高中數(shù)學必修5同步練習與單元測試第一章 解三角形

第一章解三角形§1.1正弦定理和余弦定理11.1正弦定理(一)課時目標1熟記正弦定理的內(nèi)容；2能夠初步運用正弦定理解斜三角形1在ABC中，ABC，.2在RtABC中，C，則sin_A，sin_B.3一般地，把三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形4正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即，這個比值是三角形外接圓的直徑2R.一、選擇題1在ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若ABC123，則abc等于()A123 B234C345 D12答案D2若ABC中，a4，A45°，B60°，則邊b的值為()A.1 B21C2 D22答案C解析由正弦定理，得，b2.3在ABC中，sin2Asin2Bsin2C，則ABC為()A直角三角形 B等腰直角三角形C等邊三角形 D等腰三角形答案A解析sin2Asin2Bsin2C(2R)2sin2A(2R)2sin2B(2R)2sin2C，即a2b2c2，由勾股定理的逆定理得ABC為直角三角形4在ABC中，若sin A>sin B，則角A與角B的大小關系為()AA>B BA<BCAB DA，B的大小關系不能確定答案A解析由sin A>sin B2Rsin A>2Rsin Ba>bA>B.5在ABC中，A60°，a，b，則B等于()A45°或135° B60°C45° D135°答案C解析由得sin B.a>b，A>B，B<60°B45°.6在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，如果ca，B30°，那么角C等于()A120° B105° C90° D75°答案A解析ca，sin Csin Asin(180°30°C)sin(30°C)，即sin Ccos C.tan C.又C(0°，180°)，C120°.二、填空題7在ABC中，AC，BC2，B60°，則C_.答案75°解析由正弦定理得，sin A.BC2<AC，A為銳角A45°.C75°.8在ABC中，若tan A，C150°，BC1，則AB_.答案解析tan A，A(0°，180°)，sin A.由正弦定理知，AB.9在ABC中，b1，c，C，則a_.答案1解析由正弦定理，得，sin B.C為鈍角，B必為銳角，B，A.ab1.10在ABC中，已知a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，若b2a，BA60°，則A_.答案30°解析b2asin B2sin A，又BA60°，sin(A60°)2sin A即sin Acos 60°cos Asin 60°2sin A，化簡得：sin Acos A，tan A，A30°.三、解答題11在ABC中，已知a2，A30°，B45°，解三角形解，b4.C180°(AB)180°(30°45°)105°，c22.12在ABC中，已知a2，b6，A30°，解三角形解a2，b6，a<b，A30°<90°.又因為bsin A6sin 30°3，a>bsin A，所以本題有兩解，由正弦定理得：sin B，故B60°或120°.當B60°時，C90°，c4；當B120°時，C30°，ca2.所以B60°，C90°，c4或B120°，C30°，c2.能力提升13在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c若a，b2，sin Bcos B，則角A的大小為_答案解析sin Bcos Bsin(B).sin(B)1.又0<B<，B.由正弦定理，得sin A.又a<b，A<B，A.14在銳角三角形ABC中，A2B，a，b，c所對的角分別為A，B，C，求的取值范圍解在銳角三角形ABC中，A，B，C<90°，即30°<B<45°.