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外文原文及翻譯
非對(duì)稱漸開線圓柱齒輪的動(dòng)力學(xué)特性分析
法提赫·卡爾帕特 斯蒂芬·?？淞_·奧西雷 卡迪爾·賈夫達(dá)爾 法提赫·C·Babalik
土耳其烏盧達(dá)大學(xué)機(jī)械工程系，16059布爾薩.
美國(guó)德州理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)系，拉伯克.
關(guān)鍵詞：齒輪 非對(duì)稱齒輪 動(dòng)態(tài)負(fù)載 傳輸誤差 設(shè)計(jì)
摘要：
面對(duì)高載荷量，強(qiáng)耐用度，低成本，長(zhǎng)壽命，還有高轉(zhuǎn)速這些方面的性能要求，新的齒輪設(shè)計(jì)是需要的。在一些應(yīng)用方面，例如在風(fēng)力渦輪機(jī)方面，齒輪只在單向加載方面有使用的經(jīng)驗(yàn)。在這些情況下，驅(qū)動(dòng)器的幾何形狀不一定是對(duì)稱的齒輪邊。這就要求需要設(shè)計(jì)非對(duì)稱齒輪機(jī)構(gòu)。在以往的研究中，涉及到在彎曲應(yīng)力和承載能力方面要有高的要求時(shí)，就需要借助非對(duì)稱齒輪來實(shí)現(xiàn)。由于這些齒輪的非標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)，給設(shè)計(jì)人員提供了靈活性。如果他們做出了正確的設(shè)計(jì)，他們可以對(duì)航空航天工業(yè)，汽車工業(yè)和風(fēng)力渦輪機(jī)行業(yè)設(shè)計(jì)的改善做出重要貢獻(xiàn)。在高速運(yùn)行時(shí)，總是存在關(guān)于動(dòng)態(tài)負(fù)載和設(shè)備振動(dòng)方面的問題。因此，有必要去充分認(rèn)識(shí)非對(duì)稱齒輪的動(dòng)態(tài)性能。因此，本文的主要目的是利用動(dòng)態(tài)分析，對(duì)傳統(tǒng)的非對(duì)稱直齒齒輪和對(duì)稱直齒齒輪進(jìn)行比較。次要目標(biāo)是優(yōu)化非對(duì)稱齒輪的設(shè)計(jì)，以減少動(dòng)態(tài)負(fù)載。這項(xiàng)初步的研究結(jié)果讓設(shè)計(jì)者了解非對(duì)稱直齒齒輪的動(dòng)態(tài)性能。為了這項(xiàng)研究，利用MATLAB開發(fā)了一個(gè)動(dòng)態(tài)模型，用來對(duì)對(duì)稱的和非對(duì)稱的齒輪瞬時(shí)動(dòng)態(tài)負(fù)載進(jìn)行預(yù)測(cè)。此外，還對(duì)一個(gè)2 - D三齒模型進(jìn)行了有限元分析。利用快速傅立葉變換對(duì)其進(jìn)行了靜態(tài)傳輸錯(cuò)誤頻率分析。結(jié)果表明，一般而言，動(dòng)態(tài)功能隨著非對(duì)稱齒齒輪的傳動(dòng)側(cè)的壓力角的不斷增大而增加。對(duì)于非對(duì)稱的齒輪，增加齒頂高會(huì)導(dǎo)致動(dòng)態(tài)功能的明顯減少。在單齒嚙合區(qū)中心處的靜態(tài)傳動(dòng)誤差，隨著壓力角的增加而減小。前兩個(gè)簡(jiǎn)諧波隨壓力角的增大略有增加。研究的進(jìn)一步表明，當(dāng)擁有大齒頂高的非對(duì)稱齒輪提供大齒輪接近2.0的嚙合系數(shù)時(shí)，靜態(tài)傳動(dòng)誤差的諧波的振幅將明顯的下降。
＆2008愛思唯爾版權(quán)所有
1、引言
1．1背景
