第十三章電磁場與麥克斯韋方程組習(xí)題解答和分析.doc
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第十三章 習(xí)題和解答 第十三章習(xí)題解答 題圖13-1 題圖13-2 13-1 如題圖13-1所示，兩條平行長直導(dǎo)線和一個矩形導(dǎo)線框共面，且導(dǎo)線框的一個邊與長直導(dǎo)線平行，到兩長直導(dǎo)線的距離分別為r1，r2。已知兩導(dǎo)線中電流都為，其中I0和為常數(shù)，t為時間。導(dǎo)線框長為a寬為b，求導(dǎo)線框中的感應(yīng)電動勢。 分析：當(dāng)導(dǎo)線中電流I隨時間變化時，穿過矩形線圈的磁通量也將隨時間發(fā)生變化，用法拉第電磁感應(yīng)定律計(jì)算感應(yīng)電動勢，其中磁通量，B為兩導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場的疊加。 解：無限長直電流激發(fā)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為。取坐標(biāo)Ox垂直于直導(dǎo)線，坐標(biāo)原點(diǎn)取在矩形導(dǎo)線框的左邊框上，坐標(biāo)正方向?yàn)樗较蛴?。取回路的繞行正方向?yàn)轫槙r針。由場強(qiáng)的疊加原理可得x處的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小 通過微分面積的磁通量為 通過矩形線圈的磁通量為 感生電動勢 時，回路中感應(yīng)電動勢的實(shí)際方向?yàn)轫槙r針；時，回路中感應(yīng)電動勢的實(shí)際方向?yàn)槟鏁r針。 13-2 如題圖13-2所示，有一半徑為r=10cm的多匝圓形線圈，匝數(shù)N=100，置于均勻磁場中（B=0.5T）。圓形線圈可繞通過圓心的軸O1O2轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)速n=600rev/min。求圓線圈自圖示的初始位置轉(zhuǎn)過時， (1) 線圈中的瞬時電流值（線圈的電阻為R=100，不計(jì)自感）； (2) 感應(yīng)電流在圓心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。 分析：應(yīng)用法拉第電磁感應(yīng)定律求解感應(yīng)電動勢。應(yīng)用載流圓環(huán)在其圓心處產(chǎn)生的磁場公式求出感應(yīng)電流在圓心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。 解：(1) 圓形線圈轉(zhuǎn)動的角速度 rad/s 設(shè)t=0時圓形線圈處在圖示位置，取順時針方向?yàn)榛芈防@行的正方向。則t時刻通過該回路的全磁通 電動勢 感應(yīng)電流 將圓線圈自圖示的初始位置轉(zhuǎn)過時， 代入已知數(shù)值 得： (2) 感應(yīng)電流在圓心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為 的方向與均勻外磁場的方向垂直。 題圖13-3 題圖13-4 13-3 均勻磁場被限制在半徑R=10cm的無限長圓柱形空間內(nèi)，方向垂直紙面向里。取一固定的等腰梯形回路abcd，梯形所在平面的法向與圓柱空間的軸平行，位置如題圖13-3所示。設(shè)磁場以的勻速率增加，已知，，求等腰梯形回路abcd感生電動勢的大小和方向。 分析：求整個回路中的電動勢，采用法拉第電磁感應(yīng)定律，本題的關(guān)鍵是確定回路的磁通量。 解：設(shè)順時針方向?yàn)榈妊菪位芈防@行的正方向.則t時刻通過該回路的磁通量 其中S為等腰梯形abcd中存在磁場部分的面積，其值為 電動勢 代入已知數(shù)值 “–”說明，電動勢的實(shí)際方向?yàn)槟鏁r針，即沿adcba繞向。