由正弦定理知：2cos B(，)，故的取值范圍是(，)1利用正弦定理可以解決兩類有關三角形的問題：(1)已知兩角和任一邊，求其它兩邊和一角(2)已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和兩角2已知兩邊和其中一邊的對角，求第三邊和其它兩個角，這時三角形解的情況比較復雜，可能無解，可能一解或兩解例如：已知a、b和A，用正弦定理求B時的各種情況.A為銳角a<bsin Aabsin Absin A<a<bab無解一解(直角)兩解(一銳角，一鈍角)一解(銳角)A為直角或鈍角aba>b無解一解(銳角)1.1.1正弦定理(二)課時目標1熟記正弦定理的有關變形公式；2能夠運用正弦定理進行簡單的推理與證明1正弦定理：2R的常見變形：(1)sin Asin Bsin Cabc；(2)2R；(3)a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(4)sin A，sin B，sin C.2三角形面積公式：Sabsin Cbcsin Acasin B.一、選擇題1在ABC中，sin Asin B，則ABC是()A直角三角形 B銳角三角形C鈍角三角形 D等腰三角形答案D2在ABC中，若，則ABC是()A直角三角形 B等邊三角形C鈍角三角形 D等腰直角三角形答案B解析由正弦定理知：，tan Atan Btan C，ABC.3在ABC中，sin A，a10，則邊長c的取值范圍是()A. B(10，)C(0,10) D.答案D解析，csin C.0<c.4在ABC中，a2bcos C，則這個三角形一定是()A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形答案A解析由a2bcos C得，sin A2sin Bcos C，sin(BC)2sin Bcos C，sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos C，sin(BC)0，BC.5在ABC中，已知(bc)(ca)(ab)456，則sin Asin Bsin C等于()A654 B753C357 D456答案B解析(bc)(ca)(ab)456，.令k (k>0)，則，解得.sin Asin Bsin Cabc753.6已知三角形面積為，外接圓面積為，則這個三角形的三邊之積為()A1 B2C. D4答案A解析設三角形外接圓半徑為R，則由R2，得R1，由Sabsin C，abc1.二、填空題7在ABC中，已知a3，cos C，SABC4，則b_.答案2解析cos C，sin C，absin C4，b2.8在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知A60°，a，b1，則c_.答案2解析由正弦定理，得，sin B，故B30°或150°.由a>b，得A>B，B30°，故C90°，由勾股定理得c2.9在單位圓上有三點A，B，C，設ABC三邊長分別為a，b，c，則_.答案7解析ABC的外接圓直徑為2R2，2R2，2147.10在ABC中，A60°，a6，b12，SABC18，則_，c_.答案126解析12.SABCabsin C×6×12sin C18，sin C，12，c6.三、解答題11在ABC中，求證：.證明因為在ABC中，2R，所以左邊右邊所以等式成立，即.12在ABC中，已知a2tan Bb2tan A，試判斷ABC的形狀解設三角形外接圓半徑為R，則a2tan Bb2tan Asin Acos Asin Bcos Bsin 2Asin 2B2A2B或2A2BAB或AB.ABC為等腰三角形或直角三角形能力提升13在ABC中，B60°，最大邊與最小邊之比為(1)2，則最大角為()A45° B60° C75° D90°答案C解析設C為最大角，則A為最小角，則AC120°，tan A1，A45°，C75°.14在ABC中，a，b，c分別是三個內(nèi)角A，B，C的對邊，若a2，C，cos ，求ABC的面積S.解cos B2cos2 1，故B為銳角，sin B.所以sin Asin(BC)sin.由正弦定理得c，所以SABCacsin B×2××.1在ABC中，有以下結(jié)論：(1)ABC；(2)sin(AB)sin C，cos(AB)cos C；(3)；(4)sin cos ，cos sin ，tan .2借助正弦定理可以進行三角形中邊角關系的互化，從而進行三角形形狀的判斷、三角恒等式的證明11.2余弦定理(一)課時目標1熟記余弦定理及其推論；2能夠初步運用余弦定理解斜三角形1余弦定理三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍即a2b2c22bccos_A，b2c2a22cacos_B，c2a2b22abcos_C.2余弦定理的推論cos A；cos B；cos C.3在ABC中：(1)若a2b2c20，則C90°；(2)若c2a2b2ab，則C60°；(3)若c2a2b2ab，則C135°.