由于在高負(fù)載能力，高耐用性，低成本，長(zhǎng)壽命，并且在如汽車，航天，風(fēng)力渦輪機(jī)等高速的重要行業(yè)方面要求的增加，新齒輪的設(shè)計(jì)是必要的。大多數(shù)傳統(tǒng)齒輪都是對(duì)稱的。這些齒輪在某些應(yīng)用中僅在一個(gè)方向上可以被加載，例如，電梯設(shè)備和風(fēng)力渦輪機(jī)。在單向加載時(shí)，齒輪的工作側(cè)的幾何形狀不一定是對(duì)稱的齒輪邊。這些驅(qū)使了需要設(shè)計(jì)非對(duì)稱齒輪。最近，非對(duì)稱漸開線直齒齒輪已被發(fā)現(xiàn)在需要高性能的應(yīng)用程序中使用。這些齒輪，由于其非對(duì)稱齒廓機(jī)構(gòu)，以便在各種應(yīng)用中的得到優(yōu)化設(shè)計(jì)。由于其幾何形狀，這些齒輪允許在齒輪的工作側(cè)和不工作側(cè)選擇不同的壓力角，這在獲得如高承載能力和低重量等關(guān)鍵屬性非常重要。在文獻(xiàn)里，兩個(gè)非對(duì)稱漸開線直齒齒輪的配置出現(xiàn)過，即在驅(qū)動(dòng)器上側(cè)壓力角比不工作側(cè)高，或者驅(qū)動(dòng)器上的側(cè)壓力角比不工作側(cè)低。相比于不工作側(cè)，在工作側(cè)上有一個(gè)較大的壓力角有很多好處，因?yàn)樗鼈兩婕皽p少接觸應(yīng)力和多變的嚙合條件。
在學(xué)術(shù)的幾個(gè)研究里，已經(jīng)對(duì)非對(duì)稱齒輪的設(shè)計(jì)和應(yīng)力分析進(jìn)行了論述[1-11]?？ㄅ辶芯S奇[3]提出了非對(duì)稱齒輪的設(shè)計(jì)方法。非對(duì)稱齒輪設(shè)計(jì)所需的幾個(gè)方程式被研究出來了，而且對(duì)非對(duì)稱齒輪進(jìn)行了綜合介紹。此外，這項(xiàng)研究包括了對(duì)某伊柳辛- 114飛機(jī)發(fā)動(dòng)機(jī)的行星齒輪箱進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究的結(jié)果。還介紹了對(duì)稱和非對(duì)稱標(biāo)準(zhǔn)斜齒圓柱齒輪的實(shí)驗(yàn)對(duì)比。從驅(qū)動(dòng)器上側(cè)大壓力角的角度來看，這表明，彎曲應(yīng)力，接觸應(yīng)力和振動(dòng)水平顯著降低。利特溫等人[8]提出了對(duì)直升機(jī)的變速箱的非對(duì)稱齒輪驅(qū)動(dòng)器的幾何形狀進(jìn)行修改。數(shù)值例子是用來研究修改后的不對(duì)稱齒輪的靜態(tài)傳輸誤差的效果。采用有限元分析（FEA），得出的結(jié)果表明，非對(duì)稱齒輪能降低接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力。賈夫達(dá)爾等[1]對(duì)非對(duì)稱齒輪的傳動(dòng)側(cè)和不工作側(cè)有較大壓力角也進(jìn)行了研究。這些研究人員提出了一種理論方法來確定非對(duì)稱齒輪彎曲應(yīng)力。用數(shù)值例子來表明彎曲應(yīng)力和嚙合條件受工作側(cè)壓力角大小的影響。楊[10]為非對(duì)稱漸開線齒輪和斜齒圓柱齒輪開發(fā)了以齒輪理論為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)模型。該模型中使用了三維應(yīng)力分析對(duì)非對(duì)稱的圓柱齒輪和非對(duì)稱的螺旋齒輪齒輪進(jìn)行比較。結(jié)果表明，斜齒圓柱齒輪已經(jīng)比對(duì)稱齒輪有更好的性能。非對(duì)稱齒漸開線圓柱齒輪的優(yōu)點(diǎn)也表現(xiàn)在摘要[10]里。例如，由齒輪副為樣本進(jìn)行的數(shù)值和實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明非對(duì)稱齒輪能提高齒輪承載能力。卡爾帕特等[7]和迪弗朗切斯科和馬里尼[2]自主開發(fā)了非對(duì)稱齒輪優(yōu)化設(shè)計(jì)的不同的計(jì)算機(jī)程序。這些程序提供了一個(gè)基本工具對(duì)齒輪在其性能發(fā)揮的作用方面進(jìn)行參數(shù)研究。例如，該軟件在摘要[2]的建議可以用來自動(dòng)優(yōu)化不對(duì)稱程度，以最大限度地利用其性能。高重合度（2和3之間）的非對(duì)稱齒輪也在以前的一個(gè)Skorsky直升機(jī)的行星齒輪進(jìn)行了測(cè)試[11]。這些測(cè)試涉及非對(duì)稱齒輪，稱為比較于齒輪工作側(cè)而擁有更大的壓力角的非工作側(cè)的支撐齒輪。從試驗(yàn)結(jié)果得出，隨著接觸的增加，噪音和振動(dòng)級(jí)的比例增加。
