.ADACsin C.14在ABC中，acos Abcos Bccos C，試判斷三角形的形狀解由余弦定理知cos A，cos B，cos C，代入已知條件得abc0，通分得a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)c2(c2a2b2)0，展開整理得(a2b2)2c4.a2b2c2，即a2b2c2或b2a2c2.根據(jù)勾股定理知ABC是直角三角形1利用余弦定理可以解決兩類有關(guān)三角形的問題：(1)已知兩邊和夾角，解三角形(2)已知三邊求三角形的任意一角2余弦定理與勾股定理余弦定理可以看作是勾股定理的推廣，勾股定理可以看作是余弦定理的特例11.2余弦定理(二)課時目標(biāo)1熟練掌握正弦定理、余弦定理；2會用正、余弦定理解三角形的有關(guān)問題1正弦定理及其變形(1)2R.(2)a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C.(3)sin A，sin B，sin C.(4)sin Asin Bsin Cabc.2余弦定理及其推論(1)a2b2c22bccos_A.(2)cos A.(3)在ABC中，c2a2b2C為直角；c2a2b2C為鈍角；c2b Ba0，a2b2，ab.6如果將直角三角形的三邊增加同樣的長度，則新三角形的形狀是()A銳角三角形 B直角三角形C鈍角三角形 D由增加的長度確定答案A解析設(shè)直角三角形三邊長為a，b，c，且a2b2c2，則(ax)2(bx)2(cx)2a2b22x22(ab)xc22cxx22(abc)xx20，cx所對的最大角變?yōu)殇J角二、填空題7在ABC中，邊a，b的長是方程x25x20的兩個根，C60，則邊c_.答案解析由題意：ab5，ab2.由余弦定理得：c2a2b22abcos Ca2b2ab(ab)23ab523219，c.8設(shè)2a1，a,2a1為鈍角三角形的三邊，那么a的取值范圍是_答案2a0，a，最大邊為2a1.三角形為鈍角三角形，a2(2a1)2(2a1)2，化簡得：0a2a1，a2，2a8.9已知ABC的面積為2，BC5，A60，則ABC的周長是_答案12解析SABCABACsin AABACsin 602，ABAC8，BC2AB2AC22ABACcos AAB2AC2ABAC(ABAC)23ABAC，(ABAC)2BC23ABAC49，ABAC7，ABC的周長為12.10在ABC中，A60，b1，SABC，則ABC外接圓的面積是_答案解析SABCbcsin Ac，c4，由余弦定理：a2b2c22bccos A1242214cos 6013，a.2R，R.S外接圓R2.三、解答題11在ABC中，求證：.證明右邊cos Bcos A左邊所以.12.在ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊的長，cosB =，且21.(1)求ABC的面積；(2)若a7，求角C.解 （1）21，=21. = |cosB = accosB = 21.ac=35，cosB = ，sinB = .SABC = acsinB = 35 = 14. (2)ac35，a7，c5.由余弦定理得，b2a2c22accos B32，b4.由正弦定理：.sin Csin B.cb且B為銳角，C一定是銳角C45.能力提升13已知ABC中，AB1，BC2，則角C的取值范圍是()A0C B0CC.C D.C答案A解析方法一(應(yīng)用正弦定理)，sin Csin A，0sin A1，0sin C.ABBC，CA，C為銳角，0C.方法二(應(yīng)用數(shù)形結(jié)合)如圖所示，以B為圓心，以1為半徑畫圓，則圓上除了直線BC上的點(diǎn)外，都可作為A點(diǎn)從點(diǎn)C向圓B作切線，設(shè)切點(diǎn)為A1和A2，當(dāng)A與A1、A2重合時，角C最大，易知此時：BC2，AB1，ACAB，C，0 BC0，則SABACsin A10k210.k1，AB8，AC5，由余弦定理：BC2AB2AC22ABACcos A825228549.BC7，周長為：ABBCCA20.9已知等腰三角形的底邊長為6，一腰長為12，則它的內(nèi)切圓面積為_答案解析不妨設(shè)三角形三邊為a，b，c且a6，bc12，由余弦定理得：cos A，sin A .由(abc)rbcsin A得r.S內(nèi)切圓r2.10某艦艇在A處測得遇險漁船在北偏東45，距離為10 n mile的C處，此時得知，該漁船沿北偏東105方向，以每小時9 n mile的速度向一小島靠近，艦艇時速21 n mile，則艦艇到達(dá)漁船的最短時間是_小時答案解析設(shè)艦艇和漁船在B處相遇，則在ABC中，由已知可得：ACB120，設(shè)艦艇到達(dá)漁船的最短時間為t，則AB21t，BC9t，AC10，則(21t)2(9t)21002109tcos 120，解得t或t(舍)三、解答題11如圖所示，在山頂鐵塔上B處測得地面上一點(diǎn)A的俯角為，在塔底C處測得A處的俯角為.