一、選擇題1在ABC中，已知a1，b2，C60°，則c等于()A. B3C. D5答案A2在ABC中，a7，b4，c，則ABC的最小角為()A. B.C. D.答案B解析a>b>c，C為最小角，由余弦定理cos C.C.3在ABC中，已知a2，則bcos Cccos B等于()A1 B. C2 D4答案C解析bcos Cccos Bb·c·a2.4在ABC中，已知b2ac且c2a，則cos B等于()A. B. C. D.答案B解析b2ac，c2a，b22a2，ba，cos B.5在ABC中，sin2 (a，b，c分別為角A，B，C的對應邊)，則ABC的形狀為()A正三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰三角形答案B解析sin2，cos Aa2b2c2，符合勾股定理故ABC為直角三角形6在ABC中，已知面積S(a2b2c2)，則角C的度數(shù)為()A135° B45° C60° D120°答案B解析S(a2b2c2)absin C，a2b2c22absin C，c2a2b22absin C.由余弦定理得：c2a2b22abcos C，sin Ccos C，C45° .二、填空題7在ABC中，若a2b2c2bc，則A_.答案120°8ABC中，已知a2，b4，C60°，則A_.答案30°解析c2a2b22abcos C22422×2×4×cos 60°12c2.由正弦定理：得sin A.a<c，A<60°，A30°.9三角形三邊長為a，b， (a>0，b>0)，則最大角為_答案120°解析易知：>a，>b，設最大角為，則cos ，120°.10在ABC中，BC1，B，當ABC的面積等于時，tan C_.答案2解析SABCacsin B，c4.由余弦定理得，b2a2c22accos B13，cos C，sin C，tan C2.三、解答題11在ABC中，已知CB7，AC8，AB9，試求AC邊上的中線長解由條件知：cos A，設中線長為x，由余弦定理知：x22AB22··ABcos A42922×4×9×49x7.所以，所求中線長為7.12在ABC中，BCa，ACb，且a，b是方程x22x20的兩根，2cos(AB)1.(1)求角C的度數(shù)；(2)求AB的長；(3)求ABC的面積解(1)cos Ccos(AB)cos(AB)，又C(0°，180°)，C120°.(2)a，b是方程x22x20的兩根，AB2b2a22abcos 120°(ab)2ab10，AB.(3)SABCabsin C.能力提升13(2010·濰坊一模)在ABC中，AB2，AC，BC1，AD為邊BC上的高，則AD的長是_答案解析cos C，sin C.ADAC·sin C.14在ABC中，acos Abcos Bccos C，試判斷三角形的形狀解由余弦定理知cos A，cos B，cos C，代入已知條件得a·b·c·0，通分得a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)c2(c2a2b2)0，展開整理得(a2b2)2c4.a2b2±c2，即a2b2c2或b2a2c2.根據(jù)勾股定理知ABC是直角三角形1利用余弦定理可以解決兩類有關三角形的問題：(1)已知兩邊和夾角，解三角形(2)已知三邊求三角形的任意一角2余弦定理與勾股定理余弦定理可以看作是勾股定理的推廣，勾股定理可以看作是余弦定理的特例11.2余弦定理(二)課時目標1熟練掌握正弦定理、余弦定理；2會用正、余弦定理解三角形的有關問題1正弦定理及其變形(1)2R.(2)a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C.(3)sin A，sin B，sin C.(4)sin Asin Bsin Cabc.2余弦定理及其推論(1)a2b2c22bccos_A.(2)cos A.(3)在ABC中，c2a2b2C為直角；c2>a2b2C為鈍角；c2<a2b2C為銳角3在ABC中，邊a、b、c所對的角分別為A、B、C，則有：(1)ABC，.(2)sin(AB)sin_C，cos(AB)cos_C，tan(AB)tan_C.(3)sin cos ，cos sin .