1.2對(duì)稱漸開線圓柱齒輪的動(dòng)態(tài)分析
隨著高速、重載齒輪設(shè)計(jì)的需要，現(xiàn)代齒輪動(dòng)態(tài)分析成為主要的研究辦法。在動(dòng)態(tài)分析中最重要參數(shù)是齒輪動(dòng)態(tài)載荷和靜態(tài)傳輸誤差。靜態(tài)傳輸誤差，這些定義即實(shí)際齒輪齒和理想化齒輪齒之間得立場(chǎng)差異和動(dòng)態(tài)載荷，影響著齒輪振動(dòng)，噪聲，齒輪疲勞，和表面疲勞失效。減小動(dòng)態(tài)負(fù)載會(huì)降低齒輪噪音，提高效率，改善點(diǎn)蝕疲勞壽命，并有助于防止齒輪斷裂[12]。因此，在齒輪設(shè)計(jì)中最重要的目標(biāo)是減小動(dòng)態(tài)和靜態(tài)載荷傳動(dòng)誤差。
許多研究者從理論和實(shí)驗(yàn)研究動(dòng)態(tài)載荷下的旋轉(zhuǎn)齒輪。對(duì)所使用的齒輪動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型做出綜合的評(píng)價(jià)[13,14]。Tearuchi和英太郎[15]用齒輪變形，等效復(fù)合誤差，等效質(zhì)量對(duì)齒輪的輪齒上的動(dòng)態(tài)載荷進(jìn)行計(jì)算。數(shù)值結(jié)果被證明是與實(shí)驗(yàn)結(jié)果非常吻合。類似的模型在摘要中提出了。 [16]。經(jīng)過理論和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較，從而創(chuàng)造出了重負(fù)載動(dòng)態(tài)特性齒輪。一種新的議案，包含激勵(lì)條款，由于錯(cuò)誤和嚙合剛度周期變化的方程組的數(shù)值方法被開發(fā)并提交。這種方法被幾位研究人員[17-21]用來計(jì)算動(dòng)態(tài)接觸載荷或扭轉(zhuǎn)響應(yīng)，根據(jù)不同的齒輪參數(shù)，即齒輪的誤差，齒頂高修正，嚙合剛度，潤(rùn)滑，阻尼因子，齒輪接觸因子和摩擦系數(shù)。在齒輪設(shè)計(jì)中，動(dòng)態(tài)因素通常是用來量化動(dòng)態(tài)效果的。在這種情況下，動(dòng)態(tài)因素被定義為動(dòng)態(tài)的最高負(fù)荷率，最大限度的齒輪靜載荷。低嚙合系數(shù)（齒輪嚙合系數(shù)是1至2）的動(dòng)態(tài)齒輪受多個(gè)參數(shù)的影響，即時(shí)變嚙合剛度，齒形誤差，重合度，摩擦，滑動(dòng)。靜態(tài)傳動(dòng)誤差由于齒輪嚙合剛度變化規(guī)律的影響呈周期性變化。這就是齒輪動(dòng)力學(xué)振動(dòng)激勵(lì)源。靜態(tài)傳輸誤差的基本周期性涉及到軸轉(zhuǎn)動(dòng)頻率和齒輪嚙合頻率。齒輪嚙合頻率和其第一諧波是噪聲生成的主要因素。許多研究人員調(diào)查了降低靜態(tài)傳輸誤差（例如，設(shè)計(jì)荷載和齒廓修正）不同參數(shù)的影響[22-24]。此外，快速傅立葉變換（FFT），可用于執(zhí)行靜態(tài)傳動(dòng)誤差頻率分析。為研究齒輪的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，，動(dòng)態(tài)模型在摘要中提出來了[15,17-20]能夠擴(kuò)展到非對(duì)稱齒輪帶動(dòng)。到目前為止，關(guān)于動(dòng)態(tài)分析這些參數(shù)的影響至今只是對(duì)對(duì)稱齒齒輪進(jìn)行了幾個(gè)研究[20-25]。
1.3動(dòng)機(jī)和目標(biāo)
