概率統(tǒng)計(jì)和隨機(jī)過程課件12.2遍歷過程與馬爾科夫鏈.ppt

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遍歷過程與馬爾科夫鏈,1,內(nèi)容復(fù)習(xí),嚴(yán)平穩(wěn)過程,,,一．定義1隨機(jī)過程，如果對(duì)任意維,,分布函數(shù),任意實(shí)數(shù),滿足:,,,,,則稱為嚴(yán)平穩(wěn)過程,或稱狹義平穩(wěn)過程.,2,廣義平穩(wěn)過程,(一)廣義平穩(wěn)過程的定義,,,定義2設(shè)隨機(jī)過程,對(duì)于任意,滿足:,,(1)存在且有限;,,(2)是常數(shù);,,,,(3)僅依賴于,而與無關(guān),,,則稱為廣義平穩(wěn)過程,或稱寬平穩(wěn)過程,簡(jiǎn)稱平穩(wěn)過程.,,3,嚴(yán)平穩(wěn)過程與廣義平穩(wěn)過程的關(guān)系,推論存在二階矩的嚴(yán)平穩(wěn)過程必定是廣義平穩(wěn)過程.,1.廣義平穩(wěn)過程,不一定是嚴(yán)平穩(wěn)過程.,2.嚴(yán)平穩(wěn)過程,(如果二階矩不存在),不一定是廣義平穩(wěn)過程,4,,,定義如果隨機(jī)過程,對(duì)任意正整數(shù),,,,服從正態(tài)分布,,則稱為正態(tài)過程.,正態(tài)平穩(wěn)過程,設(shè)是正態(tài)過程,服從正態(tài)分布,則,必存在,即二階矩存在.,5,二.正態(tài)平穩(wěn)過程,定義如果正態(tài)過程又是(廣義)平穩(wěn)過程,則,稱為正態(tài)平穩(wěn)過程.,定理二：設(shè)是正態(tài)過程.,則為嚴(yán)平穩(wěn)過程為廣義平穩(wěn)過程.,6,例2設(shè)是正態(tài)平穩(wěn)過程,且,令,證明:是平穩(wěn)過程.,7,第四節(jié)遍歷過程(歷經(jīng)過程),一.時(shí)間均值和時(shí)間相關(guān)函數(shù),,,,,,上的函數(shù)平均值定義為,,,在上的函數(shù)平均值定義為,,當(dāng)變化時(shí),,8,,,,,對(duì)于參數(shù)的平均值,通常稱為隨機(jī)過程,的時(shí)間均值.,,顯然是一個(gè)隨機(jī)變量.,,,在任意處,給任意實(shí)數(shù)，過程在和的兩個(gè),,記為,9,定義7,稱為隨機(jī)過程的時(shí)間相關(guān)函數(shù).,(顯然它是一個(gè)隨機(jī)過程.),對(duì)隨機(jī)過程,時(shí)間均值,定義,,10,,,時(shí)間相關(guān)函數(shù),,例1求隨機(jī)相位正弦波,(記住這個(gè)例題的結(jié)論,以后要用),11,12,,二.各態(tài)遍歷性,,,定義8設(shè)是一個(gè)平穩(wěn)過程或,,,,,數(shù),且,的均值具有各態(tài)遍歷性;,注：,13,,(2)如果,則稱過程的自相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)遍歷性.,(3)均值和自相關(guān)函數(shù)都具有各態(tài)遍歷性的平穩(wěn)過程稱為遍歷過程,或說,該平穩(wěn)過程,具有遍歷性.,(三)遍歷過程的例子,,14,不具各態(tài)遍歷性的例子：,,,例2設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量,且,則(1)是平穩(wěn)過程;,(2)的均值不具有各態(tài)遍歷性.,解,15,四.