一、選擇題1已知a、b、c為ABC的三邊長，若滿足(abc)(abc)ab，則C的大小為()A60° B90°C120° D150°答案C解析(abc)(abc)ab，a2b2c2ab，即，cos C，C120°.2在ABC中，若2cos Bsin Asin C，則ABC的形狀一定是 ()A等腰直角三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等邊三角形答案C解析2cos Bsin Asin Csin(AB)，sin Acos Bcos Asin B0，即sin(AB)0，AB. 3.在ABC中，已知sin Asin Bsin C357，則這個三角形的最小外角為 ()A30° B60°C90° D120°答案B解析abcsin Asin Bsin C357，不妨設a3，b5，c7，C為最大內(nèi)角，則cos C.C120°.最小外角為60°.4ABC的三邊分別為a，b，c且滿足b2ac,2bac，則此三角形是()A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等邊三角形答案D解析2bac，4b2(ac)2，即(ac)20.ac.2bac2a.ba，即abc.5在ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，若C120°，ca，則()Aa>b Ba<bCab Da與b的大小關系不能確定答案A解析在ABC中，由余弦定理得，c2a2b22abcos 120°a2b2ab.ca，2a2a2b2ab.a2b2ab>0，a2>b2，a>b.6如果將直角三角形的三邊增加同樣的長度，則新三角形的形狀是()A銳角三角形 B直角三角形C鈍角三角形 D由增加的長度確定答案A解析設直角三角形三邊長為a，b，c，且a2b2c2，則(ax)2(bx)2(cx)2a2b22x22(ab)xc22cxx22(abc)xx2>0，cx所對的最大角變?yōu)殇J角二、填空題7在ABC中，邊a，b的長是方程x25x20的兩個根，C60°，則邊c_.答案解析由題意：ab5，ab2.由余弦定理得：c2a2b22abcos Ca2b2ab(ab)23ab523×219，c.8設2a1，a,2a1為鈍角三角形的三邊，那么a的取值范圍是_答案2<a<8解析2a1>0，a>，最大邊為2a1.三角形為鈍角三角形，a2(2a1)2<(2a1)2，化簡得：0<a<8.又a2a1>2a1，a>2，2<a<8.9已知ABC的面積為2，BC5，A60°，則ABC的周長是_答案12解析SABCAB·AC·sin AAB·AC·sin 60°2，AB·AC8，BC2AB2AC22AB·AC·cos AAB2AC2AB·AC(ABAC)23AB·AC，(ABAC)2BC23AB·AC49，ABAC7，ABC的周長為12.10在ABC中，A60°，b1，SABC，則ABC外接圓的面積是_答案解析SABCbcsin Ac，c4，由余弦定理：a2b2c22bccos A12422×1×4cos 60°13，a.2R，R.S外接圓R2.三、解答題11在ABC中，求證：.證明右邊·cos B·cos A··左邊所以.12.在ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊的長，cosB =，且·21.(1)求ABC的面積；(2)若a7，求角C.解 （1）·21，·=21.· = |·|·cosB = accosB = 21.ac=35，cosB = ，sinB = .SABC = acsinB = ×35× = 14. (2)ac35，a7，c5.由余弦定理得，b2a2c22accos B32，b4.由正弦定理：.sin Csin B×.c<b且B為銳角，C一定是銳角C45°.能力提升13已知ABC中，AB1，BC2，則角C的取值范圍是()A0<C B0<C<C.<C< D.<C答案A解析方法一(應用正弦定理)，sin Csin A，0<sin A1，0<sin C.AB<BC，C<A，C為銳角，0<C.方法二(應用數(shù)形結(jié)合)如圖所示，以B為圓心，以1為半徑畫圓，則圓上除了直線BC上的點外，都可作為A點從點C向圓B作切線，設切點為A1和A2，當A與A1、A2重合時，角C最大，易知此時：BC2，AB1，ACAB，C，0<C.14ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知b2ac且cos B.(1)求的值；（2）設· = ，求a+c的值.