由于是非標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)，因此給設(shè)計(jì)人員為不同的應(yīng)用領(lǐng)域設(shè)計(jì)非對(duì)稱漸開線直齒齒輪提供了靈活性。如果他們被正確的設(shè)計(jì)出來，就可以為在航空航天工業(yè)、汽車工業(yè)設(shè)計(jì)和風(fēng)力渦輪機(jī)行業(yè)的改善做出重要貢獻(xiàn)。這常常涉及到改善性能，提高承載能力，降低噪音和減小振動(dòng)[3]。而在過去，非對(duì)稱齒輪的大部分分析是有限的靜態(tài)載荷下的實(shí)例[1,4,8]。
動(dòng)態(tài)載荷和振動(dòng)是齒輪高速運(yùn)行中的主要問題。因此，動(dòng)態(tài)特性需要進(jìn)行分析，以確定在不同的應(yīng)用場(chǎng)合中非對(duì)稱齒輪的可行性。為了更有效的利用非對(duì)稱齒輪的設(shè)計(jì)，就必須進(jìn)行這些齒輪動(dòng)載下的研究分析。這個(gè)研究為設(shè)計(jì)者提供了在動(dòng)態(tài)荷載下非對(duì)稱齒輪的反應(yīng)的初步結(jié)果。這個(gè)研究顯示了一些設(shè)計(jì)參數(shù)，如壓力角或動(dòng)態(tài)載荷的齒頂高。非對(duì)稱齒輪被認(rèn)為，與不工作邊相比傳動(dòng)側(cè)將有一個(gè)較大的壓力角。本文中使用了動(dòng)態(tài)和靜態(tài)載荷傳輸誤差來研究非對(duì)稱齒輪動(dòng)載作用下的反應(yīng)。本文的主要目的是使用動(dòng)態(tài)分析，比較與傳統(tǒng)的非對(duì)稱和對(duì)稱的直齒齒輪。次要目的是優(yōu)化設(shè)計(jì)的非對(duì)稱齒輪，以盡量減少動(dòng)態(tài)負(fù)載。
2、非對(duì)稱漸開線直齒齒輪的動(dòng)態(tài)模型
要確定動(dòng)態(tài)負(fù)載變化作為接觸位置（或時(shí)間）的功能，有必要推導(dǎo)了一個(gè)齒輪相互嚙合的運(yùn)動(dòng)方程。考慮到齒輪自由體圖，如圖1所示，運(yùn)動(dòng)方程可歸結(jié)為：
（1）
（2）
Jp 和 Jg 分別代表小齒輪和齒輪的慣性量。動(dòng)態(tài)接觸載荷是FI和FI1 ，mI 和mII 是在摩擦接觸點(diǎn)瞬時(shí)系數(shù)。 Yp和yg 代表小齒輪和齒輪的角位移。齒輪的基圓半徑是 rbp和rbg ，而在交叉點(diǎn)的曲率半徑是 rpI,II 和 rgI,II。
在上面的方程組，如果齒輪接觸速度超過了齒輪速度，摩擦力的是推動(dòng)作用，否則它是阻礙作用。靜態(tài)負(fù)荷是指：
， （3）
如果把角坐標(biāo)沿坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的行動(dòng)路線，對(duì)未變形位移沿齒廓線，可以寫為：
， （4）
， （5）
相對(duì)位移，速度和加速度可以被棄之如如下所示：
， （6）
， （7）
， （8）
大部分有效齒輪：
Fig. 1. Engaging teeth pairs along the contact line
， （9）
， （10）
包括粘性阻尼，運(yùn)動(dòng)方程減少到：
， （11）
， （12）
， （13）
加載的靜態(tài)傳輸誤差，可用式（13）除以式（12）：
， （14）
嚙合齒對(duì)在均衡器的等效剛度。（12）-（14）可寫為：
， （15）
， （16）
小齒輪和齒輪的摩擦可以表示為：
， （17）
， （18）
， （19）
， （20）
在上述表達(dá)的標(biāo)志是正數(shù)（+）負(fù)數(shù)（-）.
Fig. 2. Meshing of asymmetric gears: (a)contact zone and (b)contact line [5].
Fig.3. Finite element model: (a)meshed 2-D model and (b)geometry of Plane 82 2-D element.
在本文中，我們使用下面由Dowson and Higginson [26]從實(shí)驗(yàn)結(jié)果和一些研究人員使用的公式，來計(jì)算摩擦系數(shù)[16-19]：
（21）
， （22）
， （23）
Fig. 4. Load application.