用楞次定律也可直接判斷電動勢的方向?yàn)槟鏁r針繞向。 13-4 如題圖13-4所示，有一根長直導(dǎo)線，載有直流電流I，近旁有一個兩條對邊與它平行并與它共面的矩形線圈，以勻速度v沿垂直于導(dǎo)線的方向離開導(dǎo)線.設(shè)t=0時，線圈位于圖示位置,求： (1) 在任意時刻t通過矩形線圈的磁通量； (2) 在圖示位置時矩形線圈中的電動勢。 分析：線圈運(yùn)動，穿過線圈的磁通量改變，線圈中有感應(yīng)電動勢產(chǎn)生，求出t時刻穿過線圈的磁通量，再由法拉第電磁感應(yīng)定律求感應(yīng)電動勢。 解：(1) 設(shè)線圈回路的繞行方向?yàn)轫槙r針。由于載流長直導(dǎo)線激發(fā)磁場為非均勻分布，。因此，必須由積分求得t時刻通過回路的磁通量。 取坐標(biāo)Ox垂直于直導(dǎo)線，坐標(biāo)原點(diǎn)取在直導(dǎo)線的位置，坐標(biāo)正方向?yàn)樗较蛴?，則在任意時刻t通過矩形線圈的磁通量為 （2）在圖示位置時矩形圈中的感應(yīng)電動勢 電動勢的方向沿順時針繞向。 13-5 如題圖13-5所示為水平面內(nèi)的兩條平行長直裸導(dǎo)線LM與,其間距離為,其左端與電動勢為的電源連接.勻強(qiáng)磁場垂直于圖面向里，一段直裸導(dǎo)線ab橫嵌在平行導(dǎo)線間（并可保持在導(dǎo)線上做無摩擦地滑動）,電路接通，由于磁場力的作用，ab從靜止開始向右運(yùn)動起來。求: (1) ab達(dá)到的最大速度; (2) ab到最大速度時通過電源的電流I。 分析：本題是包含電磁感應(yīng)、磁場對電流的作用和全電路歐姆定律的綜合性問題。當(dāng)接通電源后，ab中產(chǎn)生電流。該通電導(dǎo)線受安培力的作用而向右加速運(yùn)動，由于ab向右運(yùn)動使穿過回路的磁通量逐漸增加，在回路中產(chǎn)生感應(yīng)電流，從而使回路中電流減小，當(dāng)回路中電流為零時，直導(dǎo)線ab不受安培力作用，此時ab達(dá)到最大速度。 解：（1）電路接通，由于磁場力的作用,ab從靜止開始向右運(yùn)動起來。設(shè)ab運(yùn)動的速度為v,則此時直導(dǎo)線ab所產(chǎn)生的動生電動勢，方向由b指向a.由全電路歐姆定理可得此時電路中的電流為 ab達(dá)到的最大速度時，直導(dǎo)線ab不受到磁場力的作用，此時。所以ab達(dá)到的最大速度為 （2）ab達(dá)到的最大速度時，直導(dǎo)線ab不受到磁場力的作用，此時通過電路的電流i=0。所以通過電源的電流也等于零。 題圖13-5 題圖13-6 13-6 如題圖13-6所示，一根長為L的金屬細(xì)桿ab繞豎直軸O1O2以角速度在水平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，O1O2在離細(xì)桿a端L/5處。若已知均勻磁場平行于O1O2軸。求ab兩端間的電勢差Ua-Ub. 分析：由動生電動勢表達(dá)式先求出每段的電動勢，再將ab的電動勢看成是oa和ob二者電動勢的代數(shù)和，ab兩端的電勢差大小即為ab間的動生電動勢大小。求每段的電動勢時，由于各處的運(yùn)動速度不同，因此要將各段微分成線元，先由動生電動勢公式計(jì)算線元的兩端的動生電動勢，再積分計(jì)算整段的動生電動勢。 解：設(shè)金屬細(xì)桿ab與豎直軸O1O2交于點(diǎn)O,將ab兩端間的動生電動勢看成ao與ob兩段動生電動勢的串聯(lián)。取ob方向?yàn)閷?dǎo)線的正方向，在銅棒上取極小的一段線元，方向?yàn)閛b方向。線元運(yùn)動的速度大小為。由于互相垂直。所以兩端的動生電動勢 ob的動生電動勢為 動生電動勢的方向由b指向O。同理oa的動生電動勢為 動生電動勢的方向由a指向O。