解(1)由cos B，得sin B.由b2ac及正弦定理得sin2 Bsin Asin C.于是.(2)由· = 得ca·cosB = 由cos B，可得ca2，即b22.由余弦定理：b2a2c22ac·cos B，得a2c2b22ac·cos B5，(ac)2a2c22ac549，ac3.1解斜三角形的常見類型及解法在三角形的6個元素中要已知三個(至少有一邊)才能求解，常見類型及其解法見下表：已知條件應用定理一般解法一邊和兩角(如a，B，C)正弦定理由ABC180°，求角A；由正弦定理求出b與c.在有解時只有一解兩邊和夾角(如a，b，C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三邊c；由正弦定理求出小邊所對的角；再由ABC180°求出另一角在有解時只有一解三邊(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A、B；再利用ABC180°，求出角C.在有一解時只有一解.兩邊和其中一邊的對角如(a，b，A)余弦定理正弦定理由正弦定理求出角B；由ABC180°，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c.可有兩解、一解或無解.2.根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑(1)化邊為角；(2)化角為邊，并常用正弦(余弦)定理實施邊、角轉(zhuǎn)換§1.2應用舉例(一)課時目標1了解數(shù)學建模的思想；2利用正、余弦定理解決生產(chǎn)實踐中的有關距離的問題1基線的定義：在測量上，我們根據(jù)測量需要適當確定的線段叫做基線一般來說，基線越長，測量的精確度越高2方位角：指從正北方向線按順時針方向旋轉(zhuǎn)到目標方向線所成的水平角如圖中的A點的方位角為.3計算不可直接測量的兩點間的距離是正弦定理和余弦定理的重要應用之一一、選擇題1若點P在點Q的北偏西45°10方向上，則點Q在點P的()A南偏西45°10 B南偏西44°50C南偏東45°10 D南偏東44°50答案C2已知兩燈塔A和B與海洋觀測站C的距離都等于a km，燈塔A在觀測站C的北偏東20°方向上，燈塔B在觀測站C的南偏東40°方向上，則燈塔A與燈塔B的距離為()Aa km B.a kmC.a km D2a km答案B解析ACB120°，ACBCa，由余弦定理得ABa.3海上有A、B兩個小島相距10 n mile，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，則B、C間的距離是()A10 n mile B. n mileC5 n mile D5 n mile答案D解析在ABC中，C180°60°75°45°.由正弦定理得：解得BC5.4如圖所示，設A、B兩點在河的兩岸，一測量者在A的同側(cè)，在A所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50 m，ACB45°，CAB105°后，就可以計算A、B兩點的距離為()A50 m B50 mC25 m D. m答案A解析由題意知ABC30°，由正弦定理，AB50 (m)5如圖，一貨輪航行到M處，測得燈塔S在貨輪的北偏東15°，與燈塔S相距20海里，隨后貨輪按北偏西30°的方向航行30分鐘后到達N處，又測得燈塔在貨輪的東北方向，則貨輪的速度為()A20() 海里/小時B20() 海里/小時C20() 海里/小時D20() 海里/小時答案B解析由題意，SMN45°，SNM105°，NSM30°.由正弦定理得.MN10()則v貨20() 海里/小時6甲船在島B的正南A處，AB10千米，甲船以每小時4千米的速度向正北航行，同時，乙船自B出發(fā)以每小時6千米的速度向北偏東60°的方向駛?cè)ギ敿住⒁覂纱嗑嘧罱鼤r，它們所航行的時間是()A. 分鐘 B. 小時C21.5 分鐘 D2.15 分鐘答案A解析設行駛x小時后甲到點C，乙到點D，兩船相距y km，則DBC180°60°120°.y2(104x)2(6x)22(104x)·6xcos 120°28x220x10028(x2x)100282100當x(小時)(分鐘)時，y2有最小值y最小二、填空題7如圖，A、B兩點間的距離為_答案38如圖，A、N兩點之間的距離為_答案409如圖所示，為了測定河的寬度，在一岸邊選定兩點A、B，望對岸標記物C，測得CAB30°，CBA75°，AB120 m，則河的寬度為_答案60 m解析在ABC中，CAB30°，CBA75°，ACB75°.ACBABC.ACAB120 m.