等式（11）中阻尼比值ξ，在推薦0.1和0.2之間由 by Ichimaru and Hirano [16]得出。在本文中，一個(gè)由by Dowson and Higginson [26]建議阻尼比0.17的固定值，來求解方程的解。
包括齒形誤差的動(dòng)態(tài)接觸載荷，可以寫為：
， （24）
， （25）
和是齒形誤差。本文對(duì)齒輪的齒形誤差動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響是不考慮。因此，齒形誤差假定為零。所開發(fā)的電腦程序有一個(gè)使用了任何方式去解決誤差。
應(yīng)當(dāng)指出，上述方程，當(dāng)兩個(gè)齒輪之間的接觸時(shí)才有效。當(dāng)分離時(shí)，因?yàn)閮蓚€(gè)齒輪之間的齒有相對(duì)誤差，動(dòng)態(tài)負(fù)載是零，運(yùn)動(dòng)方程會(huì)得到：
， （26）
嚙合條件說明如下：
當(dāng)， 雙齒輪嚙合
當(dāng)， 齒輪分離
當(dāng)， 單齒輪嚙合
當(dāng)， 單齒輪嚙合
3、齒輪嚙合的等效剛度
3.1.齒輪嚙合剛度
在一個(gè)嚙合周期的低接觸率的圓柱直齒齒輪，一個(gè)接觸齒對(duì)和兩對(duì)接觸齒輪，分別發(fā)生。因此，由于齒輪嚙合剛度是在接觸齒輪對(duì)函數(shù)，所以它是一個(gè)時(shí)間的函數(shù)。嚙合運(yùn)動(dòng)開始在A點(diǎn)和在E點(diǎn)結(jié)束，如圖2（b）所示。
齒輪嚙合是在單嚙合接觸區(qū)（BD）和雙嚙合接觸區(qū)（AB和DE）之間，沿接觸路徑（AE）相互交替（見圖2（b））。因此，由于每個(gè)接觸情況，齒輪嚙合剛度變化在兩個(gè)平均值之間。
單嚙合區(qū)
雙嚙合區(qū)
在雙嚙合區(qū)的齒輪嚙合剛度（KI+KII）大于在單嚙合區(qū)的。在傳動(dòng)側(cè)有一個(gè)更大壓力角的非對(duì)稱齒輪被認(rèn)為是一個(gè)單嚙合周期。可以看出，隨壓力的增加可以降低接觸率和增大單嚙合區(qū)（BD）。
3.2.齒輪齒剛度
根據(jù)方程式 （15）和（16），為了計(jì)算一對(duì)齒輪嚙合等效剛度，齒剛度首先進(jìn)行校核。齒輪齒的硬度可表示為：
， （27）
， （28）
， （29）
， （30）
Fig. 6. Flowchart of the developed computer program
Fig. 7. Dynamic factors for a single period at 1500rpm: (a) single-tooth pair and (b)double-tooth pair.
其中F是載荷，dpI, dpII, dgI, 和 dgII是在齒輪應(yīng)用方向的載荷撓度。
在論文里，不同的方法和經(jīng)驗(yàn)公式用于計(jì)算齒輪齒的變形。這些方法往往是基于經(jīng)典的彈性理論和數(shù)值方法。然而，他們都是推導(dǎo)對(duì)稱的齒輪。因此，在本研究中，二維有限元模型，改進(jìn)了用來計(jì)算的不對(duì)稱和對(duì)稱齒輪的變形（見圖3）。這個(gè)二維模型是一個(gè)使用平面82元素的網(wǎng)狀圖形（見圖3（a）），82元素是個(gè)擁有8個(gè)節(jié)點(diǎn)高階元素。因?yàn)樵撈矫?2元素有很強(qiáng)的適應(yīng)性和位移形狀模型的曲面邊界，因此被選擇。圖3（b）是一個(gè)以平面82的二維元素的幾何形狀。利用MATLAB開發(fā)了一種計(jì)算機(jī)程序，從而節(jié)省了時(shí)間并提供了一個(gè)方法來進(jìn)行與齒輪參數(shù)參量的研究。該方案生成并輸入到ANSYS的批處理文件。當(dāng)這個(gè)文件是在ANSYS中執(zhí)行時(shí)，一般的有限元分析程序（即二維建模，網(wǎng)格化，載荷，解決方案和后處理）是自動(dòng)完成的。最后，創(chuàng)建了一個(gè)輸出文件，包含用于加載節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)變形。每個(gè)齒輪重復(fù)這個(gè)過程。應(yīng)當(dāng)指出，在這一應(yīng)力分析中，工作負(fù)載加在五個(gè)齒位置（見圖4）。在這項(xiàng)研究中，每個(gè)聯(lián)系點(diǎn)載荷被定為250N，來確定齒輪齒的熱變形單位負(fù)載。從輸出文件中知道通過使用節(jié)點(diǎn)撓度，沿接觸線單齒剛度的近似曲線涉及到齒輪的半徑。