所以ab兩端間的的動生電動勢為 動生電動勢的方向由a指向了b；a端帶負(fù)電，b端帶正電。 ab兩端間的電勢差 b端電勢高于a端。 題圖13-7 題圖13-8 13-7 如題圖13-7所示，導(dǎo)線L以角速度ω繞其端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，導(dǎo)線L與電流I在共同的平面內(nèi)，O點(diǎn)到長直電流I的距離為a,且a>L,求導(dǎo)線L在與水平方向成θ角時的動生電動勢的大小和方向。 分析：載流長直導(dǎo)線產(chǎn)生磁場，導(dǎo)線L繞O旋轉(zhuǎn)切割磁力線。由于切割是不均勻的磁場，而且導(dǎo)體各處的運(yùn)動速度不同，所以要微分運(yùn)動導(dǎo)線，先由動生電動勢公式計(jì)算線元的兩端的動生電動勢，再積分計(jì)算整段的總動生電動勢。 解：取OP方向?yàn)閷?dǎo)線的正方向，在導(dǎo)線OP上某處取極小的一段線元,方向?yàn)镺P方向。線元運(yùn)動的速度大小為。由于互相垂直。所以兩端的動生電動勢 將載流長直導(dǎo)線在該處激發(fā)磁場代入，積分得導(dǎo)線L在與水平方向線成θ角時的動生電動勢為： 動生電動勢的方向由P指向O。 13-8 如題圖13-8所示半徑為r的長直密繞空心螺線管，單位長度的繞線匝數(shù)為n,所加交變電流為I=I0sinωt。今在管的垂直平面上放置一半徑為2r,電阻為R的導(dǎo)線環(huán)，其圓心恰好在螺線管軸線上。 （1）計(jì)算導(dǎo)線環(huán)上渦旋電場E的值且說明其方向； (2)計(jì)算導(dǎo)線上的感應(yīng)電流； (3)計(jì)算導(dǎo)線環(huán)與螺線管間的互感系數(shù)M。 分析：電流變化，螺線管內(nèi)部磁場也變化，由磁場的柱對稱性可知，由變化磁場所激發(fā)的感生電場也具有相應(yīng)的對稱性，感生電場線是一系列的同心圓。根據(jù)感生電場的環(huán)路定理，可求出感生電場強(qiáng)度。由法拉第電磁感應(yīng)定律及歐姆定律求感應(yīng)電流，由互感系數(shù)定義式求互感系數(shù)。 解：（1）以半徑為2r的導(dǎo)線環(huán)為閉合回路L，取回路L的繞行正方向與B呈右旋關(guān)系，自上向下看為逆時針方向。由于長直螺線管只在管內(nèi)產(chǎn)生均勻磁場，導(dǎo)線環(huán)上某點(diǎn)渦旋電場E的方向沿導(dǎo)線環(huán)的切向。 所以由規(guī)律可得 導(dǎo)線環(huán)上渦旋電場E的值為 若cosωt>0,E電場線的實(shí)際走向與回路L的繞行正方向相反，自上向下看為順時針方向；若cosωt<0,E電場線的實(shí)際走向與回路L的繞行正方向相同，自上向下看為逆時針方向。 (2) 導(dǎo)線上的感應(yīng)電流 (3)導(dǎo)線環(huán)與螺線管間的互感系數(shù)為 13-9 電子感應(yīng)加速器中的磁場在直徑為0.50m的圓柱形區(qū)域內(nèi)是勻強(qiáng)的，若磁場的變化率為1.010-2T/S。試計(jì)算離開中心距離為0.10m、0.50m、1.0m處各點(diǎn)的感生電場。 分析：由磁場的柱對稱性可知，變化磁場所激發(fā)的感生電場分布也具有相應(yīng)的對稱性，即感生電場的電場線是一系列以圓柱體中心為軸的同心圓。根據(jù)可求出感生電場強(qiáng)度。 解：以圓柱形的區(qū)域的中心到各點(diǎn)的距離為半徑，作閉合回路L。取回路L的繞行正方向與B呈右旋關(guān)系，為順時針方向。由于回路上各點(diǎn)處的感生電場E沿L的切線方向。所以由規(guī)律 可得 得 式中“-”說明：若，E的實(shí)際方向與假定方向相反，否則為一致。 r=0.10m時,r下載提示(請認(rèn)真閱讀)
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