作CDAB，垂足為D，則CD即為河的寬度由正弦定理得，CD60(m)河的寬度為60 m.10太湖中有一小島，沿太湖有一條正南方向的公路，一輛汽車測得小島在公路的南偏西15°的方向上，汽車行駛1 km后，又測得小島在南偏西75°的方向上，則小島到公路的距離是_ km.答案解析如圖，CAB15°，CBA180°75°105°，ACB180°105°15°60°，AB1 km.由正弦定理得BC·sin 15° (km)設C到直線AB的距離為d，則dBC·sin 75°· (km)三、解答題11如圖，某貨輪在A處看燈塔B在貨輪的北偏東75°，距離為12 n mile，在A處看燈塔C在貨輪的北偏西30°，距離為8 n mile，貨輪由A處向正北航行到D處時，再看燈塔B在北偏東120°方向上，求： (1)A處與D處的距離；(2)燈塔C與D處的距離解(1)在ABD中，ADB60°，B45°，由正弦定理得AD24(n mile)(2)在ADC中，由余弦定理得CD2AD2AC22AD·AC·cos 30°，解得CD814(n mile)即A處與D處的距離為24 n mile，燈塔C與D處的距離約為14 n mile.12如圖，為測量河對岸A、B兩點的距離，在河的這邊測出CD的長為km，ADBCDB30°，ACD60°，ACB45°，求A、B兩點間的距離解在BDC中，CBD180°30°105°45°，由正弦定理得，則BC(km)在ACD中，CAD180°60°60°60°，ACD為正三角形ACCD(km)在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22AC·BC·cos 45°2×××，AB(km)答河對岸A、B兩點間距離為km.能力提升13臺風中心從A地以每小時20千米的速度向東北方向移動，離臺風中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險區(qū)，城市B在A的正東40千米處，B城市處于危險區(qū)內(nèi)的持續(xù)時間為()A0.5小時 B1小時C1.5小時 D2小時答案B解析設t小時時，B市恰好處于危險區(qū)，則由余弦定理得：(20t)24022×20t×40·cos 45°302.化簡得：4t28t70，t1t22，t1·t2.從而|t1t2|1.14如圖所示，甲船以每小時30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行當甲船位于A1處時，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1處，此時兩船相距20海里當甲船航行20分鐘到達A2處時，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處，此時兩船相距10海里問乙船每小時航行多少海里？解如圖所示，連結(jié)A1B2，由已知A2B210，A1A230×10，A1A2A2B2，又A1A2B2180°120°60°，A1A2B2是等邊三角形，A1B2A1A210.由已知，A1B120，B1A1B2105°60°45°，在A1B2B1中，由余弦定理，B1BA1BA1B2A1B1·A1B2·cos 45°202(10)22×20×10×200.B1B210.因此，乙船速度的大小為×6030(海里/小時)答乙船每小時航行30海里1解三角形應用問題的基本思路是：實際問題數(shù)學問題數(shù)學問題的解實際問題的解2測量距離問題：這類問題的情境一般屬于“測量有障礙物相隔的兩點間的距離”在測量過程中，要根據(jù)實際需要選取合適的基線長度，測量工具要有較高的精確度§1.2應用舉例(二)課時目標1利用正、余弦定理解決生產(chǎn)實踐中的有關高度的問題2利用正、余弦定理及三角形面積公式解決三角形中的幾何度量問題1仰角和俯角：與目標視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平線上方時叫仰角，目標視線在水平線下方時叫俯角(如圖所示)2已知ABC的兩邊a、b及其夾角C，則ABC的面積為absin C.