為方便在裝貨點(diǎn)了計(jì)算偏轉(zhuǎn)赫茲成分，附近的始發(fā)點(diǎn)網(wǎng)格大小在綱要[27，28]選擇使用下列公式：
其中c和e的長(zhǎng)度和寬度，分別為（見圖3（b））。在這項(xiàng)研究中，假設(shè)參數(shù)c和e的值相等，元素的寬度值e，然后用方程式（31）進(jìn)行計(jì)算。這個(gè)結(jié)果轉(zhuǎn)化為元素的尺寸寫入ANSYS程序。要采取赫茲理論聯(lián)系齒輪，假定在曲率為小齒輪嚙合點(diǎn)（見圖5（a））等于兩個(gè)半徑相同的汽缸壓在一起（見圖5（b））。在赫茲接觸寬度，齒寬（見圖5（b）），計(jì)算如下：
其中F是單位長(zhǎng)度載荷，E是齒輪的材料楊氏模量，RP和RG分別表示在為小齒輪和齒輪嚙合點(diǎn)的曲率半徑。
4、 動(dòng)態(tài)分析程序
減少了運(yùn)動(dòng)方程（式（11））解決了以前在使用數(shù)值表綱要[16-19]時(shí)詳細(xì)的方法。該方法采用了線性迭代過程，將嚙合周期劃分成許多相等的時(shí)間間隔。在這項(xiàng)研究中，開發(fā)了一個(gè)MATLAB程序。使用這個(gè)流程圖計(jì)算程序來計(jì)算齒輪的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，如圖6所示。初始接觸點(diǎn)（A）和單接觸的最高點(diǎn)（D）之間的時(shí)間間隔，被認(rèn)為是一個(gè)嚙合周期（圖2）。在數(shù)值解中，為了良好的準(zhǔn)確性把每個(gè)嚙合周期分為200點(diǎn)。在一個(gè)小間隔，不同的運(yùn)動(dòng)方程的參數(shù)作為常量和解析。相對(duì)位移的計(jì)算值和后一嚙合周期的相對(duì)速度與XR和VR的初始值進(jìn)行比較。除非他們之間的分歧比預(yù)設(shè)容忍小，迭代程序?qū)⒉扇≡趩螌?duì)齒輪的終點(diǎn)以前計(jì)算的xr與vr作為新的初始條件接觸而不斷重復(fù)。然后使用的計(jì)算相對(duì)位移值計(jì)算的動(dòng)態(tài)負(fù)載。當(dāng)齒輪的動(dòng)態(tài)負(fù)載被計(jì)算后，動(dòng)態(tài)負(fù)載因子可由除以最大的沿接觸線的靜載動(dòng)載而決定。動(dòng)態(tài)因素表明齒輪的靜載荷負(fù)荷瞬時(shí)增加。這對(duì)了解齒輪傳動(dòng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)的使用的最重要的參數(shù)之一。
5、 結(jié)果和討論
開發(fā)的計(jì)算機(jī)程序已用于對(duì)稱和非對(duì)稱的直齒輪的動(dòng)態(tài)分析。首先，表1中給出的樣本齒輪副是通過現(xiàn)有文獻(xiàn)與其他結(jié)果的比較來驗(yàn)證先進(jìn)的計(jì)算程序的準(zhǔn)確性。在綱要[19]中，與表1中列出的一對(duì)齒輪的屬性是由使用動(dòng)態(tài)模型在上一節(jié)就已經(jīng)分析了。在這項(xiàng)研究中，對(duì)同一樣品齒輪副，關(guān)于齒輪嚙合時(shí)的動(dòng)態(tài)因素在圖7進(jìn)行了說明。雖然不同的計(jì)算機(jī)程序和齒輪齒剛度的估計(jì)方法在分析中使用，但結(jié)果與阿勒坎[19]得到的結(jié)果非常一致。
