概率統(tǒng)計和隨機過程課件12.2遍歷過程與馬爾科夫鏈.ppt

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遍歷過程與馬爾科夫鏈,1,內容復習,嚴平穩(wěn)過程,,,一．定義1隨機過程，如果對任意維,,分布函數(shù),任意實數(shù),滿足:,,,,,則稱為嚴平穩(wěn)過程,或稱狹義平穩(wěn)過程.,2,廣義平穩(wěn)過程,(一)廣義平穩(wěn)過程的定義,,,定義2設隨機過程,對于任意,滿足:,,(1)存在且有限;,,(2)是常數(shù);,,,,(3)僅依賴于,而與無關,,,則稱為廣義平穩(wěn)過程,或稱寬平穩(wěn)過程,簡稱平穩(wěn)過程.,,3,嚴平穩(wěn)過程與廣義平穩(wěn)過程的關系,推論存在二階矩的嚴平穩(wěn)過程必定是廣義平穩(wěn)過程.,1.廣義平穩(wěn)過程,不一定是嚴平穩(wěn)過程.,2.嚴平穩(wěn)過程,(如果二階矩不存在),不一定是廣義平穩(wěn)過程,4,,,定義如果隨機過程,對任意正整數(shù),,,,服從正態(tài)分布,,則稱為正態(tài)過程.,正態(tài)平穩(wěn)過程,設是正態(tài)過程,服從正態(tài)分布,則,必存在,即二階矩存在.,5,二.正態(tài)平穩(wěn)過程,定義如果正態(tài)過程又是(廣義)平穩(wěn)過程,則,稱為正態(tài)平穩(wěn)過程.,定理二：設是正態(tài)過程.,則為嚴平穩(wěn)過程為廣義平穩(wěn)過程.,6,例2設是正態(tài)平穩(wěn)過程,且,令,證明:是平穩(wěn)過程.,7,第四節(jié)遍歷過程(歷經(jīng)過程),一.時間均值和時間相關函數(shù),,,,,,上的函數(shù)平均值定義為,,,在上的函數(shù)平均值定義為,,當變化時,,8,,,,,對于參數(shù)的平均值,通常稱為隨機過程,的時間均值.,,顯然是一個隨機變量.,,,在任意處,給任意實數(shù)，過程在和的兩個,,記為,9,定義7,稱為隨機過程的時間相關函數(shù).,(顯然它是一個隨機過程.),對隨機過程,時間均值,定義,,10,,,時間相關函數(shù),,例1求隨機相位正弦波,(記住這個例題的結論,以后要用),11,12,,二.各態(tài)遍歷性,,,定義8設是一個平穩(wěn)過程或,,,,,數(shù),且,的均值具有各態(tài)遍歷性;,注：,13,,(2)如果,則稱過程的自相關函數(shù)具有各態(tài)遍歷性.,(3)均值和自相關函數(shù)都具有各態(tài)遍歷性的平穩(wěn)過程稱為遍歷過程,或說,該平穩(wěn)過程,具有遍歷性.,(三)遍歷過程的例子,,14,不具各態(tài)遍歷性的例子：,,,例2設是一個隨機變量,且,則(1)是平穩(wěn)過程;,(2)的均值不具有各態(tài)遍歷性.,解,15,四.平穩(wěn)過程具有各態(tài)遍歷性的判別定理,,引理設是一個平穩(wěn)過程,則它的,時間均值的數(shù)學期望和方差分別為,,,,16,定理三(均值各態(tài)遍歷定理)平穩(wěn)過程,的均值具有各態(tài)遍歷性的充要條件是,近似計算提供依據(jù).,五：引入遍歷過程的目的,應用意義,17,,,,例1設是以為周期的隨機相位周期,,過程,即滿足(是周期函數(shù)),,,,,其中是在上服從均勻分布的隨機變量.,試證:(1)是平穩(wěn)過程;,(2)是遍歷過程.,18,19,20,21,,例2設平穩(wěn)過程的自相關函數(shù),以概率1成立。,提示：,22,例3,解：,23,24,第十三章馬爾可夫鏈,馬爾可夫過程是一類特殊的隨機過程,,最初是由俄國數(shù)學家馬爾可夫1896年,生物學,經(jīng)濟,管理,教育,氣象物理,化學等等.,馬爾可夫鏈,是離散狀態(tài)的馬爾可夫過程,,提出和研究的應用十分廣泛,其應用領域涉及計算機,通信,自動.控制,隨機服務,可靠性,,25,例：一維隨機游動,一個質點在直線上的五個位置:0,1,2,3,4做隨機,游動.當它處在位置1或2或3時,以的1/3概率向左移,動一步而以2/3的概率向右移動一步;當它到達位置,0時,以概率1返回位置1;當它到達位置4時以概率1停,留在該位置上(稱位置0為反射壁,稱位置4為吸收壁).,26,0,1,2,3,4,1,,2/3,2/3,2/3,1/3,1/3,1/3,1,27,28,第一節(jié)馬爾可夫鏈的定義,,,一．定義1設隨機過程的狀態(tài)空間是,,有限集或可列集,對于T內任意n+1個,,,,參數(shù)和內任意個狀態(tài),,如果條件概率,,,(1),29,恒成立,則稱此過程為馬爾可夫鏈.,式(1)稱為馬爾可夫性,或稱無后效性.,注：,30,,,系統(tǒng)現(xiàn)時情況的條件下,系統(tǒng)將來的發(fā)展變化與系統(tǒng)的過去無關.我們稱之為無后效性.,許多實際問題都具有這種無后效性.,例如生物基因遺傳從這一代到下一代的轉移中僅依賴于這一代而與以往各代無關.,31,馬氏性的直觀含義可以解釋如下:,將看作為現(xiàn)在時刻,就是過去時,刻,而則是將來時刻.于是,(1)式是說,當已知,二馬爾可夫鏈的分類,,狀態(tài)空間是離散的(有限集或可列集),參數(shù)集,可為離散或連續(xù)的兩類.,三離散參數(shù)馬爾可夫鏈,（1）轉移概率,定義2在離散參數(shù)馬爾可夫鏈,,中,條件概率稱為在,,32,時刻(參數(shù))由狀態(tài)一步轉移到狀態(tài)的一步轉移,概率,簡稱轉移概率.,條件概率稱為在時,刻(參數(shù))由狀態(tài)經(jīng)步轉移到狀態(tài)的步,轉移概率.,33,,,,,,,,,(2)轉移概率的性質:對于狀態(tài)空間內的任意兩個,狀態(tài)和,恒有,(1),(2),作業(yè),習題十二6，7，8，10，11,35,