一、選擇題1從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為，則與的關系為()A> BC< D90°答案B2設甲、乙兩樓相距20 m，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0°，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0°，則甲、乙兩樓的高分別是()A20 m， mB10 m,20 mC10() m,20 mD. m， m答案A解析h甲20tan 60°20(m)h乙20tan 60°20tan 30°(m)3如圖，為測一樹的高度，在地面上選取A、B兩點，從A、B兩點分別測得望樹尖的仰角為30°，45°，且A、B兩點之間的距離為60 m，則樹的高度為()A3030 m B3015mC1530m D153m答案A解析在PAB中，由正弦定理可得，PB，hPBsin 45°(3030)m.4從高出海平面h米的小島看正東方向有一只船俯角為30°，看正南方向一只船俯角為45°，則此時兩船間的距離為()A2h米 B.h米C.h米 D2h米答案A解析如圖所示，BCh，ACh，AB2h.5在某個位置測得某山峰仰角為，對著山峰在平行地面上前進600 m后測仰角為原來的2倍，繼續(xù)在平行地面上前進200 m后，測得山峰的仰角為原來的4倍，則該山峰的高度是()A200 m B300 mC400 m D100 m答案B 解析如圖所示，600·sin 2200·sin 4，cos 2，15°，h200·sin 4300 (m)6平行四邊形中，AC，BD，周長為18，則平行四邊形面積是()A16 B17.5 C18 D18.53答案A解析設兩鄰邊ADb，ABa，BAD，則ab9，a2b22abcos 17，a2b22abcos(180°)65.解得：a5，b4，cos 或a4，b5，cos ，SABCDab sin 16.二、填空題7甲船在A處觀察乙船，乙船在它的北偏東60°的方向，兩船相距a海里，乙船正向北行駛，若甲船是乙船速度的倍，則甲船應取方向_才能追上乙船；追上時甲船行駛了_海里答案北偏東30°a解析如圖所示，設到C點甲船追上乙船，乙到C地用的時間為t，乙船速度為v，則BCtv，ACtv，B120°，由正弦定理知，sinCAB，CAB30°，ACB30°，BCABa，AC2AB2BC22AB·BCcos 120°a2a22a2·3a2，ACa.8ABC中，已知A60°，ABAC85，面積為10，則其周長為_答案20解析設AB8k，AC5k，k>0，則SAB·AC·sin A10k210.k1，AB8，AC5，由余弦定理：BC2AB2AC22AB·AC·cos A82522×8×5×49.BC7，周長為：ABBCCA20.9已知等腰三角形的底邊長為6，一腰長為12，則它的內(nèi)切圓面積為_答案解析不妨設三角形三邊為a，b，c且a6，bc12，由余弦定理得：cos A，sin A .由(abc)·rbcsin A得r.S內(nèi)切圓r2.10某艦艇在A處測得遇險漁船在北偏東45°，距離為10 n mile的C處，此時得知，該漁船沿北偏東105°方向，以每小時9 n mile的速度向一小島靠近，艦艇時速21 n mile，則艦艇到達漁船的最短時間是_小時答案解析設艦艇和漁船在B處相遇，則在ABC中，由已知可得：ACB120°，設艦艇到達漁船的最短時間為t，則AB21t，BC9t，AC10，則(21t)2(9t)21002×10×9tcos 120°，解得t或t(舍)三、解答題11如圖所示，在山頂鐵塔上B處測得地面上一點A的俯角為，在塔底C處測得A處的俯角為.已知鐵塔BC部分的高為h，求山高CD.解在ABC中，BCA90°，ABC90°，BAC，CAD.根據(jù)正弦定理得：，即，AC.在RtACD中，CDACsinCADACsin .即山高CD為.12已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長AB2，BC6，CDDA4，求圓內(nèi)接四邊形ABCD的面積解連接BD，則四邊形面積SSABDSCBDAB·AD·sin ABC·CD·sin C.AC180°，sin Asin C.S(AB·ADBC·CD)·sin A16sin A.由余弦定理：在ABD中，BD222422×2×4cos A2016cos A，在CDB中，BD242622×4×6cos C5248cos C，2016cos A5248cos C.又cos Ccos A，cos A.A120°.四邊形ABCD的面積S16sin A8.