圖形8顯示了（a）單齒對(duì)和（b）雙齒對(duì)的單周期嚙合剛度。用有限元方法分析的結(jié)果與曠和楊[29]的這些結(jié)果相符合。沿接觸線得差異均小于6％。這一結(jié)果表明了在這項(xiàng)研究中使用的齒輪剛度模型的準(zhǔn)確性。在這項(xiàng)研究中，7個(gè)不同的齒輪對(duì)被進(jìn)行像非對(duì)稱的直齒齒輪那樣的動(dòng)態(tài)分析。為了簡(jiǎn)化分析，所有的齒輪參數(shù)保持不變，把傳動(dòng)側(cè)和齒頂高上的壓力角分開。由于齒形誤差的影響將不會(huì)在本文考慮，分析了齒輪被假定為''完美齒輪 ''而沒有齒輪齒誤差。這些齒輪對(duì)的屬性在表2中列出。
利用所開發(fā)的計(jì)算機(jī)程序，分析動(dòng)態(tài)因素與轉(zhuǎn)速之間關(guān)系。圖形9顯示了這種關(guān)系。一般來說，非對(duì)稱齒輪的動(dòng)態(tài)因素，隨傳動(dòng)側(cè)壓力角的增大而增加。最高的動(dòng)態(tài)因素在共振轉(zhuǎn)速（約10000轉(zhuǎn)每分鐘）方面被研究。超出了共振轉(zhuǎn)速，非對(duì)稱齒比對(duì)稱齒有更高的動(dòng)態(tài)因素。原因之一，這可能是動(dòng)態(tài)負(fù)載接觸率的影響。當(dāng)傳動(dòng)側(cè)的壓力角增加，則接觸率下降。然而，在齒輪系統(tǒng)中動(dòng)態(tài)系數(shù)隨接觸比的增加不斷減小。這一結(jié)果可能是由于狹隘單一的接觸帶造成的。在[25]詳細(xì)的討論，由于狹窄的單接觸帶區(qū)域齒輪快速旋轉(zhuǎn)，因此系統(tǒng)無(wú)法響應(yīng)。接觸率的單一接觸區(qū)的變化可以在圖11中看出。通過分析可以看出齒輪嚙合剛度隨著時(shí)間的變化而變化（見圖10）。正如可以從這些數(shù)字看出，在單一接觸帶，非對(duì)稱齒輪（齒輪副四）具有比對(duì)稱齒輪（齒輪副1）更高的嚙合剛度。高嚙合剛度是產(chǎn)生高動(dòng)態(tài)因素的原因之一，如圖9。
圖形11顯示了隨壓力角不斷增大，傳動(dòng)側(cè)的靜態(tài)傳輸誤差受到影響。一般來說，改變壓力角會(huì)影響齒輪嚙合，如接觸區(qū)的齒比和重合度。圖形11表明，單齒面接觸區(qū)隨壓力角的增大而增大。因此，相對(duì)于對(duì)稱齒輪，非對(duì)稱齒齒輪有較大的單齒接觸區(qū)。此外，靜態(tài)傳動(dòng)誤差，在單齒接觸區(qū)中心，隨壓力角的增加而減小。在靜態(tài)傳輸誤差的頻譜圖如圖形12描繪。在這些圖表中，隨壓力角的增加前兩個(gè)諧波略有增加。
在以前的工作[5]，利用不同的方法對(duì)低重合度齒輪的最小化動(dòng)態(tài)因素和靜態(tài)傳輸誤差，進(jìn)行了詳細(xì)的審查。討論的方法之一，包括齒輪高重合度的使用。據(jù)指出，減少動(dòng)態(tài)負(fù)載能增加了齒輪重合度。這個(gè)結(jié)果是在研究對(duì)稱齒輪時(shí)也被其他研究人員發(fā)現(xiàn)[30，31]。在這些研究中，重合度在1.8和2.0之間獲得了最小動(dòng)態(tài)負(fù)載。另一種方法是使用更高的齒頂高來增加重合度。應(yīng)當(dāng)指出，增加齒頂高會(huì)導(dǎo)致齒根的彎曲應(yīng)力減少。這是通過了降低HPSTC點(diǎn)的位置（見圖2點(diǎn)D）。其他齒輪齒頂高的影響特征是齒頂和厚度的削弱。在這項(xiàng)研究中，對(duì)非對(duì)稱齒輪，高齒頂被用來作為減少動(dòng)態(tài)因素和靜態(tài)傳輸誤差的手段。齒頂高的選擇可以作為一個(gè)優(yōu)化問題來考慮。以前開發(fā)的計(jì)算機(jī)程序中圖形[1]的修改，被用來解決這個(gè)優(yōu)化問題。這一方案是用來產(chǎn)生最大重合度。例如，為了讓非對(duì)稱齒輪獲得一個(gè)1.8和2.0之間的重合度，傳動(dòng)側(cè)上的壓力角應(yīng)該23 °和28之間選擇，如表3所示。
圖13顯示了齒輪彎曲應(yīng)力的變化作為齒根的一個(gè)功能。在圖[1，5，7，11]中介紹的方法能夠確定齒輪對(duì)樣品彎曲應(yīng)力。應(yīng)該指出的圖13中，非對(duì)稱齒輪比對(duì)稱齒輪有更低的彎曲應(yīng)力。