已知鐵塔BC部分的高為h，求山高CD.解在ABC中，BCA90，ABC90，BAC，CAD.根據(jù)正弦定理得：，即，AC.在RtACD中，CDACsinCADACsin .即山高CD為.12已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長AB2，BC6，CDDA4，求圓內(nèi)接四邊形ABCD的面積解連接BD，則四邊形面積SSABDSCBDABADsin ABCCDsin C.AC180，sin Asin C.S(ABADBCCD)sin A16sin A.由余弦定理：在ABD中，BD22242224cos A2016cos A，在CDB中，BD24262246cos C5248cos C，2016cos A5248cos C.又cos Ccos A，cos A.A120.四邊形ABCD的面積S16sin A8.能力提升13如圖所示，為了解某海域海底構(gòu)造，在海平面內(nèi)一條直線上的A、B、C三點(diǎn)進(jìn)行測量已知AB50 m，BC120 m，于A處測得水深A(yù)D80 m，于B處測得水深BE200 m，于C處測得水深CF110 m，求DEF的余弦值解作DMAC交BE于N，交CF于M.DF10(m)，DE130(m)，EF150(m)在DEF中，由余弦定理的變形公式，得cosDEF.即DEF的余弦值為.14江岸邊有一炮臺高30 m，江中有兩條船，由炮臺頂部測得俯角分別為45和30，而且兩條船與炮臺底部連成30角，求兩條船之間的距離解如圖所示：CBD30，ADB30，ACB45AB30，BC30，BD30.在BCD中，CD2BC2BD22BCBDcos 30900，CD30，即兩船相距30 m.1測量底部不可到達(dá)的建筑物的高度問題由于底部不可到達(dá)，這類問題不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理和余弦定理，計算出建筑物頂部到一個可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題2測量角度就是在三角形內(nèi)利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根據(jù)需要求出所求的角第一章 解三角形 復(fù)習(xí)課課時目標(biāo)1掌握正弦定理、余弦定理的內(nèi)容，并能解決一些簡單的三角形度量問題2能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實(shí)際問題一、選擇題1在ABC中，A60，a4，b4，則B等于()A45或135 B135C45 D以上答案都不對答案C解析sin Bb，且bsin Asin B，則ABC是()A銳角三角形 B直角三角形C鈍角三角形 D等腰三角形答案C解析cos Acos Bsin Asin Bcos(AB)0，AB90，C為鈍角3已知ABC中，sin Asin Bsin Ck(k1)2k，則k的取值范圍是()A(2，) B(，0)C. D.答案D解析由正弦定理得：amk，bm(k1)，c2mk(m0)，即，k.4如圖所示，D、C、B三點(diǎn)在地面同一直線上，DCa，從C、D兩點(diǎn)測得A點(diǎn)的仰角分別是、()則A點(diǎn)離地面的高AB等于()A. B.C. D.答案A解析設(shè)ABh，則AD，在ACD中，CAD，.，h.5在ABC中，A60，AC16，面積為220，那么BC的長度為()A25 B51 C49 D49答案D解析SABCACABsin 6016AB220，AB55.BC2AB2AC22ABACcos 60552162216552 401.BC49.6(2010天津)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c.若a2b2bc，sin C2sin B，則A等于()A30 B60C120 D150答案A解析由sin C2sin B，根據(jù)正弦定理，得c2b，把它代入a2b2bc得a2b26b2，即a27b2.由余弦定理，得cos A.又0A1，不合題意設(shè)夾角為，則cos ，得sin ，S356 (cm2)8在ABC中，A60，b1，SABC，則_.答案解析由Sbcsin A1c，c4.a.9在ABC中，ax，b2，B45，若三角形有兩解，則x的取值范圍是_答案2x2解析因?yàn)槿切斡袃山?，所以asin Bba，即x2x，2x2.10一艘船以20 km/h的速度向正北航行，船在A處看見燈塔B在船的東北方向，1 h后船在C處看見燈塔B在船的北偏東75的方向上，這時船與燈塔的距離BC等于_km.答案20解析如圖所示，BCsin 4520 (km)三、解答題11在ABC中，已知(abc)(bca)3bc，且sin A2sin Bcos C，試確定ABC的形狀解由(abc)(bca)3bc，得b22bcc2a23bc，即a2b2c2bc，cos A，A.又sin A2sin Bcos Ca2b，