能力提升13如圖所示，為了解某海域海底構(gòu)造，在海平面內(nèi)一條直線上的A、B、C三點進行測量已知AB50 m，BC120 m，于A處測得水深AD80 m，于B處測得水深BE200 m，于C處測得水深CF110 m，求DEF的余弦值解作DMAC交BE于N，交CF于M.DF10(m)，DE130(m)，EF150(m)在DEF中，由余弦定理的變形公式，得cosDEF.即DEF的余弦值為.14江岸邊有一炮臺高30 m，江中有兩條船，由炮臺頂部測得俯角分別為45°和30°，而且兩條船與炮臺底部連成30°角，求兩條船之間的距離解如圖所示：CBD30°，ADB30°，ACB45°AB30，BC30，BD30.在BCD中，CD2BC2BD22BC·BD·cos 30°900，CD30，即兩船相距30 m.1測量底部不可到達的建筑物的高度問題由于底部不可到達，這類問題不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理和余弦定理，計算出建筑物頂部到一個可到達的點之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題2測量角度就是在三角形內(nèi)利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根據(jù)需要求出所求的角第一章 解三角形 復習課課時目標1掌握正弦定理、余弦定理的內(nèi)容，并能解決一些簡單的三角形度量問題2能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題一、選擇題1在ABC中，A60°，a4，b4，則B等于()A45°或135° B135°C45° D以上答案都不對答案C解析sin Bb·，且b<a，B45°.2在ABC中，已知cos Acos B>sin Asin B，則ABC是()A銳角三角形 B直角三角形C鈍角三角形 D等腰三角形答案C解析cos Acos B>sin Asin Bcos(AB)>0，AB<90°，C>90°，C為鈍角3已知ABC中，sin Asin Bsin Ck(k1)2k，則k的取值范圍是()A(2，) B(，0)C. D.答案D解析由正弦定理得：amk，bm(k1)，c2mk(m>0)，即，k>.4如圖所示，D、C、B三點在地面同一直線上，DCa，從C、D兩點測得A點的仰角分別是、(<)則A點離地面的高AB等于()A. B.C. D.答案A解析設ABh，則AD，在ACD中，CAD，.，h.5在ABC中，A60°，AC16，面積為220，那么BC的長度為()A25 B51 C49 D49答案D解析SABCAC·AB·sin 60°×16×AB×220，AB55.BC2AB2AC22AB·ACcos 60°5521622×16×55×2 401.BC49.6(2010·天津)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c.若a2b2bc，sin C2sin B，則A等于()A30° B60°C120° D150°答案A解析由sin C2sin B，根據(jù)正弦定理，得c2b，把它代入a2b2bc得a2b26b2，即a27b2.由余弦定理，得cos A.又0°<A<180°，A30°.二、填空題7三角形兩條邊長分別為3 cm,5 cm，其夾角的余弦值是方程5x27x60的根，則此三角形的面積是_cm2.答案6解析由5x27x60，解得x1，x22.x22>1，不合題意設夾角為，則cos ，得sin ，S×3×5×6 (cm2)8在ABC中，A60°，b1，SABC，則_.答案解析由Sbcsin A×1×c×，c4.a.9在ABC中，ax，b2，B45°，若三角形有兩解，則x的取值范圍是_答案2<x<2解析因為三角形有兩解，所以asin B<b<a，即x<2<x，2<x<2.10一艘船以20 km/h的速度向正北航行，船在A處看見燈塔B在船的東北方向，1 h后船在C處看見燈塔B在船的北偏東75°的方向上，這時船與燈塔的距離BC等于_km.答案20解析如圖所示，BC×sin 45°×20 (km)三、解答題11在ABC中，已知(abc)(bca)3bc，且sin A2sin Bcos C，試確定ABC的形狀解由(abc)(bca)3bc，得b22bcc2a23bc，即a2b2c2bc，cos A，A.又sin A2sin Bcos Ca2b·，