對(duì)于齒輪副1、4、5、6和7，關(guān)于旋轉(zhuǎn)速度的最大動(dòng)態(tài)因素，在圖14中提出了。這些齒輪對(duì)有著很大的齒頂高。通過圖9和圖14（如齒輪副4與齒輪副7的配對(duì)）相應(yīng)齒輪的最大的動(dòng)態(tài)因素的比較， 具有大的齒頂高的齒輪副有一個(gè)較低的最大動(dòng)力因素。此外，很明顯，該樣品齒輪副5，這是一對(duì)重合度最高≈1.98的齒輪，在所有速度下有一個(gè)較低的動(dòng)態(tài)負(fù)載。這一結(jié)果表明了齒輪重合度對(duì)動(dòng)態(tài)負(fù)載的影響。
圖15顯示了增加非對(duì)稱齒輪齒頂高將增加靜態(tài)傳輸誤差。隨著齒頂高的增加，靜態(tài)傳輸誤差幅度下降（見圖11）。此外，單齒面嚙合區(qū)因?yàn)閴毫菧p小。在圖1中可以得到，當(dāng)非對(duì)稱齒輪的參數(shù)ha= 1.38、ac = 201、和ad= 2513，具有最低的靜態(tài)傳輸誤差。另外，在單齒嚙合區(qū)和雙齒嚙合區(qū)不同的數(shù)值，也擁有最小的配置。從圖16中得出，當(dāng)有高齒頂高的非對(duì)稱齒輪有接近2.0的重合度時(shí)，靜態(tài)傳輸誤差諧波的振幅將明顯下降。通過圖14-16可以推斷，在設(shè)計(jì)非對(duì)稱齒輪時(shí)，為了實(shí)現(xiàn)降低動(dòng)態(tài)響應(yīng)，可以考慮使用大齒頂高齒輪（重合度≈1.8-2.0）。
總之，關(guān)于非對(duì)稱的齒輪，不斷增加的齒頂高導(dǎo)致動(dòng)態(tài)因素明顯減少。齒輪重合度接近2.0時(shí)可以最大限度的減少動(dòng)態(tài)因素。研究結(jié)果意味著，大齒頂高的非對(duì)稱漸開線圓柱齒輪可能是一種替代方式去減少動(dòng)態(tài)響應(yīng)以及減小齒根應(yīng)力。
6、結(jié)論
由于非標(biāo)設(shè)計(jì)的靈活性，非對(duì)稱漸開線圓柱齒輪可以應(yīng)用于不同的領(lǐng)域。這項(xiàng)研究的主要目的是比較在動(dòng)態(tài)負(fù)載下傳統(tǒng)的對(duì)稱與非對(duì)稱的圓柱齒輪。次要目的是對(duì)非對(duì)稱齒輪優(yōu)化設(shè)計(jì)，以減少動(dòng)態(tài)負(fù)載。
一般而言，非對(duì)稱圓柱齒輪的動(dòng)態(tài)因素隨傳動(dòng)側(cè)的壓力角的增大而增大。最高的動(dòng)態(tài)因素在共振轉(zhuǎn)速被觀察到（齒輪副4除外）。超出了共振轉(zhuǎn)速，非對(duì)稱齒比對(duì)稱齒有較高的動(dòng)態(tài)因素。對(duì)于非對(duì)稱齒輪，增加齒頂高會(huì)導(dǎo)致動(dòng)態(tài)因素顯著減少。一個(gè)重合度接近2.0的齒輪能最大程度的減小動(dòng)態(tài)因素。
靜態(tài)傳遞誤差曲線表明，隨壓力角的增大單齒接觸區(qū)將增大。此外，在單齒接觸區(qū)中心，靜態(tài)傳動(dòng)誤差將隨壓力角的增加而減少。在FFT曲線，前兩個(gè)諧波隨壓力角的增大略有增加。對(duì)于非對(duì)稱齒輪，一個(gè)適當(dāng)?shù)膲毫菍p小靜態(tài)傳遞誤差。此外，合適的壓力角能使單齒面接觸區(qū)的壓力下降。我們觀察到，當(dāng)有大齒頂高的非對(duì)稱齒輪有接近2.0的重合度時(shí)，靜態(tài)傳輸誤差諧波的振幅明顯減小。靜態(tài)諧波傳動(dòng)誤差的變化反映了最大動(dòng)載荷的變化。據(jù)確認(rèn)，本研究提出的有大齒頂高的非對(duì)稱齒比傳統(tǒng)的齒輪在齒彎曲應(yīng)力和動(dòng)態(tài)響應(yīng)有更高的性能。這表明，非對(duì)稱齒的設(shè)計(jì)可以在動(dòng)態(tài)負(fù)載最小化方面進(jìn)行了優(yōu)化。具體而言，上面闡述的特點(diǎn)提供了非對(duì)稱齒輪的動(dòng)態(tài)特性設(shè)計(jì)新的成效。這些結(jié)果可以設(shè)計(jì)應(yīng)用在航空航天工業(yè)設(shè)計(jì)、汽車產(chǎn)業(yè)和風(fēng)力渦輪機(jī)方面的高性能齒輪。
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