平穩(wěn)過程具有各態(tài)遍歷性的判別定理,,引理設(shè)是一個(gè)平穩(wěn)過程,則它的,時(shí)間均值的數(shù)學(xué)期望和方差分別為,,,,16,定理三(均值各態(tài)遍歷定理)平穩(wěn)過程,的均值具有各態(tài)遍歷性的充要條件是,近似計(jì)算提供依據(jù).,五：引入遍歷過程的目的,應(yīng)用意義,17,,,,例1設(shè)是以為周期的隨機(jī)相位周期,,過程,即滿足(是周期函數(shù)),,,,,其中是在上服從均勻分布的隨機(jī)變量.,試證:(1)是平穩(wěn)過程;,(2)是遍歷過程.,18,19,20,21,,例2設(shè)平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù),以概率1成立。,提示：,22,例3,解：,23,24,第十三章馬爾可夫鏈,馬爾可夫過程是一類特殊的隨機(jī)過程,,最初是由俄國(guó)數(shù)學(xué)家馬爾可夫1896年,生物學(xué),經(jīng)濟(jì),管理,教育,氣象物理,化學(xué)等等.,馬爾可夫鏈,是離散狀態(tài)的馬爾可夫過程,,提出和研究的應(yīng)用十分廣泛,其應(yīng)用領(lǐng)域涉及計(jì)算機(jī),通信,自動(dòng).控制,隨機(jī)服務(wù),可靠性,,25,例：一維隨機(jī)游動(dòng),一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在直線上的五個(gè)位置:0,1,2,3,4做隨機(jī),游動(dòng).當(dāng)它處在位置1或2或3時(shí),以的1/3概率向左移,動(dòng)一步而以2/3的概率向右移動(dòng)一步;當(dāng)它到達(dá)位置,0時(shí),以概率1返回位置1;當(dāng)它到達(dá)位置4時(shí)以概率1停,留在該位置上(稱位置0為反射壁,稱位置4為吸收壁).,26,0,1,2,3,4,1,,2/3,2/3,2/3,1/3,1/3,1/3,1,27,28,第一節(jié)馬爾可夫鏈的定義,,,一．定義1設(shè)隨機(jī)過程的狀態(tài)空間是,,有限集或可列集,對(duì)于T內(nèi)任意n+1個(gè),,,,參數(shù)和內(nèi)任意個(gè)狀態(tài),,如果條件概率,,,(1),29,恒成立,則稱此過程為馬爾可夫鏈.,式(1)稱為馬爾可夫性,或稱無后效性.,注：,30,,,系統(tǒng)現(xiàn)時(shí)情況的條件下,系統(tǒng)將來的發(fā)展變化與系統(tǒng)的過去無關(guān).我們稱之為無后效性.,許多實(shí)際問題都具有這種無后效性.,例如生物基因遺傳從這一代到下一代的轉(zhuǎn)移中僅依賴于這一代而與以往各代無關(guān).,31,馬氏性的直觀含義可以解釋如下:,將看作為現(xiàn)在時(shí)刻,就是過去時(shí),刻,而則是將來時(shí)刻.于是,(1)式是說,當(dāng)已知,二馬爾可夫鏈的分類,,狀態(tài)空間是離散的(有限集或可列集),參數(shù)集,可為離散或連續(xù)的兩類.,三離散參數(shù)馬爾可夫鏈,（1）轉(zhuǎn)移概率,定義2在離散參數(shù)馬爾可夫鏈,,中,條件概率稱為在,,32,時(shí)刻(參數(shù))由狀態(tài)一步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)的一步轉(zhuǎn)移,概率,簡(jiǎn)稱轉(zhuǎn)移概率.,條件概率稱為在時(shí),刻(參數(shù))由狀態(tài)經(jīng)步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)的步,轉(zhuǎn)移概率.,33,,,,,,,,,(2)轉(zhuǎn)移概率的性質(zhì):對(duì)于狀態(tài)空間內(nèi)的任意兩個(gè),狀態(tài)和,恒有,(1),(2),作業(yè),習(xí)題十二6，7，8，10，11,35,